V-- ot 3° Que l'équation

.r'-hy'-h 4-'- — V-l- 7 = o ne représente men.

On peut, en etlel, lui donner la forme

88 DES LIEUX GËOHËTniQUES.

équation dont le premier membre, étant ki somme île ilcux cane.', r.? peut être égal à une quantité négative.

87. La proposition que nous avons établie et démonlrco au n" Sîi, suppose que les axes sont bectaniiUlaires,

Cherchons maintendnt, dans le cas à'axes obliql'es, les conditions nécessaires et sutQsantea pour que 1 équation complète du second degré à deux variables

(i) Aj' + Bj^ -H Ca:' -+- D/ + E j- + F ^ o

représente une di-conférence de cercle.

On a trouvé ( 71 ) pour l'équation la plus générale du cercle

Il ne s'agit donc, pour résoudre la question proposée, que de comparer terme à terme les équations {i) et (a).

En développant la dernière, et égalant entre eux les coefficients des

termes, analogues de cette équation et de la première, «■/iVwee d'abord

par A, on obtient les relation;

;s deux premières relations on déduit

ce qui prouve déjà que l'équation (i) ne peut représenter un cei-cte qu'autant que les coefficients de j:'' et y' sont égaux, et que la courbe est rapportée à un système d'axes dont l'angle fl a pour cosinus — j--

Ces deux conditions étant supposées remplies, reste à savoir si les quantités/», ^, rsont toujours réelles.

Or tes deux quantités p el '/ sont liées entre elles par les troisième et quatrième relations, qui, considérées comme deux équations du premier degré à deux inconnues, donnent

D cosfl - E Ecosfl — D

valeurs essentiellement réeUes.

rSSGE DES LIEUX béohEtriquks. 89

Quant à la quantité /-, elle est formée par la derniers relation, d'où l'on

= y/'' +'/+=/"/ ooaO-

expressioîl radicale du, second degré qui montre, sans qu'il soit besoin d'y substituer les valeurs trouvées pour /i et y, que r peut Otrc une qv-diitité réelle, nulle ou imaginaire.

D'où l'on conclut que, sous la double condition

A=,C, c«sD=»

l'équation (1) représentera toujours un ce/tle, à moins que la courbe ne se réduise à un point, ou qu'elle ne représente rien. Soil, pour exemple, l'équation numérique

et supposons la courbe rapportée à un système i'ii^cs 0. quels on ait

cosO:^ — 51 d'ofi sinS = "/â,

systënio qu'il faudrait préalablement construire. 11 on résulte

Ainsi, dans !e système particulier d'axes qui vient d'être défini, l'équation proposée représente un cercle dont le centre a pour coordonnées

~ â' "*" ft' ^^ '^'"'^ '^ rayon est ^j à moins de -^ près.

^V.J.— Danslecasd'asesrecîdfl^H/aiws ou d'un système d'asesoRLiouES, qui ne satisferait pas à la condition exprimée par cos9 = — ^ 1 l'équation

proposée représenterait une courbe offrant de l'analogie avec le cercle, ainsi que nous le verrons plus îoin.

Usiige des lieux géométriques.

S8, Les notions générales que nous venons d'exposer sur les lieux géû-

go USAGE DES LIEUX GÉOMÉTRIQUES.

MiirniQUES étant bien entendues, voyons le pavli que Von peut en tirer dans 'a résolution des problèmes de Géométrie déterminés ou indéterminés.

Considérons d'abord te cas où la question est indéterminée, et supposons que cette question revienne à Jixer la position d'un certain point sur le plan d'une figure.

En rapportant le point cherché et les antres parties de la figure à deux axes, et désignant les coordonnées de ce point par x et j, on obtiendra, par la traduction algébrique de l'énoncé, une certaine relation, F(3',/) = o, entre ces coordonnées et les quantités connues, laquelle sera dite I'équa- TioN DU PROBLiîME ; puis, SI, Conformément aux principes établis précédemment, ou construit le lieu géométriijue de cette équation, la série des points faisant x>artie de ce lieu géométrique satisfera à l'énoncé de la question ; et îes coordonnées de ces points représenteront géométriquement tous les systèmes des valeurs de ^ et de / propres à vérifier l'équation

8J ho se lenent les lieux géombthioues servent à résoudre les (uest ons nJete ées, mais on peut encore en faire usage dans les problenes letern nés à deux inconnues.

Adme ton en effet, que l'énoncé d'une question ait conduit aux deux

I ton

et j r présentant les coiinlonnécs d'un certain point rapporté à deu?; ise quelconques

On pourra t d abord, éliminer a: et j entre ces équations, puis constru re tous les systèmes de valeurs que l'on obtiendrait; chacun des po ts a ns détern nés satisferait à l'énoncé.

Ma s sa s effectuer l'élimination qui, le plus souvent, conduit à des réaultala compliqués, et n'est d'ailleurs pas toujours facile, on peut fixer !u position de ces mêmes points.

