La ligne représentée par l'équation

est appelée le lieu géométrique de cette équation.

Réciproquement, une ligne étant tracée sur un pjan, si, par un moyen quelconque, fondé sur la définition ou sur une propriété caractéristique de cette ligne, on par-rient à une équation qui existe entre les coordonnées X et 7 da tous ses points, et n'existe pas pour d'autres points, la relation ainsi obtenue est dite Véquation de la ugne. [f^oyez 50, 70.)

fious terminerons les notions générales sur les lieux géométriques par ■deux propositions qui seront d'un usage continuel, par la suite.

79. Première PROPOsmoiy. — On a vu précédemment que l'équation générale d'une ligne droite est de la forme

(Il f=:a-^^b,

les quantités a et ii pouvant passer par tous les états do grandeur.

Je dis que, réciproquement, toute équation du premier degré entre deux variables x et y, en tant que ces variables expriment des distances il deux droites fixes, a pour lieu géométique une ligne droite.

En elfet, quelle que soit l'équation proposée, on peut toujours la ramener à la forme

8o DES LIEUX GË011ËIEI1QUES.

Comparons entre elles les équations (i) et (a). 1° Si les axes sont rectangulaires, on peut poser a ou tanga — in et b =^ n.

Prenant alors sur AV (y%. 3ij une distance AB = », et menant par le point B une droite CBL qui forme avec AX un angle a dont m soit la tmigente trigonométrique, on aura (SI) pour l'équation de cette drcite ainsi fixée de position ,

y= a; tanga-HH, ou bien r= mx + n.

Donc cett« dernière équation a pour Ut-it géoméirk/iie une li&ne broite. 2° Si les axes sont obliques, on pose

Prônant sur AY {/g. 3a) une partie AB égale à », et menant par lo point B une ilroiieCBL qui forme avec AX un angle a tel que l'on ait

on aura {51 ) pour son équalion

r=x^-T^ r-h'i, ou bien y--in:e+n.

Donc, etc.

11 reste, toutefois, à savoir si l'angle a peut toujours ètro déterminé d'après la relation

siniO-a) a réconnu (58) que cotte relation donne

et l'on sait qu'une tangente peut passer par tous les états de grandeur; ainsi l'angle a est toujours susceptible de détermination.

80. Comme deux pointe déterminent la position d'une droite, ii s'ensuit qu'une équation du premier degré en x ut y étant donnée, il suffira, pour en construire le lieu géométrique, de fixer la position de deux de ses pointu.

Les plus remarquables sont ceux où la droite rencontre les axes ; et, pour les obtenir, on fait successivement, dans ré<iuation,

^=0, puis X = o;

DES LTEUS GÛOÎ1ÉrBIQUr«. Si

îes valeurs obtenues, pour x dans la première hypothèse, et pour y dans la deusième, représentent, l'une, l'ahgeisse du point de rencontre avec l'axe des x, l'autre, l'ordonnée du point de rencontre avec l'axe des j.

[On a déjà vu (B5) que l'introduction de ces deux quantités dans l'équation de la droite, lui donne une forme s) métrique. '\