AB X CD :=. CB X AD -)- AC X GD

Telle est la relation générale qui existe entre les côtés d'un triangle et le rayon du cerclé circonscrit.

Cette formule renfermant quatre quantités «, h, <?, /■, on peut se proposer d'en déterminer une quelconque au moyen des trois autres ; et cela conduit à différentes questions que nous allons résoudre et discuter.

39. i° Étant donnêi:s , dam un cercle dont le rayon est ennnu, les cordes de deii^ arcs, on demande la corde de la somme de ces deux ara, .

Soient X (/g-, ai) le cercle donna, AC, CB les cordes aussi données; AB sera la corde de la somme des deux arcs.

On connait donc dans la formule (A) les quantités n, 0, r, et il ne s'agit que d'obtenir c.

Or cette formule donne immédiatement

i" Déterminer la corde du double d'an arc, connahsont la corde dr

Soit fait dans la formule (B], h = a\ alors c exprime évidemment la corde du double de l'arc sous-tendu par a ou par b {fi^. aa) ; et il vient

3" Réciproquement, déterminer lit corde de la moitié d'an arc, connaissant la corde de cet arc.

Dans la formule (C), les quantités c et o étant liées entre elles de manière que l'une est la corde du double de l'arc sous-tendu par l'autre, il s'ensuit que, réciproquement, la seconde a est la corde de la moitié de l'arc sous-tendu par la première c. Ainsi, tout se réduit à déterminer a en fonction de c, d'après la formule (C).

Or, si l'on .chasse le dénominateur, et que Ton élève les dcus nierabres au carré, il vient

ou, ordonnant,

Donc

et, par conséquent,

(D) a = sjr{'irA^s/W^

(nousnemettons point ici le double signe devant le premier radical, parci;

que nous n'avons liesoin que de la valeur numérique. de a).

L'expression de a que l'on vient d'obtenir présente deux valeurs essentiellement différentes, et cela doit être.

En elfet, la corde Ali appartient non-seulemont à l'arc AGI!, mais en-

44 IKTUOIIUCTIOK.

core à l'arc ADB ; ainsi, lorsque l'on demande la corde de la moitié de l'arc sous-tendu par la corde AB, il n'y a pas plus de raison pour trouver AC, corde de la moitié de ÂCB, que AD, corde de la moitié de ADB.

Toutefois, si l'on suppose d'avance que l'arc sous-tendu par la corde donnée AB est moindre qu'une demi-circonfé,rence , il faudra prendre pour a la plus petite des deux valeurs ci-dessus, c'est-à-dire celle qui correspond au signe inférieur du radical, et l'on aura

T.e contraire aurait lieu si l'arc donné était plus grand qu'une domi-c conférence, et il faudrait prendre pour a

Il est d'ailleurs facile de se convaincre que si AC est exprime par la p mière de ces valeurs, AD est représenté par la seconde. En effet, le triangle rectangle CAD donne

^, par Iiypotllèf

AD== v'4/-'-AC';

4° Etant données Ici: cordes de deux aies, trnm'cr la coiile de (car différence.

Soient {fig. ai) AB = c , AC = é les deux cordes données, et proposonsnous de déterminer CB ou ii, qui n'est autre chose que la différence des arcs sous-tendus par c et h.

La question est donc ramenée à traiter a comme une inconnue, dans !a formule (A), et à tâcher de l'en dégager.

Reprenons cette formule

■xcr^o /^'"^^ -+- h v/4p"^^^ ;

et observons que a se trouvant sous le second radical, il faut commencer par faire dispar'aitre ce radical. Or de cette formule on tire, par la transposition,

d'où, élevant au carré,

PHOBLÈHFS Sun LA LIGNE DliOlTK HT 1,E CliRCLJi. 45

OU, réduisant et brdonnant par rapport à a,

Cette équation étant résolue donne

(E) ,, = ^/4p-ZT'3irAy47^^r:^.

Pour interpréter ce résultat qui comprend ileiuv solutions, nous remarquerons que tes cordes données AB, AC appartiennent chacune à deux arcs, savoir :

ACB, ADB, pour la corde AB, et

AMC, ADBC, pour la corde AC,

Ainsi, lorsque l'on demande la corde de k différence des arcs sous-tendue par AB et par AC, le même calcul doit donner la corde de la dillérencs' entre l'un quelconque des arcs ACB, ADB, et l'un quelconque des arcs AMC, ADBC.

