CHAPITRE XI
m.... 404. notions préliminaires sur les surfaces courbes. Comment fiser,
point dans l'espace /j^S
gl"'. — Transformation des coordonnées dans l'espace.
405. Enoncé général du problème de ta transformation des coordonnées dans l'espace 44^
406. . .407. Passer ! i" d'un sjsième de coordonnées quelconques à on sjstômo de coordonnées parallèles d'origine difTérenle; — a' d'un système rectanjjulaire à un système oblique de
même origine ; 418
403i Expression de la distance entre deux points, dans le cas d'axes
obliques.. .......... ....... -. . . H l\5<t
400... 411. Passer d'un système recta n gui al ra à un autre système reclangulaire. — Cas particuliers; formules propres à faire connaître la nature des intersections d'une surface courbe par un plan 4^2
g II. - Des différents genres de surfaces.
412. . .415. Équations de la surface spuëriqve et de son plan tangent. . . ■ 4^^ 416. . .417. équation générale des surfaces cïLiiiDKiQvrs. Caractère de ces
sortes de surfaces 45g
41S...419. Équation générale des surfaces coniquss. Caractère de ces
sortes de surfaces 460
420. . .421. Équation des surfaces coDoldes; cas particulier ^G3
452. ..426. Équation générale des surfaces de kévolutios. Leur caractère.
— Cas particuliers ; ellipsoïde, hyperboloîde aX paraboldide ;
propriété remarquable du parabolcide do ràïolution Ifih
§ 111. — Discussion des snrfaces da second degré.
421 5 F n ea usquelles on pent toujours, par une double trsns-
n de coordonnées, ramener l'équation générale du
nd d gré à trois variables. — Exception à cetio douille
434 435 D n de l'équation aux ellipsoïdes. — Cas parliculiei's
s de ce genre de surfaces ^7^
436 4 9 D n de l'équation aui hïperboloïbes h deux nappes
ou il une nappe. — Cas particulier : surface conique; pro-
piiélé remarquable de cette surface 4;7
440. . .443. Équation aux deux pnraboloîdes elliptique ou hyperbolique. — Cas particulier : paraboloïde de révolution. — Généra-
444. Résumé de la discussion précédente : division des surfaces du
second degré en cinq genres ' ij^i
445. Manière de reconnaitre la nature des intersections d'une sur-
face du second degré par un plan /|85
Jp. de VAL i, /./ C. b
XÏTII TABLE DES HiTIlTr'-
44G. . .448. Prouver que toute surface du eccnd di,),re (j l'cKeption du paraboloïde hjperîi clique ) donne lieu ït ileiii s^Btèmes de sections circalaîres. — Lieu géométrique des ecnti'ea de tantes ces sections /|Rj
449. . .450. Des plans tangents aux surfaces du second degré : équatioi) du plan tangent auï surfaces douées d un cantre ; équation du pinn tangent aux surfaces dépourvues de contre. — Kor-
niole ^go
451. Mener un plan^tangent par un point pris hors de la surfaocj
propriété de la courbe de contaei ^gS
455, , .454. GénéraUon de l'Iijperboloïde à une nappe et du paraboloido
hyperbolique par le mouvement d'une ligne droite , ^gil
MOIES DE M. BAKBOUX.
WoTTv (. — Sur le thoorènio des projections et In transformation des
coordonnées 4S9
Noie II. — Sur le centre des distances proportionnelles 5n
KoTE 111. — Sur la distance d'un point k nue droite et sur la surfoce
du triangle déterminé par trois points 5ij)
KoTE IV. — Sur la discuswon de l'équation générale du second degré. . S^o
MoTE V. — Sur rinterprétatioQ des inégalités en géométrie analytique, 533
Note V!. — Sur las lieux géométriques 53S
HOTE Vli. — Sur les détermioania et leur application géométrique 55i
Note 'Vlll. — Sur la réduction de l'équation du second degco h. sa forme
la plus simple par le changement des coordonnées 55g
Note IX. — Sur les théorèraos relatifs aus diamètres conjugués dans
l'ellipse 5C7
KoTE S. — Sur la tliéorie des tangentes 673
Note XI. — Sur l'intersection de dens courbes du second degré 588
ÎSOTE XII. — Sur l'équation qui détermine les couples de sécantes communes à deoi courbes da second degré Sg^
KoTE XIII. — Sur la détermination descourbes du degré/npassantpar un
nombre donné de points Uo.'i
Note XIV. ■- Du plan tangent dans les surfaces algébriques 609
Note XV. — Du plan polaire dans les surfaces du second degré 617
ÏÏOTE XVI. — Du contre et des plans diamétrauï 6^4
Note XVII. ~ Des plans principaux dans les surfaces du second degré. . 63o Note XVIli.— Do la réduction de l'équation du second degré i> sa forme
la plus simple par le changement des coordonnées 6J0
Planches I, II, III, IV, V, VI, VU, Vlli, !X, X.