En effet, l'équation F[j:, j)= o (fg. 56), considérée seule, représente une certaine ligne, lieu de tous les points dont les coordonnées vérifient cette équation. Supposons-la construite, et soit LBH ce lieu géométrique.

De même l'équation F'(a;,j) = o est celle d'une seconde ugnb dont tous les points sont tels, que teurs coordonnées vérifient cette équation ; supposons cette ligne construite par rapport aux mêmes axes que la précédente, et représentée par KCI.

11 est évident que les points M, M',. .., où ces lignes se renconti-ent, sont ceux qui satisfont à l'énoncé, puisque leurs coordonnées forment des systèmes de valeurs de ^ et do y, qui vérifient en même temps les deux

USAGE DES LIEUX fiÉOWÉTHIQUES, 9I

ùqualions. Ainsi ^ les points M, M',,-- sont autant de solbtions de la question dont ces équations sont la traduction algébrique, si toutefois on a eu pour objet àeficer, sur un plan, ^.position d'un point d'après certaines conditions.

Lorsque les inconnues x et y, au lieu d'exprimer des distances de points àdes axes fixes, expriment des lignes, les coordonnées des points M, M*,... représentent les valeurs géométriques de ces lignes.

En substituant ainsi les intersections des deux lieux géométriques à l'élimination entre leurs équations, on parvient souvent à des constructions simples et élégantes du problème. La suite de ce Cliapitrs nous en fournira plusieurs exemples.

90. Nous nous bornerons, pour le moment, à faire l'application de ces principes à un problème traité dans 1' Introduction, et qui a fait l'objet des n" 20 et 21.

Beprenons, à cet effet, les deux équations obtenues par la première méthode d'appiication do l'Algèbre à la Géométrie, savoir :

(1) ^h^^Y^^c~yy=r\

et observons d'abord que ces équations seraient celles qu'on trouverait en rapportant le point inconnu D (fig. 6) à deux axes rectangulaires dont l'un serait AB pris pour axe des x, et l'autre une perpendiculaireélevéeaupoint A.

Cela p<sé, au lieu d'éliminer .r et j- entre ces équations qui conduisent, ainsi que nous l'avons vu, à des résultats très- compliqués , tâchons de construire les lieux géométriques qu'elles représentent.

La pbemièbe est évidemment celle du cercle donné; car CD ou r étant le rayon, 6 et c ou AF et CF sont les coordonnées du centre.

Quant à la. seconde, qui peut se transformer ainsi,

elle représente (85) un cercle dont li (/§■. 7), en un point K pour lequel on

'l'I.rfiATlON DES THÉOniES PRÉCÉDENTES

Or le triangle rectangle A.CL donne

al' ou Hr=Ic'— cl',

'=v/?-"'ï-'-*'--'--v/Fï)'-

ailleurs, ù -est égal à KF; ce qui donni;

Mais si l'on mène du point K les tangentes KD et KD' au cercle donné, on a évidemment

D'où Ton voit que ces deux tangentes donnent, non -seulement ie rayon du second cercle, mais encore les points où les deux circonférences se coupent, c'est-à-dire ceux dont on demandait de fixer k position.

II est remarquable que la premiéi-c méi/wde eràployée pour résoudre la question, méthode que nous avons appelée indirecte (43), conduise, par le secours des lica^ géométriques, à la mâme construction que la méthode générale. Mais il faut un peu de réflesion et d'habitude pour découvrir ce rapprochement.

§ IV. — APPLICiTION DES THÉOCIES PBÉCËDEîiTES A l.A. RIÎSOLUTION DE DIVERSES OUESTIONS ET AU PROBLÈME DES TANGENTES.

Question sur la ligne droite.

91. Première question. — Rechercher par l'analyse les points d'intersection (fcïw à deux des droites menées par les sommets A, B, C (fig. 67) d'un triangle, et par les milieux F, E, D des côtés opposés. Prouver que ces trois médianes se coupent en un même point.

A DES QUESTIONS SIJR LA I.ldNE DROITE. gj

Prenons deux axes nECTA^"GUI.AmE^ AX, Aï, dont l'un, c«lui des a-, se; confonde avec l'un des côtés AB du triangle, Vorigi/ie Étant d'ailleurs placée au sommet A.

La question consista à former les équations des droites AF,, BE, CD, pnis (M ) à éliminer x et 7 entre ces équations combinées deux à deux. Mais, auparavant, il est nécessaire d'établir les coordonnées des points A,B, C,D, E, F.

