Soit un c enO

Traçons dans nous d'en fixer

Si l'on désig

s de rayon quelconque r [f^.!,-i), dont le centre e;

n plan deux axes RECTANGOLAiBES AX, AT, et proposonsposition par rapport à ces axes.

par;>, q, les coordonnées AB, OB du centre, et par x,

î' les coordonnées AP, MP d'un point quelconque M de \& circoujéjcncc,

on aura, en vertu de la formulo du n" 48,

{X'-pY-h{r-qV= '■

Cette relation caractérise tous les points de la circonférence, en ce qu'elle est évidemment satisfaite par les coordonnées de chacun d'eus, et qu'elle ne peut l'être que par ces coordonnées.

En effet, soit N un point quelconque pris à Yextérieur on à Yintérieur du cercle; on a, en désignant toujours par x et ^les coordonnées de ce point,

pour le carré do la distance ON ; < OM, suivant que le point est exi suite nécessairement

^ il est évident que ON est > c iir ou intérieur au cercle, d'où ri

-;-)'+(/-?)'> ou <>■

Ainsi, l'équation (i) ne saurait être vériEÉe pour u trouve pas sur la circonférence.

Cette équation est donc I'équation du cercle, en ci complètement la position de c/uzcun des points de'la ciri

Les constantes qui y entrent sont îes coordonnées du feu et, en effet, un cercle est complètement déterminé avec ci

71. L'équation est plus compliquée lorsque les axes sont obliques

0 point qui ne so

i sens qu'elle Gxo rco,fé,e„ce.

-eet le rayon;

74 ÉQUA.T[ON DU GlifiCLî;.

{fig. 43 ) ; car, d'aprÈs la formiilo du n" i%, on a

â désignant l'angle des deux axes.

72. L'équation (i) (70) prend une forme plus ou moins simple, suivant les diverses positions du cercle par rapport aux axes.

1° L'origine fies coordonnées peut être placée en un point A' de la circonférence [fig. 1,1].

Dans ce cas, on a évidemment entre p, <] el /■ la relation

mais si l'on développe l'équation (1), elle devient

ou, supprimant les deux quantités égales p'' -h 5' et r\ (a) a:' — a/jj^H-j'^ 27/ = 0.

Telle est, dans' ce cas, la forme de l'équation du cercle. Si l'on pose j= o dans cette nouvelle é(|uation, il en résulte

ce qui prouve qu'en effet le point [x ^ o, / = o] ou l'origine, se trouve placé surla circonférence.

Remarque. — Comme, à l'hypothèse / = o, correspond encore l'abscisse X ■■= a/3, il s'ensuit que la circonférence coupe l'axe de? a en un second point G tel, que A'C est double de A'D ou p ; ce qui démontre que la corde A'C esl divisée en deux parties égales par hi pi/peiidniduue abaissée du cerjfre sur cette corde.

Cette propriété est connue en Géométrie; mais on voit comment on la met en évidence à l'aide de î'équation du cercle.

La démonstration s'applique d'ailleurs à une corde quelconque, puisque l'on peut faire varier à volonté la direction de l'axe A'X , pourvu que le second axe A'Y' lui soit mené perpendiculairement.

73, 1° L'origine peut Être placée à l'extrémité A" d'un diamètre A''G qui serait lui-même l'axe des x.

Dans cette nouvelle position des axes, on a

Equation du cercle. ja

ainsi, J'iSquation (i) devient

ou, réduisant,

On pourrait déduire œilo-ci de l'équalion (a) en y taisant

L'équation ( 3) peut servir à démontrer deux autres propriétés du cercle. En effet, d'abord, cette équation peut se mettre sous la forme

^r - X = k"G — k"îl =^ GR; Mr'=A"Rx GR, k''R:MR::MR:GR;

c'est-à-dire que /a perpendiculaire abaissée d'un point de la circonfén sur un diamètre est moyenne proportionnelle entre les deux spgment re diamètre.