AYERTISSEIEm DE L'EDITEUR.
Celte nouvelle édition de V Application de l' algèbre à la Géométrie de Bourdon est enticrcnient conforme aux 5' et 6" éditions, publiées en i854 et 1871 ; elle en diffère seulement par les Notes, qui ont été rédigées par M. Darîjoux. Ces Notes traitent de différents sujets de Géométrie analytique à deux et à trois dimensions, parmi lesquels nous citerons particulièrement les théories des lieux géométriques, des tangentes, des pôles et polaires, l'étude de l'intersection de deux courbes du second degré, la tliéorie des invariants pour les coniques et pour les stu'faccs du second degré, etc. Elles ont été ajoutées à la fin du Volume et elles portent l'indication des points de l'Ouvrage où doit venir se placer, dans une seconde lecture, une étude pi'ofilable des matières qu'elles contiennent. G. Y.
L'ALGÈBRE- A Ll GÉOMÉTRIE.
INTfiODDCTION.
g I". — Notions prélisiin aires,
1 , On a vu, en Géométrie, que les ligncx, les surfaces et les solides peuvent, aussi bien que toutes les autres grandeurs, être esprimés par des nombres; il suffit, en eifet, pour cela, de prendre pour wiîté l'une de ces grandeurs géométriques.
C'est ainsi que \/â esprime la diagonale d'un carré dont le côlé est égal à I . De même, si 4 et 3 représentent les nombres d'unités linéaires contenues dans les deus côtés d'un rectangle, 4 x 3 ou vi exprime le nombre d'unités de superficie conteDues dans ce rectangle. De même encore, 4 X 3 X 5, ou 6o, exprime le vnlume d'un parallélépipède dont les trois arêtes coiiiigues sont représentées par 4, 3 et S.
Généralement, si l'on désigne par n, b, c les nombres A'unilés linémrcs contenues dans les arêtes contigiiës d'un parallélépipède, ab, ac, bc exprimeront les aires de trois de ses six faces, et abc son volume.
On voit donc que I'Aigèbrb, dont les méthodes sont applicables à toutes les questions numériques possibles, peut aussi servir à résoudre les questions relatives aux grandeurs que l'on considère en Géométbie,
2. Qu'il s'agisse, par exemple, de déterminer la longueur d'une ligne d'après la connaissance d'une ou de plusieurs autres lignes comprises avec la première dans une même figure : On suppose le pboblèj[ë bésolo, et l'on tâche, à l'aide de quelques pi-opnsitions de Géométrie, dont l'existence est déjà établie, et qui ont quelque rapport avec l'énoncé du pm~ blême, on tâche, dis-je, d'exprimer par des équations les relations qui Jp. de VM. à la G. i
2 INTRODUCTEO.
existent enlit: les données (repr&entues, soit par dos lettres, soit par dos chiffres) et les inconnues, toujours représentées par des lettres. On résout ces équations, et l'on obtient ainsi les expressions des lignes cherchées au moyen des lignes connues, expressions qu'il faut ensuite thadvioe en Géométrie.
Si la question proposée est un théorème à démontrer, on traduit al' gébriquemenl les relations qui existent entre les différentes parties de la figure, ce qui conduit à des équations auxquelles on fait subir diverses l!Yi/isfornmtions, dont la dernière donne lieu au théorème énoncé.
En un mot, traduire en Algèbre les questions de Géométrie, et, réciproquement, traduire en Géométrie les résultats obtenus par l'Algèbre, '"X est le but que l'on se propose en appliquant l'Algèsbe alaGÉométeie.
Développons ces notions générales sur quelques exemples.
3. Proposons-nous d'abord de rechervher les propriétés principales du triangle nECTANGLE et du triangle obuquanglb, en partant de ce seul principe, que deux triangles équiangles ont leurs côtés Immologues proportionnels, et sont par cnnséquent semblables.
