APPLICATION DES THÉORIES PRÉCÉDENTES
Chacune do cos équations, considérée seule, éUnt du premier degré par rapport aux quantités /> et y qui expriment les coordonnées d'un point, représente (79) une ligne droite; et si on les construit succesàvetnent par rapport aux mêmes ases, le point d'intersection (61) de ces lignes sera le centre du cercle demandé.
Occupons-nous d'abord de l'équation (a); elle peut Stre mise sous la forme
Cela posé, soient M, M', M" {Jig, 6i) les points dont les coordonnées sont {^,y'], (^,y), (^", :/'").
L'équation de la droite MM' est (57)
D'un antre côté, les trapèzes MM'P'P, MM'H'R donnent, pous les ci données NQ, NS, du point N, im!ieic de MM',
imsi déjà ! Équation (4 ) est celle d'une droite passant par le point N,
En outre si 1 on compare les deux coefficients *— ; — ^ et — —, ^
les équ t ono (5] et {41 on o't q 'ils satisfont à la relation oû'-i- i = o
qu e\pr me (bi) que de \ drn tes sont joe/pe/ifAcutore* entre elles.
D ou 1 on peut conci re que 1 équation (4 ], qui n'est autre chose que 1 é I at on (a) tn sformée rep sente la droite Élevée par le point N mi- / e de aiM pe pe d la e e l c cette dernière ligne. Ainsi, sa constr et on est f c le
0 e on a trad nène q e 1 équation (3} représente la perpcndiat- /n elo a le N de MM dont l'équation est
Le centre du cercle chei-ché se trouve donc détermine de position; et la construction que nous venons d'en donner est précisément celle des éléments de Géométrie.
A DES QUESTiONS SUR l.E CEHCLE. Io3
97. On parviendrait à des résultats plus simples en prenant pour origine des coordonnées le point M {Jîg. 62), et pour axe îles abscisses la droite MM', le poiet M" ayant d'ailleurs une position quelconque.
Soient a la distance MM' ou l'absoisse du point M', a', & les coordonnées du point M".
On a encore pour l'équation du corde,
Or, puisque le point M doit se trouver sur la circonférence, ses coordonnées j; — o, j = o, doivent vérifier l' équation (1], et l'on a
pour premicre rdation entre les Inconnues/?, 7, r. D'un autre côté, le point M' ayant pour coordonnas x et o, l'on do;l
ou, h cause de la relation préci'donle,
Enfin, los coordonnées k', S' du point M" devant aussi -vérifier i'équa lion(i), on obtient
ou, d'après la même relation /^'-+-.'/= /■',
(3) ^'=5/,^.'uS"-2e'ï = o.
Si, maintenant, on construit les lieux géométriques des équations (i et (3), leur point d'intersection sera le centre du cercle chei-ché. 1,'équation [a) donnant
représente évidemment la perpendiculaire & MX, élevée par lo millm X de MM'.
Quant à l'équation (3), elle peut être mise aous la forme
ou Lion encore sous celle-ci :
I04 rnOBLÈME GÉNÉRAL DES TAKGENIE5.
et représente la droite élevée par le poÏQt N', dont les coordonnées sonl — • — 1 perpendiculairement à. ]dLAvoi\eMW, dont l'équalion est
On reeonnaîl encore ici l'importance du choix des axes.
Définition générale de la tangente à une courbe. Moyen analytique de fixer sa position en un point donné d'une courbe quelconque.
98. Commençons par fixer le véritable sens que l'on doit attacher au
mot TANGENTE.
On définit, en Géométrie, la tangente au cercle, une droite qui n'a qu'»/? point commun avec la circonférence ; mais il est aisé de voir que cette définition ne convient pas à toutes les courbes.
