G4 QUESTIONS PRËLIMINÀIHES SUR LX LIGNE DROITE

Ainsi, dans le cas d'axes rectangulaires, on a

tangK'= tanga, ou bien a'=a.

Quand les axes sont fibl/i/ucs, on a do même

sintO— -j.'] ~ simû — a)' et, par consoquent encore,

RéciproqiieinciH, si l'on a la relation a = a', on peut conclure que les droites sont parallèles.

Il suffit, pour le prouver, de considÉrev le cas où les axes sont o/itiques, puisqu'il comprend celui d'axes rectanguUàrcs comme cas particu-

(isinOcosi ~- (isinKCOsO ~ sin*. ; d'où

[i-\- noos9)tangar-=nsin0, et, par suite,

On obtiendrait de même

//'sinS

Mais comme on a, par hypothèse, a = a', il vient

langa = tanf,-«', et, par conséquent,

(car il ne peut être ici question que d'angles < 180"),

Ainsi, les deux droites sont parallèles.

La relation a'=a est donc une condition ciiriKtériiliqfw du p LisMB de deux droites,

60. Reprenons maintenant le problème proposé. Soient x', y' les coordonnées du point M par lequel on veut m parallèle DH à une droite donnée BL.

L'équation, de la droite donnée étant

QUESTIONS PRÉLIMINMBES SUR 1,\ LIGKB DHOITE.

colle de la droite cherchée sera de la forme

II' et b' étant deux constantes qu'il s'agit de déterminer.

Or, la droite DH devant, par hypothèse, passer par le point M, i l'équation particulière (3} y=a'x'+b\

Retranchons les équations (a) et (3) l'une do l'autre, il vient y-f==a-[x-x-) (wiMen"58].

D'ailleurs, à cause dw pcirallélisme des deux droites, on a

Telle est l'iouATioN de la droite cBEECiiÉfi. Cette équalion pouvant s'écrire

ne diffère de l'équation (i) de la droite donnée que par Vordonnée à Pnrigine, qui est ici y' — ax'.

61. Troisième question. — Deux droites étant données, trouver les coordonnées de leur point d'intersection.

Soient (;%. 37)

y = ax + 0, y ^^ a X -\- b

les équations des deux droites données BL et DH.

Ifmt fixer la position de leur point de concours, remarquons que, ce point ae trouvant à la fois sur les deux droites, ses coordonnées AP, MP doivent vérifier leurs équations, et ne sont, par conséquent, autre chose que les valeurs de j^ et de j susceptibles de satisfaire simultanément à ces deux équations.

Donc, si i'ofl élimine :c et / entre les équations proposées, on aura les coordonnées cherchées.

Retrancbant d'abord ces deux équations l'une de l'autre, on trouve

d'où l'on déduit

;i l'on porto cette valeur dans la première équation, il vient, touie ré-

jif. de t'Ai, à la G. 5

<i6 QUESTIONS rnfiLtJiiNAnti;s suu la ligne uiiorn

duclion laite,

Telles sont les expressions des coordonnées du point M. Discussion. — Soit, comme cas particulier,

n trouve pour les expressions des coordonnées

c'est-à-dire qu'elles deviennent infinies; ce qui doil Ctre, puisque les deux droites sont alors parallèles ( 59 ) . Si l'on a, en mûme temps,

valeurs iiidétei'mintcs ; et, en effet, dans ce cas, les deux droites, se confondant, se rencontrent en une infinité de points.

62. Quatrième question. — Calculer l'angle de deux droites données par leurs éijiuUioizs

Les résultats obtenus dans les trois questions précédentes sont indépendants de l'inclinaison des axes ; il n'en est pas de même dans celle-ci, et il y a lieu de distinguer deux cas : ou les axes sont hectangulaibës, ou ils sont OBLIQUES.

