BE

!\TERPKËT,\TION CES RÉSULTATS iSÉGAtir:'-,

ia proportion iiidiqiiée [lar l'iinoiifié devient

ce qui donne et, par suite.

3a ^ R)ii^~,

Ces deuï valeurs sont essentiellement posilives, puisque le radical est miinernjuemcnt moindre que ^■ On peut d'ailleurs les mettre sous !a forme

il s'ensuit que xct 3/ sont liées par la relation

Seulement, .c est /ia(i/(/" pour ie point E, et iiégaiif foiir le point E'.

2G. N. B. — L'erreur que l'on commettrait en attribuant au point cherciié une position i'/«/J0ïn'6/e se manifeste par une expression iniaginaiir .

Supposons {Jlg. 9), en effet, que dans ce niÉme problème, au lieu di' prendre le poiat cherclié en E on en E', on le prenne en E", o'cst-à-dirt' à droite des deux points A et B.

En posant

AE"--- s:, d'où BE"=.i-^(/,

on trouve, par la substitution de ces valeurs dans la proportio:i

AB : AE' : : AE' : be",

yGoosle

3o INTRODUCTION.

Ce résultat imaginaire tient uniquement à ce que Von a attribué au point chetche une position abmlumeni impnwibie; car AE" ne saurait, comme nous 1 a\on& rtija dit, être rnnypit piopoitinnncl entre AB et BE".

27. Les principes établis (23, 2i et 25) peuvent être résumés de la manière suivante :

1° Toutes les fois que, dans la résolution d'un problème de Géométrie par le secours de l'Algèbre, Vlnconnue représente la distance d'un point fixe à un autre point, comptée sur une rlmite fixe, et que l'on obtient, pour expression de cette inconnue, des résultats, les uns positifs et Ifôi autres négatifs,

Si l'on est convenu de porter les valeurs positives ilana un sens quelconque à partir du point fixe, les valeurs négatives doioent être portées en sens contraire du précédent.

a." Le moyen de faire disparaître les solutions négatives, est de rapporter le point cherclié à au autre point fixe, dont la distance au. premier point fixe soit assez grande poui- que l'on soit assuré que tous les points susceptibles de satisfaire à l'énoncé se trouvent d'un même côté par rapport à ce second jyoint; et cela est toujours possible, en général, puisque la ligne sur laquelle se comptent ces distances peut être prolongée autant que l'on veut.

Les résultats négatif i proviennent uniquement de ce que Vorigine des distances a été d'abord choisie dans une position intermédiaire entre les points cherchés ; et le signe — indique la différence de position de ces points par rapport au pi entier point fixe.

3° Si dans la résolution d'une question {d'un problème ou d'un théorème], on veut faire entrer on considération les distances entre un premier point fixe et d'autres points situés avec celui-ci sur la même ligne, mais dans des sens diiîérents, et cp'on regarde comme positives les distances comptées dans un sens, on doit regarder comme négatives celles qui sont comptées en sens contraire du précédent.

Nous ne donnons point ici de démonstration générale de ces principes ; mais dans la suite, nous les verrons se confirmer de plus en plus, et nous en sentirons mieux l'usage et l'importance.

Le problème suivant mérite beaucoup d'attention, non-seulement sous le rapport des constructions auxquelles il donne lieu, mais encore et surtout sous le rapport de la iliseicssion.

28. Quatrième pnoBLÈME, — Étant donnés un angle YAX {fig. lo] et un point D dans l'intérieur de cet angle, on propose de mener par ce jioint une droite LDN, de telle manière que le triangle intercepté ALN soit égal à an carré donné m'.

INIEBFBÉTATIOU DES RÉSULTATS NÉGATIFS. Si

S des points N et D les perpendiculaires NP, DC, et menons DU parallèle à AY.

Prenons AL pour inconime, et posons

AL. -^ X, ne = h, AB rr. a, d'où BL -= x - a

Les deux triangles semblables ALN, BLD donnent

BL : rc : : AL ; NP, ou x — n:k::x: NP; donc

mais, d'après l'énoncé, on doit a^'oir

ALxNP ALN ou .— liî";

ainsi l'on a pour l'équation du problème,

ou, effectuant les calculs et orilonnant,

Cette équation étant résolue donne

Pour que ces valeurs soient réelles, il faut que Ton ait in- > a«/i, ou an moins m' --- an/i.

Arrêtons-nous à l'hypothèse m"= ^ah, d'oii x -■-= a'i.

Prenons AG double de AB ou égal à 20 et tirons la droite GDH, qui se trouve divisée, au point D, en deux parties égales.

Nous formons ainsi un triangle AGH dont la surface est égale à aa/.-

comme étant çHorfmpfe de celle du triangle DBG qui a pour mesure « x -

D'où l'on peut conclure que le triangle AGH correspondant à la valeui' de.c = ia, est le minimum de tous ceux qui peuvent satisfaire à la question.

Supposons maintenant m' > o^ak, et tâchons de construire le problème sur la figure elle-même.

3?. INTEODURTIOIV.

Les deux valeurs de a; étant mises, à col effet, sous la forme

prenons sur AX [fi;. 1 1)

AG-.2AB-=art et AK ==-'->

tmisième proportioimelie que l'on p5ul supposer construite sÉparément; il en résulte

GK = AK- AG = -^-a«;

iléciwoiis sur AK une demi -circonférence, èlei'oiis du point G la perpendiculaire GI, et tirons la corde Kl ; nous avons

rnbaUons par un arc de cercle Kl de K en L, et do K en L' ; les distance^

AL = AK + KL et AL' ^= AK - KL'

sont évidemment les deux valeurs de x.

Enfin tirons les droites LDN, L'DN', et nous avons ainsi ALN, AL'N' pour les deux solutions du problème proposé.

29. Première remarque. — Le point L', quic orrespond ù la seconde solution, tombe nécessairement entre B et G ; car on a d'abord

KL' ou Kl > KG ;

d'imautrecôt^, l'expression -7^ — — ,— formant les doux premiers term;:;

du carré de -^ ei, il en résulte

sM

la' < -p - u, ou K!i.

Dans l'hypothèse de -t- = -ia, les triangles ALN, AL'N' se réduisent au triangle unique AHG, puisque alors les deux valeurs de ^ deviennent égales à -?-•

PnOBLtHES SDH Ll l.iaKE DROITE ET LE CEllCi.E. 33

30. Seconde /■emarque. — La question proposée étant considérée sous le point de vue le plus général, présente quatre soliitjons, quoique la méthode employée pour la résoudre n'en ait fourni que ilciix.

En effet, outre les deux solutions déjà obtenues ALN, AL'K' [fig. 12), il est visible que l'on peut toujours mener par le point D deux autres droites DL", LL", de njamère que les triangles Al-'N", AL"'N'" soient égaux au carré donné m

De plus, pour ces deu\ solutions le rarré peiit 6trc aussi petit ou auK:;i grand que l'on veut.

Comment se fait-il que ces doux solutions ne soient pas comprises dans le résultat obtenu? — Nous allons répondre à cette question.

En cherchant à mettre le problème en équation, nous avons supposé It' point L « to droite du point A ; et les triangles ALN, BLD nous ont donno

NPlDC;- AL:BL, ou Ni' : /i :; .r : ^— n; doù