Soit, en effet, une ligne telle que LN'NKHH (/*§■. 63), Si, en un point quelconque M, on mène une droite MNN', qui semble se trouver, par rapport à la partie KMH, dans la situation d'une tangente telle qu'elle vient d'être définie, cette droite peut être supposée n'avoir qu'un point commun avec cette partie de la courbe; mais prolongée indéfiniment, elle passera par d'autres points N, N', ... de la courbe. Donc il ne serait pas exact de dire qu'elle n'a qu'un seul point commun avec LN'NKMH.
Il y a plus : une droite située dans le plan d'une courbe peut avoir un seul point commun avec cette courbe sans lui Être tangente dans le sens attribué à ce mot.
Par exemple, la courbe/'— i.x, dont nous av 1 qvé 1
tion au n" 76, est telle que l'axe ky est bien, par rapp à bi,
dans la position d'une tangente; mais il n'en es p d m d 1 des X qui n'a que le point A commun avec elle. L ô b ra
évidemment li^u pour toutes les droites menées p 11 1 X p
les différents points M, M', N, N', . ■ ■ ■
Pour avoir une définition, qui puisse s'applique 1 1
faut imaginer qu'une droite Sj {Pl.IV,fig.^êi) ayant deux points M, m, communs avec la courbe, tourne autour de l'un de ces points, M par exemple, de manière à prendre les diverses positions SM ms, S' M m' j', S° m'H s" ; on voit que, dans ce mouvement, le second point commun avec la courbe, qui était placé d'un côté du point M, en m, m', se trouve maintenant du côté opposé, en m°. Or, dans le passage de la première position m à la
PROliLfiME GÉNÉRSL DES TANGENTES. lo5
m', il doit nÉeessairement en exister une, uitcrmêdiaire, où le point m vient à Je confondre avec le point M; et c'est dans celte position, représentée par TMï, que la droite est dite une tangente.
On doit donc regarder une tangente à la courbe comme une sécante ebnt deux des points d'intersection vien/tent à se réunir en un seul.
89. I! n'est pas toujours nécessaire que le mouvement de la droite se fasse autour de l'un des points d'intersection ; il peut souvent se faire autour d'un point quelconque. La droite peut même, dans certaines circonstances, se mouvoir parallèlement à elle-même.
Beprenons encore la courbe
Comme, à chaque valeur de x positive , correspondent deus: valeurs de y égales et de signes contraires, il s'ensuit que toute parallèle à AY , menée à droite de cet axe, est une sécante qui a deux points communs avec la courbe ; mais à mesure que a: diminue, les dislances M'N',MN,..., entre ces points d'intersection, diminuent; et lorsqu'enfin on suppose a! = o, auquel cas la valeur de / devient j- = ± o, les deux points d'înlersection se réunissent au point A, et la droite AY est dite tangente à la courbe.
On reconnaîtrait de mÉrae que , dans la courbe disculée au n" 77 el ayant pour équation
d'où, résolvant pai- rapport à x, on lire
la droite IK, parallèle à AX, et située à la distance f = i, est une sécante donl les deux points d'intersection sont venus se réunir au point B. Une courbe étant ordinairement regardée comme un polygone d'une infinité de côtés infiniment petits que l'on nomme les éléments de la .courbe, ou comme la trace d'un point qui change à cbaque instant de direction, on. peut encore dire que la tangente à une courbe est un des éléments de cette courbe, prolongé indéfiniment. C'est ainsi qu'on l'envisage dans la haute analyse ; mais ici nous la considérerons comme uke sé-
CiNTE DONT DEUX POINTS D' INTERSECTION AVEC LA COURBE SE I1É«N1SSE«T
EN UN seul; et c'est ce caractère que nous allons traduire en analyse.
100. Prenons une sécante quelconque SMms [fig.&i) à la courbe M 'M M° rapportée à des axes bectangulaires ou obliques AX, AY; el
(IKOLINMSON,
I>!î L*. TANGENTE AU Cr.nCLU.
^', 7', ies coordonnées du point M, par x", r", X'-h Â; celles du point m.
