AA"- B'=-i
-ÇA'A"-B'+AA''-B'=-i-âA'— B"')S — i = o.
û désigne ici le déterminant des équations du centre. Cette équation en S donne trois racines. Les équations (5 ) fourniront la corde correspondante, et enfin l'équation ( 4) donnera le plan diamétral. L'équation de ce plan peut s'écrire, en tenant compte des équations (5),
(8) S(X-t: + Yr+Zs) + C,c-HC'j-i-C"z = o.
Nous allons discuter successivement l'équation en S ; celles qui iournissent la corde, celle qui donne le plan diamétral.
1° Discussion de l'équation en S. — Les équations { 5 ) sont d'une forme remarquable qui nous ramène à un problème déjà traité ['). Considérons les deux coniques représentées par les équations homogènes
(9) tO^-tJ-, =)^A-t=-HA'j'-f-A"j=-:-aB,i-3+ -iB'j-!, ^iB".0'=^o,
. QttiibuéG ÙM. Hermilc.
633 NOTK XVll.
L'.'s équations (5) expriment que la conique
In) ( . )-S(i' + r'+=-l = o,
(lassant pai 1 mtersection des deux premières, se roduit à un système de ilôus droites et que j: j z sont les coordonnées homogènes du point commun au d d te L éq t S t d q 1 éq t on du
troisième dgéq dtm 1 pi d cat pe£at\r i'in-
iHFsection d d q (g) ( ) C tte m j mè h dis-
cuBsion de I éq S \ 11 d p 1 1 m dé] té
La (oniq\ (jétatt mtm Iqtpts d'in-
lersection des 1 comq t t g D 1 iialion
en S, qui d t 1 t pi d é t é il, ses
trois racine II t d
Nousavo qléqt dt èmdgé pt d racine
double que Icoi t plmt dblmttg tes. La
conique (loj t m p t êl la t i | nt à la
conique (9), .ans quoi ce point set ait réel, û faut doue quelle soit doulileraent tangente, et alors le système de sécantes correspondant à la rac:ine double se compose de deus droites confondues. Soit S cette racine double. On a
Expririions que le premier membre forme un carré parfait. Nous aurons les six équations
[ (A-S)B- B'Ii".-- o, (A— S)(A'-S)-B"=--o,
(,■2) ) [A'-SlB'-liB"-.., (.\-â)(A''--;)-Q"-<.,
Si les rectangles B, B', B" ne sont pas nuls, les trois dernières résultent des trois premières, et l'on a
Ainsi, pour que Téquation en S ait une racine double, il faut que les trois ijuantités
soient égales, et leur valeur commune est celle de la racine double.
Si l'un des rectangles, B, par exemple, est déjà nul, il faut avoir recours aux six formules (12}. On a alors
KOIE XÏIl. bôô
Supposons
B' = o, la troisième donno
et, en portant ces valeurs dans les trois dernicres, on a
(ijj B'--=o, S^A.", (A"-A)(A''-A')-B"=o.
Si l'on avait pris B"— <>, on aurait eu
Telles sont les conditions pour que l'éqiiaUon en 8 ait une seconde racine nulle. On voit qu'il faut qu'un second rectangle soit nul.
EnQn, l'équation eii S ne pourra avoir une racine triple [uo//- Note XII) que SI les deux comquoa [g) et (lo) ont trois ou quatre points d'intersection confondus ou coïncident Elles ne peuvent avoir trois points d'intersection confindus en un seul ce point serait réel; elles doivent donc coino der et par suite pour la valeur de S, racine triple de l'équation, l'équation
doit eire une identité. On doit donc, avoir les conditions
En d'autres termes, la surface du second degré doit être une sphère. En résumé, la fonction
se décompose en deux facteurs distincts pour une racine ample de l'équation en S : elle est «n carré partait pour une racine double; elle est identiquement nulle pour une racine triple.
a" Discussion de la corde. — Si dans les équations [5) on substitue la valeur de S, elles déterminent a;, 7, z, considérés comme coordonnées homogènes du centre du couple correspondant. Donc, à toute racine simple, il correspond un couple de droites distinctes, et, par suite, un seul système de valeurs pour les rapports des quantités x, y, z.
Les équations (5} peuvent s'écrire, quand les rectangles ne sont pas nuls,
