TROIS DROITES SB COUPENT EN U« MÊME POINT

94. Nous indiquerons comme exercice se rattacliant aux questions qui viennent d'être traitées, les trois suivantes :

Démontrer par l'analyse :

i" Que les perpendiculaires élevées sur les milieux des côiés d'ii/t Iriaitgle concourent en un même point;

a" Que ce point et les points de rencontre qui se rapportent aux deux premières questions sont tous les trois placés sur une même droite;

3° Que les trois bissectrices des angles d'an triangle concourent en un même point.

Ap.dt: VAl. à ta G. ^

1)8 APPLICATION DES THÉORIES PUÉCÈDENTliS

La première et la troisième de ces queslioiis offrenL un rapprocliemert reniarquable avec celles du cercle circonscrit et du cercle insciit au triangle donné.

Qiieslioiis sur le cercle,

05. PiiEMiÉnE QUESTION. — Rechercher par l'analyse lc3 conditions qui expriment que deux circonférences de cercle se coûpein, se touchent, ou

Soient 0, 0' (fig. 6o) les centres de deux circonférences de cercle, r, r' leurs rayons, et 00' ~d\a distance des centres.

Prenons pour axe des a: la ligne des centres, et pour axe des j' la perpendiculaire OY élevée par le point 0.

Le cercle dont le rayon est r étant rapporté à son centra et à deux axe,- KECTANGULAiREs, on a (74) pour l'équation de ce cercle,

Celle du second cercle, dont le centre a pour coordonnéi.'S /^ = (l,n ---- o, est (70)

(2) r'^[x^df=r'-'.

Cela posé, pour exprimer que les deux circonférences de cercle se cou- /)e«/, el obtenir leurs points d'intersection, il faut (61) établir que leui-s équations ont lieu en même temps, et éliminer ,r, j entre ces équations.

A cet effet, retranchons l'équation (a) de l'équation (i); il vient

Cette valeur, portée dans l'éqiialion (i), donne

Discussion. — L'inspection seule de ces valeurs prouve d'abord que, dans l'hypothèse où la quantité sous le radical de la valeur de / étant positive, les valeurs de x, y sont réelles, et oii par cffliséquent les ciixonférences ont deux points communs, dans cette hypothèse , dis-je, les deux points d'intersection ont une même abscisse OP, mais deux ordonnées

Donc, toutes les fois que deux circonférences se coupent, la ligne des

A DUS QUESTIOKS SIJB LE CEUCI.E, ^Çf

iiiHici e\t pcipcndiinlaire à la œrde commune, cl la ilmsc in /hue

Maintenant, afin de <îavoir quand y eara j-éel ou iimgi'inhv, nous ferons bubir à l'etpreiBion ci-dessus une transformation.

La quantité sous le radical, éUnt la différence de deux cmrés., pout Être décomposée dans le produit

[-idr-^r^-^-fP- !■■■'] [idr -!■''- d'-i- r"] :

mais chacun des deux facteurs ontre |)arentîièscs estant lui-mûmo la diffcrcncc de deux carres

(,■ + ,()■-/■ ut ,■■'-(,•-,;;=,

on a pour le premier,

el pour le secûnd,

Donc, enfin, la valeur j* devient

Sous cette forme, comme le premier facteur soumis au radical est essentiellement/««■(«/, on voit que/ sera réel tant que ies trois autres seront positifs, ou l'un deux positif et les deux autres négatifs.

Mais cette dernière circonstance ne peut jamais exister, car dès qu'un de ces troisfacteursest^e^iK//", les deux autres sont évidemmenl/wjrtiA.

Par exemple,

r -+- d — ?■'<: Q revientà r -t-d -^i',

et donne nécessairement

r<ir' et d<,r'; donc

/■■—r-+-d el r'-d^r sont positifs.

Même raisonnement pour le cas où l'on aurait

,.-^,.',;<(, ou /+d-r<o.