Premier cas. — Pour déterminer l'angle EMG des deux droites, angle que nous appellerons V, remarquons que le triangle MEG donne

EMG = MGX-MEG,

ou, si l'on désigne par «, a.' les angles que les droites Hî. et DU forment respectivement avec l'axe des x,

d'où

Cette formule est vraie, quelle que soit l'inclinaison des a

QUESTIONS PHËLIMlNÀinES SUR LA. LIGNE DROITE. Mais comme nous avons supposé les axes re.cl angulaires, on a langï = a, tangï'= (('; et la formule (i) devient

Second cas. — Los axes étant obliques, on a {S9 )

tanga= 71 t!mg«'= -, -x

i + «cûse n-o'cosd

d'où, substituant dans la formule (1),

)u, réduisant au mûmo dénominateur, et ayant égard à la relation

Ce résultat renlro évidemment dans l'expression [1], quand on lait

63. N. S. — Si, au lieu de l'angle EMG, on voulait obtenir son supplément EMD, il suffirait de changer a'~ rt en n — a\ dans les résultats {■>.{ et (3), puisque les tangentes de ces deux angles sont liées par la relation

En général, toutes les fois que l'on a à calculer l'angle de deux droites, il faut préciser quel est celui des deux angles, supplénwnt/iires l'un du l'autre, que Von veut obtenir.

Ci. Considérons le cas particulier où les deus droites sont perpendiculaires entre elles.

\—yi°, d'oit taugV-

œ Ciui donne, les ases étant i-ectangulaires.

68 QUESTIOKS PUfiUMlNAlHES SUR LA LIONE DROITE.

et les axes étant ubli'iues,

La relation i -f- aa'= o, que nous aurons souvent occasion de rappeler, peut ôtre démontrée !A'recïeme«( au moyen de la figure.

En effet, puisque le triangle EMG est rectangle enM(^- 38), les deux angles MEG, MGE sont compléments l'un de l'autre ; et l'on a

tangMGX ou «'--=- tangMGE, et tangMEG = n;

63. Cinquième ouestion. ~ D'un point donné hors d'une droite, on propose : i" d'abaisser une perpendiculaire sur celte droite ; 2," de trouver la longueur lie cette pcrpemUculaire, c'est-à-dire la dislumc du point donné h la première droite,

(Les axes sont supposés rectangulaires.)

SoientBLladroitei/o/wf'e [Jîg. Sg], MGla droite rferc/iec, perpendiculaire à BL et assujettie à passer par le point M dont nous désignerons les coordonnées par x' et y'.

Supposons que l'équation do la droite BL soit

Puisque la droite MG passe par le point [x', y'), son équation sera (tiSJde la forme

II' étant une constante qu'il s'agit de déterminer.

Or, puisque les deux droites doivent Être perpendiculaires l'une à l'autre, on a (64) la relation

Donc l'équation précédente devient

Tcllo est l'ÉQUATioN DE LA PERPEKOicCLAiHE MG ; et cette droite est ainsi déterminée de position.

Pour résoudre la seconde partie de la question, il s'agit d'obtenir l'ex-

QUESTIONS PRÉLIHINAIBES SUB LA LIGNE DBOITE. 63

pression de la diitance du point M au point H où les deux lignes se rencontrent.

On connaît déjà les coordonnées x\ y' du point M ; si l'on pouvait déterminer calles du point H, il suffirait de substituer cas quatre coordonnées dans l'expression de la distance entre deux points donnés, formule trouvée n° 48, et l'on aurait la valeur da MH.

Comme le point H est ^i point d'intersectioitàeW^ et dcMG, il faudrait (61) éliminer ir et j entre les équations (i) et (a); mais observons que, d'après Ja formule déjà citée, ce sont moins les coordonnées des deux points M et H, que leurs différences, qu'il est important d'obtenir; ainsi la question est ramenée à éliminer entre (i) et (2) les quantité x — x', J-— y, considérées commeincon'îHej; et lesvaleurs de ces quantités étant substituées dans l'expression

à la place i^i x' — x", y' —y", donneront la distance demandée.

Afin de mettre en évidence les deux inconnues 3: — se' , y — r', dars l'équation (1), comme elles le sont dans l'équation fa), nous écrirons lii première équation sous la forme

que l'on obtient en ajoutant — y' aux deux membres, puis en retranchant et ajoutant ux' dans le second membre.

Cela fait, rstranchons l'équation (2) de l'équation (3); il vient

Cette valeur, portée dans l'équation (a), donne

Substituant ces valeurs de a^ — x', y ~y', dans celle de D, et désignant par P la perpendiculaire, on trouve