ÉQUATION DE LA LIGNE DROITE
dessous de l'origine, b est négatif, et l'équation devient pour toutes les droites (elles que L'B'L, et
pour toutes les droites telles que L"B'L'''.
54. Examinons, comme cas particuliers, ceux où la droite ^%\ parallèle à l'un des axes.
i* Lorsqu'elle est parallèle à l'axe des ic, on a évidemment tangx ou o -- 0 ; d'ailleurs, b est positif ou négatif; Eiinsi l'équation se réduit à
résultat qui s'accorde avec ce qui a été dit n'* 45 et 46.
2° Si la droite est parallèle à l'axe des y, tanga doit être infini. Il en est de même de È, qui, exprimant la distance de l'origine au point cil la droite rencontre l'axe des y, devient nécessairement, dans le cas dont il s'agit, pltts grand qiiaiwune quantité donnée
Ces deux conditions, introduites dans
que l'on peut mettre sous la forme
Pour interpréter ce résultat, observons qu'afin d'obtenir la droite dans toutes les situations possibles, par rapport aux axes, nous avons supposé (B3) que la droite tourne autour du point B regardé comme fixe. Dans cette hypothèse, h a une valeur finie et déterminée, et il est impossible d'en déduire le cas où la droite devient parallèle à AY.
(On trouve seulement, dans la supposition de « = w,
ou l'équation de l'axe des j.)
Pour ce cas particulier, il est nécessaire do changer le centre de mmticment de la droite, et de prendre, par exemple, le point C où la droite rencontre l'axe des ^.
Go ÉQUATION DE LA LIGNE IIIIOITE.
Or, si l'on désigne la distanco AC par c, ou plutôt par — c, attendu que cette ligne est comptùe dans le sens des i-ibscisfes négatives, oti a évidemment
^^^tanga ou — :=«; dou
et l'équation dévie
Supposons maintenant que la droite, tournant autour du point C, devienne parallèle à Aï ; tanga ou a devient infini, et c ne change pas. Donc l'équation se réduit à
équation qui représente en effet [45) une parallèle à l'axe des j-.
Le signe de c dépend de la position du point C par rapport à l'origine A ; le point peut Stre en C ou C
L'expression de c, ou , offre l'exemple d'une fraction qui reste
constante, bien que ses deux termes deviennent infinis.-Cest ainsi qu'une fraction -i qui se réduit à - lorsque l'on suppose a =■ o, b = o, acquiert dans certains cas une vaîeurjîn/e et déterminée-.
S3, Nous ferons observer, en passant, que la relation a ~ — -^ introduite dans l'équation
j.= ax + h, la ramène à la forme
d'où
équation qui renferme comme constantes les distances de l'origine A aux points où la droite rencontre les axes.
En y faisant ^ = o, on trouve j = i ; ce sont les coordonnées du point où la droite rencontre l'axe des s:.
Soit j = o, on obtient x = c\(x, sont les coordonnées du point où la même droite rencontre l'axe des x.
11 y a quelquefois de l'avantage à employer l'équation de la droite sous la forme
cy -i-bx ^ bc ou "j -^ - = i ,
à cause de .IViomoge'nt'jVL- des termes de colle-ci.
QUESTIONS prélihinmues sur la ur.NE droite. Cette forme convient cnœro au cas où les axes sont obliques triangle BAC [Jig. 3a) donne
Conclusion. — Il résulte de la. discussion précédente, que l'équation
comprend implicitement les équations de la droite considérée dnns toutes les sUitatinns qu'elle peut avoir par rapport aux axes. II suffit d'y substituer pour n et è les valeurs correspondantes à ces diverses situations.
Questions préliminaires rclntii'es à In ligne droite.
56. Toutes les fois que la position d'une droite sera donnée par celle du point B où la droite rencontre l'axe des y, et par i'angle qu'elle forme avec l'axe des x, les constantes a et b auront une valeur cléteiminée. Mais on peut imposer à une droite d'autres conditions, telles, par exemple, que celles de passer par deux points pria à volonté sur un plan; de passer par an point donné et d'être parallèle OU perpendiculaire à une droite déjà connue de position ; de passer par un point et de faire aivr une autre droite un angle donné, etc.