Or, si sur l'arc ARBon prend une partie AC égale à AC, et que l'on tiro la corde BC, on aura

I" ACB - AirC ^ CKB, qui correspond à la corde CB;

■ir ADD - AMC ou ADB - AM'C = C'DB CB :

3° ADBC - ACB ou ADBC - AM'C - CKB =-. C'DB. ... CB :

4° ■ ADBC - ADB = CNE ; CB ;

d'où l'on voit que les f/uniie itijjerences sont égales deux à deux et correspondent aux deux cordes CB, CB.

On voit encore {fig. ai) que, si les arcs sous-tendus par les cordes données sont supposés plus petits à la fois, ou plus grands à la fois qu'une jenii-circonférence, comme le sont les arcs ACB et AMC, ou .ADBC et ADB, la réponse à la question est nécessairement

mais si les deux arcs sous-tendus sont supposés l'un plus petit et l'auli-f plus grand qu'une demi-circonférence, on a pour réponse

ce ou „^y47-'^trr= + ^v/^'^^.

Il est à remarquer qiic cette dernière formule est identique avec la for-

^6 ISTROBLCIION.

mule (B) qui donne la corde de la somme de deux arcs ; et eela doit être, car C'B peut ûtro regardée comme la corde de la somme des arcs soustendus par AB et AC.

40. 5° Étant thniiés les Ir-ots côtés a, b, c, d'an triangle, on demamie Vexpi-essioH du rayon du cercle circonscrit à ce triangk.

La difficulté consiste à dégager r de la formule (A),

Or, dans le numéro précédent, on a déjà obtenu, par une première transformation exécutée sur cette formule, l'équation

r{^.ue'-^l^'] ■-. oe/4^~T'.

Élevant de Bouvoau les deux membres de cette éqiiatioii au carré, on a

r'-{a'^c'^-/j']'--^ia^c'r"--a^h':

d'où l'on déduit

nhe

(Le double signe devant le radical serai

mande que la valeur numérique du rayon,]

Autre expression — La formule (3j du i

l inutile, i)uis()uc 1° 33 donne

c'est-à-dire que le rayon du cercle circonscrit a pour expression h: pro' duit des troiscôtés du triangle, divisé par le quadruple de sa surface.

41. On peut encore, à cette occasion, se proposer de trouver le rayon du cercle inscrit à un triangle.

Soient {Jîg. aS) un triangle donné ABC et 0 le contre du cercle inscrit à ce triangle.

Tirons les lignes OA, OB, OC, et les rayons OP, OQ, OU, que nous désignerons par r'.

PROBLÈMES SUH l.i LIGNE cr.OlTfi

On a évidemment, d'après la figure,

ABC ou S -= AIJO -^ ACO -r ECO d'où l'on déduit

Ainsi, le rayon du cercle inscrit à un triangle a pour expreisio/i lidouble de la surface du triangle, dimé par son périmètre.

Remarque. ^ On a vu, en Géométrie, qu'il existe quatre cercles tangents aux troia côtés d'un triangle, supposés prolongés indéfiniment- En désignant par /■', , /■',, r\ les rayons Aqs trois cercles ûm/'b* que celui qui vient d'être considéré, on a pour les expressions de ces rayons,

En effet, considérons, par exemple, le cercle dont le contre est oi trouvons

ABC ou S - - AO'li -+- IIO'C ~ AOX r^ !^^-^ ~ '""'

m. Scohie GBNÉHAL. — On a pu remarque) que dani tnutcs le" questions qui ont été traitées à partir du n" 28, les exprea-^ions algebiiqnes ont été constamment homogènes, parce qu'aucune des lignes que 1 on a fait entrer dans le calcul n'd été explicitement piise poui umté, ce qui confirme le principe général établi au n" IS, sur mOHOGENBioi

Les formules ou l'on introduit la lettre S pour désigner la surface d'un triangle ne font pas exception sous ce rapport car, pour les rendre koimgénes, il suflirait d'y remplacer S, qui n'est qu'une simple notation, par un carré (ci que ni'.