AC : AB : ; DC : DE

Prenons pour inconnue la distance du point fixe A au point D, ot posons AB--ft, kC = b, AD--=.r, d'où DC = i - J-. La proportion ci-dessus deviendra

On obtiendra facilement cette r7««(rièyne/jro;»rfii)"«e//e en prônant BAC pour l'angle de construction, puisque l'on a déjà

^ partir du point B .Si résulte

menez ensuite GO parallèle à BC; le point D sera le PC En effet, on a la proportion

AB: AC:: AGiAD, d'où

a -J?:: a- m: AU; donc AD --= -^"~-"-- = J-.

Il est visible d'ailleurs quo, si l'on mène DE parallèle à AB, on a DE = GB = m.

Discussion du réxul/at. — Tant que l'on aura m <^a ou AB, la valeur de x sera positive, et pourra être construite comme précédemment.

Si l'on suppose m = a, la valeur de a; se réduit à o, et le point D se confond avec le point A; ce qui doit élre, puisque la ligne AB satisfait à la question.

Soit maintenant n^ > o ; la valeur de x devient négaiii'e, et, le si^ne étant mis en évidence, elle prend la forme

yGoosle

INIEHPRÉTATIOK DES RÉSULTATS NÉGATIFS. :i.G

Afin d'ititorprcfer ce résultat, il faut, en vertu des principes établis eu Algèbre, remonter à l'iiquation du problème, ou à la pioporlion

et y changer x ca ■— ,r; ce qui donne

Or h — ,f , qui exprimait la distance CD, devenant b -+- x, représente maintenant la gomme de deux lignes; ce qui ne peut avoir lieu qu'autant que le point cherché se trouve en D' sur le prolongement de CA, c'està-dire en sens coir/reiire de celui oà il était d'abord placé. Cette modification une [ois établie dans la proportion, l'on en déduit

ab^^-x^hi», d'où ^^^'"-"l.

Pour construire cette espression, il suffit de porter, à partir ia point I!, la ligne donnée m de B en G', ce qui donne AG' = m - a,

puis de mener G'D' parallèle à BC. Le point D' est le point demandé; c'est-à-dire que D'E', parallèle à AB, est égale à m. Cela est d'ailleurs évident.

2i. Remarque. — I^a solution négative que l'on a obtenue dur.s le ca? de m'> a indique, non pas une rectification à faire dans l'énoncé de la question (car, quelle que soit la grandeur de m, il est toujours possible de placer cette ligne dans l'angle ACB, parallèlement à AB, en prolongeant les deux côtés, si cela est nécessaire), mais bien une tUfférencc /le position du point D par rapport au point fixe A, suivant la grandeur de/71.

Ainsi, lorsque, pour résoudre le problème, on suppose le point D anilessus du point A, cette position est earocie tant que l'on a nj < «; mais elle devient /a«.Me dès qu'on a ?«> n; et le signe —obtenu dans ce cas sert à rectifier cette position, en indiquant que la distance dit point donné au, point inconnu doit être portée en sens contraire de celui où elle avait été d'abord portée.

Cela est si vrai, iyie l'on peut éviter tout résultat négatif ea fixant convenablement un autre point de départ, par exemple en prenant CD au lieu de AD pour inconnue.

En effet, soit CD = t'\ les autres notations restant les mêmes, on a

résultai qui est essenlielkment positif, quelles que soient les grandeurs relatives de a, b, m.

Tant que l'on aura m < o, la valeur de x' sera plus petite que h ; et après l'avoir construite, si on la porte sur CA, à partir du point C, l'extrémité D tombera aa-dessus de A ; mais si l'on a m > «, la valeur de x' eisi plus grande que b, et le point cherché tombe en D', au-dessous du point A.

Observons d'ailleurs que l'expression

peut se mettre sous l'une des deux forraos

la première correspondant au cas où l'on a m < a, et la deuxième à celui

Mais comme, par ia première manière de résoudru la question, on a trouvé

il s'ensuit que les deux inconnues x et x' sont liées entre elles par la relation

œ étant positif àsxi& le cas de m < a, et négatif lorsque l'on a m > «;

25. Reprenons maintenant le problème du n" 7, et t&clions d'en interpréter la solution négative.

Jl est clair, d'abord, que la première des deux valeurs obtenues est la seule qui puisse satisfaire à la question telle qu'elle a été énoncée, puisque l'on demande de diviser a en deux parties, etc., et que la valeur absolue de la seconde solution est plus grande que a.

Mais on peut modiBer l'énoncé ainsi qu'il suit ;

Étant donnés deux points Jîxes k. et B [fig- 9)1 trouver sur la ligne AB mi sur son prolongement an troisième point tel, que sa distance au point A soit moyenne proportionnelle entre sa dislance au point B et kl distance des deux points A et B.

D'après ce nouvel énoncé, comme i! n'y a pas de raison pour supposer iG point cherché à gauche plutôt qu'à droite du point A, on commence par le supposer à droite, c'est-à-dire entre A et B. (Il ne peut être en E",