Soit (PI, I,fig. 1} un triangle BAC rectangî.e en A; du point A abaissons AD perpendiculaire sur BC, et posons
EC = n, AC=i', AB = (;, AD=:/i, liD-^/«, et DC = n.
Les deux triangles BAC, ADC sont rectangles, l'un en A, l'autre en D ; de plus, ils ont l'angle C commun ; donc le troisième angle ABC du premier est égal au troisième angle DAC du second, et les deux triangles sont je/Mblablfs. 11 en est de même des triangles BAC, ADB.
Ainsi, comparant les côtés homologues et employant les uolatioiis qui vii'nnont d'fitrs établies, on obtient les trois proportions
È' --■- an, bc = a/i,
ogalMs auxquelles i
3n peut réi
inir celle-ci
a = in + n,
5ui existe nécessairement entre les deux segments BD et DC. Ces quatre équations renferment implicitement toutes les propriétés di?s
NOTIONS rnÉLiHriSAïKiïs. S
triangles rcicangles; et il ne s'agil quo de lus taire ressorLir par des transformations convenablement exécutées.
1° Les égalités (i) et ( i), ou plutôt les proportions qui y ont conduit^ nous apprennent que citiiqae l'été de l'angle ilroil est moyen proportionnel entre l'/iy/Mléiiiixe entière et le segment adjacent.
C'est une des propriétés principales du triangle rectangle.
a" Ajoutons menibre à membre les égalités (i) et (a), il vient
(]U, à cause de l'égalité [4)>
Ce qui démontre que, dans tout triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à ta somme des carrés construits sur les deux calés de l'angle droit.
C'est la propriété caractéristique du triangle rectangle.
3" Multiplions les mêmes égalités (i) et (2) membre à membre; on obliont
mais l'égalité (3) donne ai et, par conséquent,
i'mn^.a''h\
Ainsi, la perpendiculaire abaissée du sommet de l'angle droit sur l'hypoténuse est moyenne proportionnelle entre les dettx segments de l'hypoténuse.
4" Divisons membre à membre les égabtés (1) et (2); il vient
h' an ,,,,,,
•5= — 1 dou b' :& w 11: m;
c'est-à-dire que les carrés construits sur les côtés de l'angle droit sont entre eux comme les segments de l'hypoténuse.
En un mot, toute transformation exécutée sur les égalités (0, (2), (3) et (4} conduirait à un résultat qui, traduit géométriquement, ne serait autre chose qu'un théorème ou une vérité plus on moins remarquable.
i. Observons d'ailleurs, en passant, que, comme ces quatre équations renferment six quantités a, b, c, h, m et n, il s'ensuit que, deux cpielcon-
4 INÏHODIICTIOS.
ques d'entre elles étant données, on peut se pmpaser de tk'ierminet les
quatre autres à l'aide de ces éqiuiiions.
Supposons, par exemple, que coimiiissant V hypoténuse K. et la perpendicuLiire AD, // s'agisse de déterminer les deux côtés de l'oubli: droit et les deux segments.
Les équations (i), (a) et (3) donnent d'abord, comme on l'a déjà vu,
mais ai l'on double l'Égalité (3), on a
■J.ÙC = i.ah,
d'où, en faisant successivement la somme et !a diffâronce de ces deux dernières, on déduit
(/'--)'-"'-■ -^ "A, et, par conséquent,
b-t-c— </à'-T--i a/i, b — c -= \fd'—'i. ail.
Connaissant la somme 6 -i- <■ et la diiTérence ô — c des deux côtés b et r, il est facile d'obtenir chacun d'eux en particulier.
On a, d'après nn théorème connu, pour le plus grand côté (qu'on pijut toujours supposer exprimé par b),
i = i ,/a'-t-ii7h -+- ~ ^— a (//,;
et pour le plus petit, i?,
Quant aux deux segments m ot n, ils sont donnés immMjdli ment par les équations (i) et (a), puisque i, c et û sont maintenant connus.
5, Remarque. — La seconde partie des valeurs do i et de c nous apprend que, pour que lo triangle puisse exister avec les donné^'s i,lM\> s, il faut que l'on ait
fi' > a a/i , ou au moins a' --- a ali ; d'où l'on liio
h < -1 ou tout 311 plus II -, - ; car autrement les valeurs de J et de c seraient imaginaires.