L'équation do la droite M'« rapportée ans mÈmes axes sorn
:r-r'-^^;-r^---,-GK-.r'), Ou J - j' -- j-^[x - ^-■
le rapport ^-__-' ,■ ou jj que l'on appelle le coe
ou coEEFiciiîwT ANGULAIRE, est la quantité qui doit fixer complètement la
position de la sécante.
Concevons maintenant que la droite SUms tourna autour du point M de manière cpie le point m se rapproche continuetlement du point M; il est clair que, dans le mouvement, A et & diminueront simultanémenl, et
que le rapport j passera d'une manière continue par différoAîs états de grandeur jusqu'à ce que le point m vienne tomber en ai avant que la sécante prenne une position telle que Mm'. Lorsque la coïncidence aura lieu, la sécante prendra la position-limitb MT; et, à ce moment, le rapport atteindra lui-même îa umite vers laquelle il aura sans œsse convergé.
D'où l'on peut conclure que l'équation de la tangente sera
e'est-à-dîre que le coefficient d'incliruiison dans l'équation de la tangente est lim j ; limite que l'on obtiendra d'ailleurs en faisant ^' — 3:', y ~ y' dans l'équation de la sécante, après que l'on aura exprimé toutefois que les points {x',y-'), (.i:",j") appartiennent à la courbe donnée.
C'est dans la détermination de cette limite, pour chaque courbe, que consiste la solution du problème des tangentes.
De la tangente au cercle. — Propriétés qui s'y rattachent.
■101. Soit d'abord un cercle rapporté à des axes kectasodl aires, et a sou centre comme origine des coordonnées. On a pour son équation
Une sécante quelconque srra représentée par l'ensemblG des trois rela-
mais si l'on retranche la seconde de la troisième, on a ou l]ien
ot, par suite; le système des trois relatioas (i), (a) etj3) peut être ri placé par celui des deux suivantes :
Si, maintenant, on veut que x', y' soient les coordonnées du point de contact d'une tangente à la courbe, il suffit (98) d'exprimer que le point (x", y") vient à se cunfoiub-e avec le point [x/, y'), c'est-à-dire de [loser
C9 qui donne
et l'équation de la sécante devient alors
Telle est l'équation de la tangente au cbrclb , pourvu que l'on y joigne
la relation (a] qui exprime que le'point [x', y') se trouve sur In cmirhe.
Il est aisé de reconnaître h posteriori que l'équation (4) caractérise la
tangente au cercla eu un point M [Jig.&i) dont les coordonnées sont
En eil'et, tirons le rayon OM dont réqi-iation , par rapport ans mûmes
on voit que les deux corffick relation na' -x- 1 ^ o.
lob CE H TANGEKTE AL CKRCl.E.
Ainsi, la droite SMT représentée par l'équation [4 j est perpendiculaire à l'extrémité du rayon OM ; donc elle est tangente en ce point.
Lorsque les axes sont obliques, les calculs nécessaires pour la dùterrnination du eoefficient angulaire de la tangente sont un peu plus compliqués.
L'équation du cercle est alors (74), Voiigme étant toujours placi'B au
celle de la sécante conservant la forme
On a d'ailleurs pour les deux relations qui expriment que les points {^'} X')r {i^°> X") sont sur la courbe,
J"'-^-,^•"--i-a.1c")-''cosO — o.
