AD ^-- AC - CD

■crclc AD de A <^/i E ; et le point V. si

Il est à remarquer que cette construction à laquelle on est parvenu, est précisément celle qu'on donne dans les Éléments de Géométrie.

Pour l'obtenir par des considérations purement géométriques, il faut une analyse assez délicate ; tandis qu'on la trouve facilement à l'aide des symboles de l'Algèbre,

C'est ainsi que souvent, en appelant l'Algèbre au secours de la Géométrie, on parvient à résoudre des questions qui, autrement, exigeraient des raisonnements difficiles et compliqués.

' la manière dont la dernière question vient d'être traitée, on voit que la résolution d'un problème do Géométrie par le secours de l'Algèbre se compose de trois parties principales :

8 IKTBODUCTIÛN.

1° Tindiùrc (ilgébriqiœmnnt renoncé du prohlènu!, ou le inctirR en

a" Résoudre l'équation ou les équations, suivant que l'énoncé renferir.o une ou plusieurs inconnues.

3" Construire ou évahter en lignes les expressions algébriques auxquelles on est parvenu.

Généralement, on doit y joindre une quatrième partie qui a pour objet la discussion du problème, ou l'examen de toutes les circonstances qui y sont relatives ( -ouyez le n° b ) .

Or, il en est des problèmes do Géométrie comme des problèmes d'Algèbre, c'estrà-dire qu'il n'existe pas de règles bien fixes pour mettre un problème en équation. Le précepte établi en Algèbre est également applicable [voyez n" 2) aux problèmes de Géométrie; mais la manière de le mettre en pratique varie suivant les différents problèmes que l'on peut avoivà résoudre. Cependant, nous développerons ultérieurement, à ce sujet, une méthode générale constituant, ù proprement parler, la Gécuétihe

AKALTTIQUË.

Les équations unC fois obfemies, on peut les résoiulre d'après les moyens que fournit l'Algèbre, en s'attacbant à combiner ces équations de la manière la plus convenable pour en tirer le résultat cberohé.

■Quant à la limsiême partie, qui a pour objet de construit tr les expressions algébriques auxquelles on est parvenu, les règles à suivre sont faciles et en petit nombre.

C'est donc par le développement de cette troisième parlic qu'il convient de commencer.

g II. — Con-stj\i;ctio.\ des expressions algébrujues.

9. Nous ne considérerons, dans tout ce qui va suivre, que des expressions rationnelles OU irrationnelles du second degi-é, c'est-à-dire des résultats provenant d'équaIJons du premier on du second degré.

Les expressions élémentaires, c'està-dire les expressions à la construction desquelles on peut ramener toutes les autres, sont au nombre de six, savoir ;

(a, b, c, d,.. . exprimant les nombres d'unités linéaires contenues dans des lignes données).

CONSTaOCTlOîf DES l'XPRESSIOSS ALGÈnRlOUFS,

Nous renvoyons, pour la construction do ces expressions, aux Èlémcn, lie Géométrie (*).

Les expressions

!io sont que des cas parLîculîurs do QiKint ans iignes représentées par les expressions

leur construction se déduit facilement du mode de division d'une droite on 2, 3, 7,. .. parties égales.

Ainsi, pour construire la ligne a; = . — ^ i il suffît de dMier a en 7 parties égales, et de prendre 3 de ces parties, On bien de prendre une ligne égale à 3a, que l'on divise ensuite en 7 parties égaie.

10, La construction de l'expression se ramène à colla des deux expressions élémentaires En effet, si Von pose

m étant nécessairement /j/«î grand qao n, pour que l'expression âa.v soit refile.

Or, on obtient la ligne représentée par

en construisant d'abord \/a' -1- c"', /.'g-^-queron peut désigner parp, puis i/p'-i-f, que l'on désigne par q, et ainsi de suite.

{*) Voyez lo Cours de Géométrie élémeiilalre et V/li'égé de Géométrie àa M. VistEST. (Paris, Gauthier-Vilkra.)

11. Ce mode de construction peut si caiix iiumériqves du second degré

Cette valeur de x peut 6tre mise sous la forme

a: = t/'C-i ou X = i/4'-i,

et repr&enfe, en conséquence, l'un des côtés, />, de l'angle droit d'u: angie rectangle dont l'hypoténuse est a = 4, et l'autre coté, f--!. On trouverait de mémo

n tri-

Vn" =. i/g + I -H t =i/d"+ 1-1-1,

L'artifice consiste à décomposer le nombre soumis au radical en la somme (lîgébrique de plusieurs carrés; ce qui est toujours possible.

i% Nous sommes actuellement en état de construire toute expression algébrique rationnelle ou irrationnelle du second degré, provenant de la mise en éijaation d'un problème de Géométrie, chacune des lignes qui font partie de l'énoncé ayant été représentée par une lettre.