Oii a d'abord pour les coordonnées de A,

(j.-.o, ^=:=o); soit ÂE = t; il en rtsultc pour celles de B,

posons d'ailleurs pour le point C,

Maintenant, comme D, I!, ¥ sont les milieu.'): de AB, AC, CB, on en dé-

ce qui donne pour les coordonnées dos points

Connaissant pour chacune des droites ÂF, BE, CD, les coordonnées de deux de ses points, nous pourrions obtenir son équation en sutetituant, dans la formule (5) du n" 57,

à la place de :c', y', af, y", les valeurs correspondantes ; mais il est plus convenable d'opérer de la manière suivante.

y4 S-PPLICATION DES THÉOltlES PRÉCÉDENTES

Comme AF passe par l'origine, son équation est do ia forme

et puisque cette droite passe par lo point F, ou ( ~i i on a ia

relation partiouliÈre

^ = r(('--^-'y d'où « = ^^-,;

ainsi l'équation de AF est

La droito BE passant par le point B, ou (o, c), son équation est (138) de la forme

Mais, comme cette même droite passe par le point E, ou 1 ^— i — ji on a la relation

~.^a'{-^-~X d'où "'=^£^^,i

donc i'équatlon de BE est

On trouverait de mÈme pour CD,

!1 reste actuellement à combiner les équations (i), (a) et (3). D'abord, on déduit des deux premières,

(■quation qui élant résolue donne

Portant cette valeur dans l'équation (i), on trouve

A DES QUESTIONS SUII r.t I.IGNK dhoite. Puis les éq-ations (i) ot (3) donnent

j. -.../. , et par conséquent x = :^-

D'où l'on voit que les coordonnées du point d'intersection des deux droites AF, BE sont identiques avec celles du point d'intersection de AF et CD. Ainsi, CES TROIS hkoitës se coupent en un même point. Si du point 0 commun à ces trois droites, on abaisse l'ordonnée OP, les deux triangles semblables DCH, DOP donnent

OP:CH::DO:DC; mais on a Of = ^j'==^; donc aussi

Le point 0 se nomme, en Statioue, ie centre de gravité du triangle.

92. En réfléchissant sur l'anaîyse précédente [fig. 58), on reconnaît aisément que les calculs sont les mêmes, quelle que soit l'inclinaison des aies. Ils deviennent beaucoup plus simples lorsqu'on conservant AB pour axe des x, on prend pour celui des ordonnées une droiie Aï pamltèhà CD, ce qui est permis, puisque la droite CD est connue de position.

Dans ce cas, il est évident que' l'abscisse x' du point C est égale à AD

ou-, d'où c = -i.x'\ et les équations (i], (a), (3) deviennent, savoir : L'équation de la droite AF,

celle de la droite BE,

et celle de la droite CD,

Cela posé, combinons cette dernière équation avec la première; il en résulte

En la combinant avec la seconde, i

gG APPLICATION Ttf.S TIlfiOElES PllÉCP.IlENTES

Ainsi , les coorrfoiinées des points d'iiUerscctin/i de CD et de AI', Ci de CD et de BE, sont

On voit par là combien le choix des axes peut influer sur la siraplicitiï des calculs.

93. Seconde question. — Déterminer lus points d'intersection deu^ h deux des perpendiculaires abaissées des ti-ois sommets du triangle ABC (fig. 59 j, sur les côtés opposés. — Démontrer que ces peq>endiculaires se coupent en un même point 0.

On conçoit qu'ici il doit y avoir de l'avantage à supposer les axes hbc- TANGULAiREs, puisqu'il faut faire entrer en considération la relation de perpendioukrité de deus droites {voir ie n° 64) .

Prenons encore pour axe des abscisses la ligne AB, el pour asn des 07ilonnées la perpendiculaire élevée au sommet A.

En désignant toujours par c la distance AB ou l'abscisse du point B, et par a:', J-' les coordonnées du point C, on a d'abord pour l'équation de CD parallèle à l'axe des j,

Avant de rerhercher les équations de AF et de BE, nous commencerons par déteimmer celle des droites CB, AC, auxquelles elles sont perpendiculaiies

Or, la droite CB passant par les deux points (j ', j:') et (o, c), son équation est (S7)

Celle de la droite AC qui passe par l'origine et par le point [^\ y') est

Cela posé, AF passant par l'origine a une équation de la forme j = a'^-; et comme elle est perpendiculaire à CB, en a (6-i] la relation

= o la ayant pour valeur — ■ ; j;

Ainsi l'équalion de AF est

La clroilo BE étant assujettie à passer par lo point B ou [o, c), on a pour son équation,

et puisqu'elle est perîiendiculaîre à ÂC, on doit avoir la relation

i)ioi'-h I -- o f »! ayant pour valeur -■- j ;

d'où l'on déduit

m ~~ y' Donc enfin l'équation de BE est

Maintenant, si l'on combine les équations (i) et [a), on trouva

^-'^, y- y Comiiinant de mÉme les équations (i) et (3), on obtient

Donc les coordonnées du point d'intersection des droites CD, AF sonl les mêmes que celles du point d'intersection des droites CD, BE ; ainsi ces