Retrancliant ces deux égalités l'une de l'autre, on trouve
Mais, pour en déduire le rapport .. , et, par suite, la LiiirrB de c^
rapport, il est nécessaire de transformer le facteur .v'j"^ x'j-'; c^ qui se fait eu lui ajoutant les deux termes, — x'y-i- x'y', qui se d;':truisent. Il vient ainsi
et l'égalité précédente se change en celle-ci,
équation qui donne
1>E IX T.iNGESTE *u cercl:;. îoç,
et passant à la li.hitis, ce qui revient à poser .v" ~- ^' et j " — y',
lim ^ r , ou lim -,- = ; ; — ~ ■
j;"— J^' /i j'-h-c'uosfl
Donc enfin, on a poiic l'équation de la tangente,
.r'-+-j'cose,
NI y joignant la relation nécessaire
■105. Reuarqcb iiiPOaTANTE. — En se reportant aux principes de l'Analyse algébrique, on reconnaît que les coefficients angulaires, -— — ,]
7 — r~ ■ â' 116 sont autre chose que les quotients <le la division de la
BÉBIVÉB prise par rappnrt à j: et en signe cimtroiie, par la néiiivÉE prise jmr rapport à y, du premier membre de l'équation du cercle, mise préalablement sous la forme
aprte qu'on y a remplacé les coordonnées courantes x el y par les coordonnées j;' et J-' du point de contact. On peut se rendre compte de ce fait d'une manière générale en obser-
QuOj toutes les fols que l'équation de la courbe est de ia forme
y éUnl au premier degré, et f{^) exprimant watt fonctinn entière de .r, qui, par conséquent, ne peut jamais devenir infime pour des valeurs ftnie.'i de xja limite ilu rapport j [fi et ^ désignant les a ecroissements des deux variables j; ely) &. pour valeur f'{x] ou la DÉnivÉB de. f{x). Et si l'équation de la courbe est de la forme
fl'.r) ■-'■>.
f{^,y] représentant encore une expression mtionneUi; et ciiiiAre en x et en y, la limite du rapport j est égale à
11(1 DE I.A TAKGlîNTE AU CEBCLi;.
/^(j-'.j) désignant la fonction débivér de/(a^, j-), prise par rappovl S x, eif'lx,y) lalonction dérivée de /{ic,j), prise par rapport à j.
Comme l'équation de chacune des courbes dont nous nous occuperon? dans les Chapitres suivants, rentrera dans l'une des deux catégories précédentes, nous pourrons, pour obtenir l'équation de ta tangente, ou appliquer les raisonnements qui ont été faits pour le cercle, ou faire usagii des règles de l'Analyse algébrique, relatives aux dèi-ii-écs.
103. Autre forme de l'équation de lu tangente, — Reprenons l'équation du cercle rapportée à son centre comme origine et à des axes hkctangulAiRES, ainsi que l'équation de sa tangente,
On poul, au moyen de la relation
qui est intimement liée avec celle de la tangonfe, faire subir à ecUo Llcruière une amplification.
Chassant le dénominateur j' et transposant, on a
ou, à cause de la relation (3),
(4) .-ex' +xy' --->■'%
équation qui ne diffère de l'équation {[) qu'eu ce que les carrés x' et j' sont remplacés par les rectangles x.v' etj-j-'; ce qui rend l'équation de la tangente facile à retenir.
Si l'on fait successivement j- =; o et.r — o, dans l'équation [4) {fig&H), on obtient
Ce sont évidemment l'abscisse OR du point de rencontre de la tangente avec l'axe des 3:, et Voi-domiée 011' de son point de rencontre avec l'axe desj-.
toi. Ou nomme sous-tangente dans une courijc, la partie de l'axe ffci abscisses, comprise entre le pied de l'ordonnée du point de ciintact, et te point où la tangente .
DE Ik TAKGENTE AL CERCLE. !1
I.ii sous-iangento est géamétiiquemcnt repri^senli^e piir i'R ; et si l'( veut obloiiif son expression analytique, comme on a, d'après la figur
PR r^ OB - OP, il cil résilie
Pli - ; '-; - x'= ---^ -.- ■''-,,
à cause de la relation (3).
On obtient encore \expiession de la sous-twi^ente en faisant r — dans l'équaiion (a), non simplifiée, d
Il vient en effet, pour/=o,
cxpri?ss!on dans laquelle x — x' représente nécessairement Vabscisse Oli du point où la tangente rencontre l'axe des jt, diminuée de l'abscisse du point de contact, et, par conséquent, la distance PR.
