BD X AC = AB X DC + AD X BG

Soit meni'e du point B sur AC la droite BE, de manière que l'on ait l'angle CBE égal à l'angle ABD; il en résulte nécessairement l'angle DliC égalàl'anijloABE.

4^ INTitO!>UCTTON.

Cela fait, les deux triangles BCB, ABD sont semblables, comme ayant devix angles égaux, savoir : CBE — ABD par construction, et BCE = ADB, puisqu'ils sont inscrits et appuyds sur le même arc ÂB.

On a donc la proportion

CLiEC;; AD:CD; d'où l'on d&Juit

(i) CExBDr.^BCxAD.

Pareillement, les doux triangles ABE, BDC sont semblaliles, puisquo ABE = DBC d'après la construction, et que B.\E -- BDC comme appuyés sur le même arc BC.

On a donc la proportion

AE : AB : : DC ; RO ; d'ofil^n.tire

(i] AExBD AB X DC.

Ajoutant l'une à l'autre les égalités (i) et (2), on obtient

(CE-i-AE)BD ou AC X BD =.-^ BC X AD -H AB X DC,

Appliquons ce théorème à ia question proposée.

Soient ABC IJÎg. 21) le triangle donné, et 0 le centre du cercle circonscrit.

Tirons le .diamètre COU et les cordes AD, BD; puis faisons, d'après les notations du n° 33,

BC = «, AC = i, AB--t et OC :-- /•;

il en résulle

puisque les angles CAD, CBD sont droits. Cela posé, on a, en vertu du théorème précédent,