La même équation revient encore à

or, si Ton tiro la corde A"5I, on a évidemment

f + ^-' ou Mr' + Â^'=-- A^l', 2/'^A"G, .r=A''i\;

ubic^n

A"M = A"G X A''R, ou bien A"G : A"5I : : A"S1 : ATi ;

ce qui prouve que lu corde menée par l'une des extrénûtés d'un diamètre est moyenne proportionnelle entre ce diamètre et le segment adjacent formé par la perpendiculaire abaissée de l'extrémité de lit corde sur ce diamètre.

1i. 3" Enfin, Yorigine des coordonnées peut Être placée au rentre. Dans ce cas, qui est celui que nous aurons à considérer le plus fréquemment, les coordonnées p ni fj sont nulles.

76 DES LIEUX GÈOOIÉTUIQ'JES.

Alors riqiiatioîi ([) se réduit à

C'est l'équalion du cercle rapparié à son centre comme origine, données étant regtanquluhes.

Si les axes étaient obliques, Téquation du cercle serait [71 )

N. B. — On parviendrait directement aux équations (4) et (5) par la considération du triangle rectangle OMR de la^g-, 4a, et du triangle oMquai/gle GMR de la^. 43, l'origine des coordonnées étant supposée en 0.

§ Kl. — Des lieux géométbiques.

73. Avant de pousser plus loin l'étude de la ligne droite et du cercle, il est utile d'entrer dans quelques considérations sur les équations des lignes en général, et sur le parti que l'on peut en tirer.

Nous avons déjà vu que la position d'une droite ou d'un cercle <^\fixéi: sur un plan par le moyen d'une équation entre les coordonnées x ety de duKun de ses points et un certain nombre de constantes dont la connaissance suffit pour détertniner celle position géométriquement.

Supposons actuellement que, ^ al y désignant toujours ies distances d'un point à deus axes rectangulaires ou obliques, la résolution d'une question ait conduit à une équation générale entre x et j, que nous représenterons par

(Le caractère F s'énonce : fonction de.)

Je disque, quand on voudra fixer la position du point qui satisfait à l'énoncé de la question ou dont les coordonnées vérifient l'équation, au lieu d'un point, on en obtiendra une infinité; et la série de ces points formera une ligne qui sera droite ou courbe, suivant la nature et le degré do i'équation.

En effet, puisque l'on n'a qu'anese/de équation entre les deux quantités *et/, on peut dispcffierarbitrairementde l'une d'elles (ces quantités sont, pour cette raison, appelées variables), et l'équation donnera les valeurs correspondantes de l'autre variable.

Donnons, par exemple, à l'abscisse x la suite des valeurs

Si l'équation n'est que du premier degré en /, on eu déduira succesâivi

DES LIKUX GÉOflÉTHIQOES. -j-]

ment, pour les valeurs correapondantes de cette variable, ï^b, b\ l>\ i^ b'-, ù-,....

En portant sur AX les valeurs de x {PI. III, fg. 44) , et en menant par les pointsP,P',P',P"',... des parallèles à AY, égales aux valeurs de j, on aura différents points M, M', M", M", ... qui satisferont également à la question.

Comme rien n'empêche de donner à a: des valeurs extrêmement peu difféi'entes les unes des autres, et qu'alors les valeurs de y seront ellesmêmes, en général, très-peu différentes les unes des autres, on doit en conclure que les points M, M', M°, . . . seront très-voisins; et Von pourra ensuite lier ces points entre eux par une ligne continue MH'M"!!!". , . , dont tous les points seront autant do solutions de la question, parce que les points intermédiaires sont censés correspondre aux valeurs de x, j-, tirées de l'équation du problème, et comprises entre celles qui ont déjà été construites.

Cette ligne sera d'ailleurs d'autant plus rigoureusement déterminée, que les points M, M'; M", . . . seront plus rapprochés les uns des autres.

Supposons maintenant que l'équation soit, par rapport à y, A' un degré supérieur au premier.

Comme, dans ce cas, à chaque valeur de x doivent correspondre plusieurs valeurs de / (j% 45), !a ligne est composée de plusieurs branches MM'M"...,NN'N"..., RR'R"....