Commençons par les monômes ralionneh.

Soit proposée l'expression

'±f,bc^

On peut la meLlre sous la forme

Or, — -- exprime évidemment une quatiiéme proportionnelle aux t lignes-/, an et 6.

CONSTRUCTION BES EXPRESSiOKS M.GÉBRIQUES

Cette ligne étant construite, posons

qui exprime également une quatrième propoiiiomwUe aux trois lignes e. Soit encore à construire

Cette ex[)ression levîont à

•id '■ d'^ S'- f '■ s

Il — .,'-, — exprime une quatrième piniiorlioniieUc ai

lignes 3.-/, 2«ct ft.

Posant

f g • pi-aporiioi:ncUe s

En continuant ainsi, l'on parviendra, à l'aide de cinq quatrièmes proportionnelles, à une dernière ligne qni représentera la valeur proposée.

N. B, — Le nombre des quatrièmes proportionnelles est toi'jours marqué par le degré, ou par la somme des exposants du DÉnominateub.

13. Passons aux expressions fractionnaires po()-«dm«. Soit à construire

On peut (l'abord l'écrire ainsi :

, a[)i'cs avoir supprimé lo facteur a, commun aux (Icus U;rmes, (

et cette expression représente alors une quatrième pmporiinnnelle aii\ tmk lignes a — a6 -i-h, n et aa — ^b -\- m.

Quant aus deux lignes m et n, on peut les construire Eacilemcnfc, d'après ce qui a été dit plus haut.

^artifice de ces transformntioiu corniste à dècnmposer l'un îles termes, tant du numérateur que du dénominateur, en deux fcu-tetirs, l'un du premier dcgr-é, l'autre du degré « — i , il étant le degré de ce terme, ci il mettre ce dernier facteur en évidence.

On 3 soin d'ailleurs, pour restreindre autant que possihle les construclions partielles, de faire en sorte que ce facteur mis en évidence comprenne les lettres qui entrent le plus de fois comme facteurs dans les deux termes de la fraction.

On trouvera ainsi que l'expression

M'h-h-iob^c-ùhr:

lab'

~ib'~ ^b€'--rC'd

■>~n-i-ic-p)

on mettant le facteur ab' en évidence au évidence au déimminateur, puis posant

Ces dernières expressions étant construites, on en déduit la valeur de qui est une cjuntrième proportionnelle aux trois lignes an ~ ib — q -i

. EXPRESSIONS ALGËQflIQUES. |3

On peut remarquer qu'il y a beaucoup d'analogie entre ces Iranslbniiations et celles que l'on exécute pour rendre les expressions algébriques Ciilcidables par logarithmes.

14. Considérons maintenant ks expressions radicales du icmiid degré, Soil, premièrement, l'expression

On peut ta mettre sous la forme

liijne facile à construire, il en résulte

i^spression qui représente une moyenne proportioiineUe e gnes a et (7 — fli .

AliTREME-lï. - Soit Tait

«' = bd.

d'où l'on voit qu'après avoir construit une moyenne proportionnelle n entre b et (/, il suffit de déterminer l'un des côtés do l'angle droit d'un triangle rectangle ayant a pour hypoténuse, et n pour autre côté.

fette expression revieiil à eelle-ci

Or on a

'on peut construire aissment, comme on I'li

l4 1NÏL.0DUCT1OK.

DésignaTit donc celte (iiiantilé ou cello ligne par /», on obtient

expression facile h. construire.

En général, pour toute expression radicale du second degré, il suffit du mettre en évidence, sous le radical, an des faetciirs littéraïux qui eiiti-eiit dans les termes du manérnteur, a par exemple, le second facteur sous li! radical est alors une expivssion rationnelle que l'on sail construire.

Désignant cette expression par une lettre m, on est amené finaleracnL à conslriàre la valeur

N. B. ~ Si l'on avait une expression telle que

il faudrait commencer par faire passer le coefficient u sous le radical; ce qui donnerait

on posant et construisant

Remarque importante surl'uanoGhikm',.