Dans ces différents cas, a et 6 doivent être regardées comme des constantes indéterminées, dont les valeurs dépendent des conditions imposées à !a droite.
La recherche de ces valeurs donne lieu à une série de questions qui servent de base à la Géométrie analytique, et que nous allons développer successivement.
57. PREMifeRB QUESTION. — Trouver l'équation d'une droite assujettie, à passer par deux points donnés sur un plan.
(Dans cette question, les axes peuvent 6tre pris indilléi emmonl n rtangidaires ou obliques.)
Soient M et M' [fig. 28 et io) deux points fixés sur un i laii pai leurs coordonnées x\ y' et ^, y".
L'équation cherchée sera de la forme
a et tétant deux constantes {inconnues pour la moment] qu'il s'agit d'exprimer en fonction de x', y', x", y", qui sont supposées connues. Or, puisque chacun des deux points M et M' se trouve sur !a droite.
6a QUESTIONS PRÉLIJlINJllRES SUR LA LIGNE BROETE.
leurs coordonnées mises k la place de j: et / dans VéquaUon [i) doivent la vérifier. Ainsi, l'on doit avoir les deux relations
[3) x"^ar"-^0.
Comme ces équations ne contiennent n et 6 qu'au premier degré, on en tire facilement les valeure de ces inconnues. D'abord, si l'on soustrait (3) de (a), i! vient
Portant cette valeur dans l'équation [t], on trouve
et substituant ces valeurs de « et & dans l'équation [i], on obtient
équation qui contient encore Vincoimue a; mais en soustrayant (3) do (a), on obtient
y-j-= „(.■-.-), d'où .,-^-
Piwtant cette valeur de a dans l'équation précédente, on a
Équation qui, ne renfern;ant plus que les variables nécessaires x, y, et les données x' , y' , ^,x', convient encore A la droite cherchée.
L'identité des équations (4) et (5) peut être établie facilement. En effet, on tire de l'équation (S)
QUJiSTIONS FRÉLDllNAlilKS SLR LA LIGNE DROITE. bj
La seconde méthode, plus simple et plus élégante que la première, dorme lieu à un résultat dont l'emploi dans les calculs est, en général, plus commode.
Toutefois, l'équation (4) a l'avantage de laisser on évidence la quantité b, ou Vordonnée à t'oi-igme.
B8, Remarque. — L'éq\iatioi:
que l'on a d'abord trouvée en employant la seconde méthode, joue un grand rôle dans la Géouétrib analytique. Elle offre un caractère particulier : c'est de représenter toutes les droites qui passent par- le point particniier [x\ y']. En elfut, on y est parvenu par la combinaison de l'équation générale
avec la relation particulière
qui esprime que le point [r' r') se trouve sur la droite.
D'ailleurs, sil'ony feit àla fojsj» =j- a;= j; elle se réduit à 0=0; ce qui prouve évidemment que la dioite passe par le point [x', y').
Quant à la quantité a qui subsiste encore dans l équation, c'est une constante indéterminée dont la valeur dépend d une seconde condition qui peut être imposée à la droite Dans \\ questmn précédente, cette condition consiste à faire passer la droite par un ecoml point (x",y°)^ ce qui détermine complètement la \ oail on de c [te drjitc; et l'on trouve, en effet,
59. SiîC0NBE QUESTION. — Meiwr par an point donné une droilo parallèle à une autre déjà connue de position.
Commençons par établir analytiqucment la condition de parallélisme des deux droites.
Soient (fig. 36)
j- = ai: -,- i, y = a'œ -h- b'
les équations des deux droites EL et DU.
Puisque ces droites sont parallèles, les angles « et a' qu'elles forment avec l'axe des ^ sont égaux.
