tanga^=iOH- 1.5 — 1,3, 1. tangH .- [o/iarS^Sa

« = iao°57'49",5.

N. B. — Les constructions précédentes sont toutes applicables au cas ofi les axes sont obliquks.

Mais alors les quantités- et — ^1 expriment les valeurs du rapport

-; ; et, pour déterminer l'angle a, il faut faire usage de la formule

du n" Îf9,

'«"S^-^Y^TTc^' dans laquelle on remplace m par - ou — '-■, et sinS, cosfl par les si cosinus de l'angle 6 des deux axes, angle supposé connu.

les ases étant supposés quelconques.

Ed faisant successivement

^ = o, 1,2, 3, 4,.-., on trouve, pour/,

ce qui démontre, d'abord, que la droite ABB' passe par l'origine, et ensuite qu'elle divise l'angle ¥AX en deux parties égales.

Lorsque les axes sont nECTANGULAiRBs, l'angle a est égal à 45 degrés, c'est-à-dire est la moitié de l'angle droit.

83. Remarque importante. — L'équation proposée pourrait être en itou en y seulement, c'est-à-dire ne renfermer qu'une seule variable. On peut avoir, par. exemple {fig. 5i), l'équation

j'renanl sur AX, AB = - 1 et menant par le point B, W. parallèle à AY, on obtient une droite dont tous les points jouissent exclusivement [-ï'i] de la propriété d'avoir - pour abscisse, quel que soit d'ailleurs y.

Soit encore {Jîg. 5s)

Cette équation étant résolue, donne

r=' et /-=-3.

Si l'on prend sur AY, deux distances, AB = i , AB' = — a, et que l'on mène GH, G'H', parallèles à AX, l'ensemble de ces droites constitue le lieu, géométrique de l'équation.

GÉNÉRALEMENT, toute équation kune seule variable a pour lieu géomé- (ri^KeuNE DROITE ou UN SYSTÈJMB de plusieurs droites parallèles, soit àAX, soit à AY, suivant qu'elle est du premier degré ou d'un degré supérieur en j" ou en x.

84. La question suivante, qui se rattache aux lieux géométriques du premier degré, peut avoir son utilité dans les applications.

Trouver l'équation d'une droite assujettie àpasser par le point de contours de deux droites données.

Soient

les équations de ces deux droites. On peut les mettre sous la forme

84 DES LiEiix GÉoaÉTniQui;5.

et si Von pose la nouvelle éqwaUon (2) [y — cij: - h) m -r- j - a'x - b' = o,

m étant une indéterminée quelconque, on obtiendra l'équation demandée. D'abord le lieu géométrique de cette équation est une ligne divite, puisqu'elle est du premier degré en x et en y. De plus, elle est salistaite lorsque l'on pose simultanément y~ax-b — a, y — a'3: — b'=o, y = ax-^b, y = a' x -i- h' -,

d'où l'on voit (61 j que ies coordonnées du point de concours des deux droites données, la vérifient.

D'ailleurs la quantité m est, par hypothèse, nue indéterminée qui peut recevoir toutes les valeurs réelles possibles.

Ainsi l'équation (a) peut être considérée comme l'équation générale de toutes les droites passant par le point d'intersection des den.v di-oites données.

Remarque. — Nous avons vu plus haut que toute équation da la formo A^ + Bj + C-^o,

qui est du premier degré, représente une ligne droite. Alors, si l'on prend jes équations dœ deux lignes droites sous les formes plus générales (3) A^ + B7-^C = o, A'-c + B'r4-C'=o.

l'équation générale d'une droite passant par leur point d'intersection sera de même

( A^ + Bj)- + C) m -+- Mx + E' j + C = o.

83, Seconde pitoposiïio.N. — On a trouvé (10) pour l'équation générale du cercle rapporté à des ascs HECTA-N'GUiAines,

(0 .-e + y'~ipx - -Kjy + p' + q' - r'= o.

Réciproquement, toute équation du second degré, de la forme (2) ;c' + j'-KA^ + Bj-i-C = o,

c'est-à-dire qui ne renferme pas le rectangle xy des variables, et dans laquelle les coefficients des carrés sont égaux à l'unité ou égaux entre eux (parce qu'on peut toujours diviser l'équation par ce coefficient commun), appartient (dans le cas d'axes rectangulaires} à une cireonjérencc de cercle.