15. Dans chacune des expressions algébriques que nous venons de considérer, tous 1k termes sont de même degré si elles sont entières; et si elles sont fractionnaires : i" tous les termes du numérateur sont de menudegré entre eux, ainsi que tous les termes du dénominateur ; a" !e degré du numérateur surpasse celui du dénominateur A'uns unité pour les quantités rationnelles, et de deiu: uMtés pour les quantités irralionncltes du second degré.

Une expression qui doit représenter uiie ligne est dite homogène lorsque ces conditions sont remplies; et elles le sont toutes les fois que, dans la traduction algébrique de l'énoncé d'un problème, on a désigné par une lettre chacune des lignes qu'on a défaire entrer dans le calcul.

Pour comprendre qu'il en doit être ainsi, il suffit d'observer que, d'une pari, les relations employées pour la mise d'un problème en équation se

lIOmOGfiWÉITÉ DES EXPRESSIONS ALRÉimiQCLB

rcduiaent toutes à des égalités telles que

qui se déduisent, soit de la théorie des triangles senihinbles, Boit des propriétés relatives aux triangles rectangles ou ohUquahgles ; et que, d'autre part, les opérations ou transformations (') que l'on peut avoir à exécuter sur ces égalités pour arriver au résultat demandé conduisent toujours nécessairement & des égalités homogènes, dans le sens attribué, en Algèbre, à cette dènominaliol) .

D'après ce qui vient d'Otra dit, soit, par oxomplo,

d'où

le résultat auquel on est parvenu pour l'une des inconnues, .r devant exprimer une ligne.

1° B et A doivent être séparément /lomngèncs ;

a" Comme x exprime une ligne, il faut que le degré de B surpasse d'une unité celui de A; autrement la seconde égalité ne serait pas homogène.

Ainsi, dans !e résultat ■" = ■!-) les doux conditions énoncées ci-dessus seront satisfaites.

Quant aux radicaux: du second degré, qui peuvent être généralement représentés par l'expression

[A èlaxA entier et fraciinitnalre), comme on en déduit

et que le premier membre, x', exprima une surface, le second membre A doit exprimer une surface.

(') Quand il s'aRit A'addUion ou de souiti-aa

rion, les éiialitéB sur lesquelles

étant considérées séparément,

mais encore ellas doivent êlra da même OEcnÉ e^itj

16 elles; autramenl le résultat

do l'addition ou do la soustvaetloii de «es égalité

s, membre il membre, n'oflH-

mit nncna sens raisonnable. Ainsi, l'on no pou

rrait additionner des égalités

lellos que /t==b -\- c, a? =. b' -\- c^ ; pas plus qu'i

L;n Arilhmétique ou ne saurait

^ijoutev des quantités d'esjiiee difféienie.

Doù 1 ut que si A est/mc«oww;w, le degré du numératoiir doit urpa er le kiix unités celui du dénominateur.

Md s a df n de rendre les calculs plus simples, on com'icnt de prendre po r nié l une des lignes que l'énoncé du problème, prescrit de feire entrer dans le calcul, comme les diverses puissances de i sont égales à i , le cfcg-re de chacun des termes oi cette ligne se trouvait élevée à diverses puissances doit nécessairement diminuer d'une ou de plusieurs unités ; et, dans !e résultat obtenu pour la valeur de l'inconnue, les conditions de Vliomogénéité doivent, en général, cesser d'exister.

Par exemple, lorstjue, dans lèse:

on suppose h= i, elles se réduisent k

Cependant, cumme la construction de la lignt cherchés dépend de la longueur de chacune dos lignes données, et en particulier de la ligne pmepoiir iiniu, il faut préalablement rétdblir cette dernière dans l'espression de j-, ce qui n offre aucune difQcult^, car, en désignant celto ligne par une lettre, m par exemple, il sutht tle l'introduire dans les différents termes, comme facteur, a une puiisaiice d'un degré tel, //iie les ileiu: cnnditions d'Itomogénéité soient remplies

Ainsi, soit l'expression

qui n'est pas homogène, parce que l'on a supposé l'une des lignes de la question égale à i .

Puisque l'un des termes du numérateur est du troisième degré, et qu'un de ceux du dénominateur est du deiuciéme degré, tous les autres termes doivent être respectivement ramenés à ces mêmes degrés.

