NP
ou, en simplifiant,
Maintenant, si nous considérons le point L h la gauc/ie du point A, en L" par exemple, les deux triangles A L"N°, BL''D donnent encore
NT" : DC : : al" : mf.
Sk f co nme en général une proportion ne doit être établie qu'entre des nonbres absolus, et que ^- est, par sa position, /légatif, il s'ensuit que la al ir absolue de AL° doit èlre exprimée par — x, et .celle de BL" par — x-\-e ainsi la proportion devient
N"P'':/i :: -a:: — ^+«; donc N"["'=:. ^^-^--i
ce q!!i donne l'équatior
OH. réduisant,
jr -i- -J-- x= —j-
éqviation qui diffère de
,(1) par le signe de ~.
Ap- d, l-M. à l,
34 iSTiiooucTior?,
L'équation (a) Étant résoliio donne
De ces deux valeurs, qui sont essentiellement réelles, la première est /m. silive et la seconde est négative. Or, je dis que la valeur positive correspond au triangle AL^N'".
Bn effet, les deux triangles AL^'N'", BL"'D donnent
N"'p"':DC:: AL"':liL"',
WV ■.h::^:a — x; d'où N"'p"'= -^^, ot, par consét|iient,
hx
ce qui fait voir que If- «ulutions AL°h°, AL^N"* sont comprises dans la mâme équation.
Voici d'ailleurs h ton>>lraclion du re&vdtat
Prenez \ gauche du jxjint A une distance AK' [fig. la) égale à - ■t A DROITE du mène point, une distance AG-- aci, ce qui donne
Décrivez sur GK' une demi-circonférence; au point A élevez la perpe/i' tliculaire AI', et tii-ezla corde K'I'; lioua avez
Riibiittez enmite KT de K' eu V et de K' en L"'; il en résulte
PH0RLÈJ1EB suit L* LIGNE DROITE ET lE CERCLlî. 35
JV". £. — 11 serait aisé de reconnaltrB que le point h'" doit tombor entre A et B {2Ô1.
On peut comprendre les quatre solutions dans une même formule, en posant l'équation
"'h -\j- Il \^ h "^"j
Le signe supérieur de ± -j- coricspondi 1 1 dors aux deux solutions ALN, AL'N'; elle signe inférieur aux solutions AL^N", AL^N". Ou bien encore, on pourrait multipliei entre eus les deux facteurs
il on résulterait l'équation du qiuitrU
qui comprendrait les quatre solutions.
La remarque qui a iait l'objet de ce numéro est une nouvelle confirmation du principe (-27) sur les diangcments de signe des distances comptées
31. Examinons maintenant les circonstances relatives aux diverses portions que le point D est susceptible de prendre par rapport ans deux lignes AX, AY, en nous bornant à faire connaître les résultats, avec ia manière d'y parvenir.
Premier cas. — Supposons le point U (/?§-. i3) plac^ au-dessous de AX. et a la droite de AY, en W.
Cette condition s'exprime en introduisant (27), dans le résultat primitif, — Aàlaplace de A, puisque lesdtstances des points D et D'à la ligne AX sont comptées en sens contraire l'une de l'autre ; et il vient
La nature de ee lésultat, dont les valeurs sont toujours réelles, prouve <pe les triangles ijui lui cori espondent sont placés dans les doux angles Y.AX, Y'AX'.
36 INTIlODUCTiOS.
Deuxième cas. — Le point D {Jlg. i41 peut Être placé à la gauchi^ de AY, et au-dessus de AX, comme en D".
Dans ce cas, il est clair que la distance AB''est comptée en sens contraire de AB ; ainsi, il suffît de changer « en — a dans la formule primitive, co qui doniie
' = 7r- Vï(t^
Les sollitions correspondantes se trouvent encore placées dans les angles ÏAX, Y'AX'.
Troisième cas. — Le point D peut être situé en D'" [^g. i5) dans l'angle X'AY', opposé par le sommet à l'angle XAY.
Il faut alors changer à la fois o et A en — n et — /; dans le résultai, qui devient
et comme ces deux solutions peuvent être imaginaires, elles doivent êlri' toutes les deux placées dans l'angle X'AY'.
On pourrait, par des raisonnements analogues à ceux du n" 30, expliquer pourquoi, dans chacun de ces trois cas, on n'obtient que deux solutions, tandis qu'il doit y en avoir quatre quand on considère la question d'un^' manière g
32. Nous terminerons cetto discussion par rcsamcn de doux cas [inniculiers.
1° Soit le point D placé surlahgne AX {Jîg. iG),
Dans ce cas, on a
A = o, ut l'expression
De ces deux valeurs, la première est infinie, et l'autre se présente se la forme - •
proulèmcs sur la ligne droite et le cercle. a-j
Mais si l'on remonte à l'iSquation
elle se réduit, dans Vhypotlièse de h ;- o, &
-'im'3:.--~-Aam\ d'où .r = n = AD.