A plus forte raison, les trois facteurs ne sauraient Être nêgaiifs à tnfois. Ainsi, il ne peut se présenter que deux cas :

Ou \ea trois facteurs sont /wjiïi/î à la fois, et dans cb cas, x est réel; Jono rleax circonférences se coiipciit toutes les fois c/uc l'on a

r+dyr', r-\-r":>d, r'-hdp-r;

iOO AITUCATION DES TilËOIlIES PRÉCÉDENTES

c'esirà-dire duicme des trois qiuiniUés, les rayons et la distance des contres, maindre que la somme des deux autres;

Ou bien, l'un des trois facteurs est négatif v,i les deux autres positifs; dans ce cas, y est imagimùre et il n'y a pas de point d'intersection : ainsi deux circonférences n'ont aucun point commun, lorsque l'une des inégalités ci-dessus a lieu dans un ordre inverse.

Il peut arriver que l'on ait

)■-(- d ~- r', ou '■-!- '■'= d, ou r'-\- d-- r.

Dans ces différents cas, les deux valeurs dey se réduisent à o, et les deux circonférences n'ont plus qa'un point commun, lequel est nécessairement placé sur la ligne des centres, [luisque son ordonnée est nulle

Donc, deux circonférences de cercle se touchent toutes It-s fou tjue in distance des cercles est égale à lu somme ou à la différence det riiyom

Ces résultats sont conformes aux théorèmes étahiis en Geometiie sur les intersections et les contacts de deux circonférences.

Cas particuliers. — Soit d~o, auquel cas les deux un,onftienLCj sont concentriques; les valeurs de j: et day devionuejic

expressions déforme infinie.

Ce résultat, qui exprime que les deux circonférences ne peuvent alors avoir aucun point commun, offre quelque analogie avec celui qu'on a oblenu au n" 61, dans le cas où deux droites sont parallèles.

Si l'on avait en môme temps

d^ci et r^= r\

iûs valeurs de x cl de y se réduiraient à

lignes ordinaires de X indétermination.

En effet, dans ce cas, les deux circonférences se confondent ot ont nnr infinité de points communs.

96. Seconde question. — Faire passer une circniiférencc de rcrcli par trois points donnés.

Toutes les fois que l'on conr.att la position du centre d'en cercle sui

A DES QUESTIONS SUH LE CEllCLE.

lO-

un pian, et la hnsuciir de son rayon, ies quantités constii. outrent dans l'équation

ntcsp, q,r, q;il

doivent Être regardées comme données à priori; et le cercle est complètement déterminé par cette équation.

Mais on peut, comme pour la ligne droite, se proposer de déterminer une circonférence de cercle qui satisfasse à certaines conditions, comme celles &% passer par des points donnés, d'être tangente à une ou plusieurs droites, à une ou pluâeurs circonférences, etc. ; dans ce cas, p, q, r sont des coRstantes indéterminées dont les valeurs dépendent de ces diverses conditions; et comme les indSlerminées sont au nombre de trois, il s'ensuit que l'on peut imposer à une circonférence trois conditions difTérentes, celles, par exemple, de passer par thois points bonnes.

Soient en général [3:', y'), (a?", j"), (.r"', j "j trois points donnés sur un plan par rapport h deux axes rectangulaires, et appelons p, q, r les coordonnées du centre et le rayon ; son équation sera de la forme

(') {^-py + {jy-'jY=r\

p, g, r étant des quantité r/u^îl s'agit tic déterminer.

Or, puisque chacun des trois points donnés se trouve sur la circonférence, on doit avoir les relations

:.=-'-ri^-:-Lr' -?)'='■',

{■>■■'•- pY-^ [y'" --iy-^r^;

et la question est ramenée à éliminer />, fj, r entre ces relations, pour les reporter ensuite dans l'équation (i).

En développant, puis soustrayant successivement la seconde et la troisième relation de la première, on trouve

(a) y - 3^''' -+- j'^-/" - tpix'-x" ] - 2(/ L)-'- r" i = o.

(3} ^•'-x"-i'y'-x'"''-%p[x'-x"')~iq{y'~y"') = o,

équations du premier degré en /), q, d'oît l'on peut tirer facilement le.i valeurs de ces inconnues ; après quoi, en les substituant dans la prcmièndes relations ci-dessus, on obtiendra la valeur correspondante de r.

Nous n'entrerons pas dans les détails de ces calculs qui n'offrent aucune difBculté réelle, et qui présenteraient d'ailleurs peu d'intérêt à cause de leur complication ; mais nous allons tâcher de traduire en Géométrie les équations [■>.) et (3).