Donc, en désignant par m la ligne prise pour unité, on a

-i'- j.fnn'-^-Zhcm ^~ „m 26"+ »,-'"'

expression qui peut se construire d'après les règles établies précédemment.

HOMOCÉKÉITÉ DES EXPRESSIONS ALGÉDRIQUEE

De niÉmo,

x = ; -j-, devient — = — j—., — '--,\ —

Soit cncora

^=sl'i^

Chacun des termes, sous )o radical

, devant Être

1 du dcu^-iéinfl degré, on

aef nrfm ce c transformera -tt en — s-j- , y en bd bd fg

Tf'^i-

^ji et l'expression do-

viendra

Posant alors

'' - bd ~ b^ u'

d'où p --

Vî-^?'

d'où fj -

Vj-Î'

dur dm' '

, d'où r ----

et construisant/», 5, r, d'après les

principes connus, on obtiendra pour .

la valeur

expression qui rentre dans celle du n" 10.

iC. Conséquence. — Dès qu'on applique l'Algèbre à une question de Géométrie, la représentation des Ag-^cî par des te/res suppose toujours (1 1 que l'on ait pris une certaine ligne pour imité; mais il faut distinguer deux cas :

Ou le résultat auquel on parvient, pour l'expression de l'inconnue, est lo n^e ou bien il ne l'est pas.

Dans l pre mer cas, la connaissance de la ligne prise pour imiié es! m 1 fférente à la construction du résultat.

Da is le second, cette ligne est nécessairement une des lignes de l'émmcé, et son introduction dans îe résultat est indispensable pour la construction.

On estainsiconduit, en quelquesorte, à considérer deux espèces d'uniVc-^ linéaires : I'une que l'on peut appeler Yuniié implicite, c'est celle que comportent en elles-mêmes les expressions homogènks; I'atithe, qui serait

Ap. de VAl. à la G. 2

alors Vonrte ejp//c((^, c'est une dos lii^'iies données du la queslion, el que, pour simplifier le calcul, on a jugé à propos de faire égale à i. Son rétablissement dans le résultat tinal est toujours facile, au moyen des conditions d'homogénéité.

la Trigonométrie, où, soit en vue de simplifier les calculs, soit afin d'obtenir des formules plus faciles à graver dans la mémoire, on suppose généralement le rayon égal à l'imité, offre des applications nombreuses de ces principes sur \' homogénéité.

17. ScoLiE GÉNin*L. — Lea diverses propositions que nous avons développées dans ce paragraphe et dans le précédent sont suffisantes pour la construction de tous les problèmes dont les équations conduisent à des résultats rationnels, ou à des expressions irrationnelles du second degré.

Nous ajouterons que, dans chaque problème, il faut tâcher de faire servir la figure de l'énoncé à la construction des résultats ; car c'est ordinairement dans la liaison plus ou moins directe entre la construction et la figure, que consiste le plus' ou moins d'élégance de la solution du problème par le secours de l'Algèbre. Les problèmes suivants feront ressortir l'importance de cette observation.

Nous les proposons comme moyen d'initier les commençants aux méthodes de I'application de l'algèbre a la géojiéthie; nous aurons soiii, à cet effet, défaire quelques réflexions sur la manière dont ils auront été résolus .

QUESTlOfiS BBLATIVES A LA LIGN'E DROITE

18. Pbeuieb pboblèmë. — Inscrire un carré dons im triangle donné ABC Ifig. 5 ) ; c'est-à-dire, trouver sur le c6lé AB un point E tel , que si l'on mèneEF parallèle à BC, et EG, FH perpendiculaires sur BC, la figure GEFH soit un carré.

Supposons le problème résolu, et abaissons du sommet A la hauteur AD du triangle.

Il est évident que, si le point I où AD rencontre EF était déterminé do position, il en serait de même deEF, et par conséquent Au carré cherché.

Posons donc

DI = EG ^^ EP =^ a:,

et tachons d'obtenir une équation entre c«tte ligne .r et les lignes commet de la figure 171» peuvent nous étrp utiles.

Or, les deux triangles ABC, AEF étant semblables, leurs bases BC, EF sont entre elles comme leurs hauteurs AD, AI; c'est-à-dire que l'on a la

PElOBLiiMES S

DR I.,V LIGNE DROITE Ef LE

CIÎRCM

proporHon

BC : !îF : : AD : Ai.

Cela posé, soit

BC--=rt, AD.= /i;

comme on a d'ailleurH

DI r-.- EF ^,

il en résulte