Connaissant la t.nse AD du triangle clierclié, on obtiendra sa liautenr.?-, d'après la condition
cette haut«tir étant trouvée et construite, on la portera sur AH perpendiculaire h ÂX; puis on mènera HN' paiallele à AX, et l'on aura enfin le triangle ADN' pour réponse a la question Quant à la solulion infime, elle signifie que 1 un des triangles de la
question a une base infiiàt et une hauteur nulle, pmtique ^r X — = "i'
c'est ce que devient la solution ALN de la^^. n lorsque le point D, se rapprochant de plus en plus de AX, finit par tomber sur AX. a" Soit le point D placé sur AY [fig-iy]-
et l'espression do x se rMuit à
D'ailleurs, l'égalité y x
et, par conséquent,
c'est-à-dire qu'en prenant sur AX une distance AL i5gale à -^, et tirant DL, on aura ALD ^oxit première solution.
Quant à la seconde, elle se r&luit encore à un triangle dont la base est mUle et la bauteur infinie; et c'est ce que devient la solution AL'N'de ia.^g-. 1 1 quand le point D, se rapprochant de plus en plus de la ligne AY, finit par se trouver sur AY,
00 INTRODUCTIOS.
Nous n'en dirons pas davantage, pour le moment, sur la construction et la discussion des problèmes ; celui que noua venons de traiter renfermant dans ses détails tout ce qui constitue la résolution complète .d'un problème de Géométrie par le secours de l'Algèbre.
Les problèmes suivants ont principalement pour objet la recherche de quelques /or'/Hi/w qui nous seront utiles.
33. Cinquième problème. — Étant donnés les trois côtés d'un triangle ABC {fig. i8), on propose de déterminer l'expression de sa surface. Dfeignons par a, t, c les côtés respectivement opposés ausangles A, B, C. Nous aurons, d'après ces notations,
BC = rt, AC -i, AB^c; posons d'ailleuis
AD^j-, 'm^---x'
DC-«-^ ou ^-a,
suivant que la perpendiculaire AD tombe en dedans ou au dehors du triangle.
On a, pour la surface du triangle,
en sorte que tout se réduit à détermîaer y en fonction des trois côtés «, b.c.
Or les deux triangles rectangles ADB, ADC donnent
Cette seconde équation restant la même quand on substitue a^ — n à Ici place de n — a:, convient également au cas où le triangle serait obtuuntglf en CD.
Retranchons l'équation (%) de l'équation (i); il vient
— a'+^ai: = c'— V, d'où ■r=- — — '- — '--'—■ Eeraplaçant x par sa valeur dans l'équation (i), on trouve
et, par suite,
PROBLÈMES son LS LIGNIÎ DROITE ET LE CERCLF. J'î
{ On nç met point ici le double signe devant le radical, puisque, d'après la nature de la question, l'on n'a besoin que de la valeur absolue de j. )
Rapportant enfin cette valeur de y dans l'expression du triangle ABC, et désignant la surface de ce triangle par S, on obtient, toute réductioi!
Telle est l'expression de la surface du triangle, évaluée au moyen des trois côtés (ï, è, (.-.
3i. On peut donner à l'expression [3) une autre forme, qui soit propre au calcul logarithmique.
Remarquons que la quantité sous le radical, étant la différence des deu^ carrés, peut se décomposer en
D'ailleurs, chacun de ces deux facteurs est lui-même la différence de deuï autres carrés, savoir :
lesquels se décomposent en
[a^^c^.-fy,{n + r~/,) et (&-H«-r)(/--«4-.l. Donc
S = ^ i/l« -^^ b^c)[a + c~b](h^a- c] ïb^^r^'^i i et si l'on fait, pour plus de simplicité, d'où "^ -+'-V>.
ou, toute réduction faite,
ce qui fournit la règle suivante :
Pour obtenir la valeur numérique de la surface d'un triangle, connaissant les trois côtés,
Faites d'abord la somme des mis côtés, et prenez la moitié de cette somme; relranclwz alternativement de cette moitié, chacun des tjvis, côtés; cela vous donne trois différences. Formez ensuite le produit de la demisomme et des trois différences, puis extrayez la racine carrée de ce produit.
Vous aïez ainsi en nombre l'expression demandée.
3S. Soit pour application,
donc
Appliquons les logarithmes.
On a, d'après les Tables de Callet :
logi7 = 1,23044894 log 2 =o,3o[o3iioo log 5 =0,69897000
Donc
Somme 3,23o448j)2
logS = [,Oi5'w4->,
c'est^-dire que, si l'onaprisle mètre pour unité linéaire, la srRL'ACB renferme 41 métrés can-és plus 23i millièmes de mètre carre.
36. Discussion. — Pour que la formule (4) donne une valeur réelle, il faut (commet est esse.ntiellement positif) que les trois autres facteurs soient positifs à la fois, ou bien qu'il y en ait deux négatifs et un positif.
Or on ne peut avoir en mfimo temps