NOTIONS PnÉLlMlMniES. 5
En effet, pour construire un triangle rcitangh; connaissant l'hypoténusp et la perpendicidfiirc abaissée du sommet de l'angle dii)it, on peut employer lo moyen suivant ;
Décrivez sur Vhypotémise BC [Jîg- a) comme diamètre une demi-circonférence; éltvez au point B une perpendiculaire BH égale à Li perpendiculaire ilonnêe; menez ViLparallèle à EC; et lesdeus triangles égaux, ABC, A'BC, satisfont à la question.
Or, pour que le problème soit possible, il faut évidemment que BIl soit
inférieur, ou tout au plus égal à - BC.
Lorsque l'on a EH — -BC, ou h = -«, le triangle rectangle devient isoscète, et les valeurs de fi, c se réduisent à
ce que l'on peut aussi reconnaître d'après la figure.
6. Considérons, en second lieu, un triangle, odliouanglb ABC [fig- 3), et proposons- nous d'exprimer l'un des côtés, AB par exemple, au moyen d:'s deux autres , en nous fondant sur la propriété caractéristique du triangle rectangle (3, 1°).
Abaissons du sommet A la perpendiculaire AD ( qui peut tomber en dedans ou au dehors du triangle, selon que l'angle C est aigu ou obtus), el conservons d'ailleurs les mêmes notations que précédemment, savoir ;
m-.-^a, A.C--.--b, AB = c, AD-//, BD = /M, DC = «.
Les deux tiiangles rectangles ADB, ADC donnent ics égalilés
auxquelles il faut joindre cella-ci ;
(le signe supérieur de l'égalité ( 3) correspond au cas où l'angle C est aigu, et le signe inférieur, k celui où il est obtus). Cela posé, retrancbons l'égalité (2) de l'égalité (1) ; il vient
6 inTLionuciio.N,
mais l'égalité (3) donne
Substituanl œlte i-alevir dans réqualion(4), on obtient enfin (5) .■=4-+»-T.™,
Donc, dans tout triangle oUiquangle, le carré d'un côté quelconque est égala ta somme des carrés des deux autres côtés, moins ou plus le double produit de l'urt de ces deuûs côtés par la projection de l'autre sur celui-ci.
L'égalité (5} comprend, sous une forme très-concise, les deux théorèmes principaux sur lea triangles obliquangles.
7. Le problème suivant est très-propre à faire ressortir l'ulilité de l'Algèbre dans la résolution des questions de Géométrie.
On propose de diviser une ligne donnée ÂB [Jîg. 4 ) en moyenne et EXTRÊME RAISON, (^est-à-dire en dmuc parties, dont l'une soit moyenne proportioanelle entre la droite entière et l'autre partie.
Supposons le problème résolu, et soit E un point de AB, déterminé de manière que l'on ait la proportion
Ali : AE : : AR : lîlî.
Posons
Aîl ---- a, AK --= .V ; d'où EB --■ a ■- x.
La jiroportion devient d'où l'on déduit l'équation qui, étant résolue, donne
De ces deaa: valeurs fournies par la résolution de l'équation , la première est la seule susceptible de satisfaire à l'énoncé du problème le! qu'il a été établi, car \a seconde (qui est négative) a une valeur numérique plus grande que a\ d'où il suit qu'elle ne peut exprimer laie partie de la droite donnée a. Nous verrons plus loin (25) pour quelle raisou celte valeur se rattaclie à la première, et comment on doit l'inlerpréter;
NOTIONS FRÉLIM1N\!RES.
;iiienient du la valeur
et voyons ce qu'elle signifie en Géométrie. Ce résultat indique évidemment que, pour obtenir la valeur de x en
ligne, i\ fdnt retrancher la moitié At a de l'expression t/n'-i- y Mais, on vertu de la propriété principale du triangle rectangle, v/"'''"T représente l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont les doux côtés de l'angle droit sont c et ~ ■
On est ainsi amené à !a construction suivante :
De l'exti-émilê [fig. 4) de la ligne AB — /', élevez une perpendiculaire BC égale à~ a, Cl tirez AC ; il en résulte
Da point C comme centre, avec le jnyon CB -= -j décriiez un arc de cercle, BD, qui coupe AG ait point D ; vous aurez