C'est même le moyen général d'obtenir la sous- tangente dans toutes les courbes :
Tirez de l'équation non simplifiée de la tangente la valeur de x — ar', qui correspond à j = o ; vous avez ainsi la valeur de la sous-tangente avec le signe qui convient à la position du point R par rapport au pied P de l'ordonnée du point de contact, c'est-à-dire positive ou négative suirant que le point R est situé à droite ou & gauche du point P.
105. Db la normale. — On appelle normale à une courbe !a perpendiculaire menée à la tangente par le point de contact, et sous-normalb la dislance du pied de l'ordonnée du point de contact, au point où la normale rencontre l'axe des x.
Pour le cercle dont l'équation la plus simple est
l'Dquation de la tangente étant
on a nécessairement pour l'équation de la normale, a raison de la relation aa'-{- 1 = o.
ou, chassant le dénominateur et réduisant, «quation iVunc droite passant par l'origine (82),
lia nE LA TANGENTE A'J CERCLE.
Quant il la sous-normale, il faut, pour obtenir son expression, chercher la valeur de a; — ^' cori-espondante à j = o dans l'éiiuation non miiiiUJic'c do la normale : ce qui donne
7' ~ '^ ' expression négative, parce que la distance est, d'après la définition, comme pour la mus-tangente, comptée à partir du pied de l'ordonnée du point de
Sa valeur absolue étant la même que celle de l'abscisse du point de contact, il en résulte bien, comme on l'a déjà reconnu, que la normale un cercle passe par l'origine.
Tangente au cercle menée par un point pris /loi's de la cîrcoiiférence.
106. Proposons- nous maintenant de mener une tangente au cercle par un point N situé hors de ta circonférence; et désignons par «, S les coordonnées du point donné N, en conservant ^, y' pour les coordonnées inconnues du point de contact.
Puisque la tangente est assujettie il passer par le point (ï, S|, son équation est {SS ) de la forme
a, ou le coefficient angulaire, ayant pour expression ,) et il s'agit de
<léterminer x' et y' pour reporter leurs valeurs dans l'esprcssion de a. Or l'équation simplifiée de la tangente étant (103)
on a nécessairement la relation
puisque cette droite doit passer par le point [a, S).
D'ailleurs, le point [s:\y') se trouve sur la courhe (j:'-t-/'= ?■'); ce <jui donne une seconde relation
les équations {■>.) et (3) peuvent donc servir à déterminer les inconnues j;'et j'.
On Lire de la relation (■>.)
DE LA TANGENTE AU CERf.I.r.
d'où, substituant dans la relation (3) et ordonnant par rapport à x on, résolvant et simplifiant,
Si l'on rcmplaco x' par sa valeur dans l'expression de y' en ^', i toute réduction faite.
r[rf, -^ Ci ■^a'+f.'- ->■■')
(les clous signes supérieurs se correspondant ainsi que les signes /"/<•'-
Ce résultat prouve : i' que par le point N on peut, en gémirai, menor deux tangentes; %" que le problème serait impossible si l'on avait
ON'<r', ou ON<r;
donc le point chnné ne petit pas être pris à l'intérieur du cercla. L'hypothèse a '+5' — /■'=: o réduirait la valeur de n à
et le point donné serait le point de contact lui-même.
Pour Qxer géométriquement la position du point (j'', j'), il faudrait construire les valeurs obtenues pour ces coordonnées; mais comme elle;sont assez compliquées, on peut avoir recours aux lieux géométriques ( 89 ) .
107. Phemier mode de construction. — Reprenons les équations [fig. Cj )
qui ont servi à déterminer x' et j'.
En retranchant la première de la seconde, on obtient
équation qui pout être substituée à la première ; et si l'on construit par
Jp.deVAI.àUG. a
Il4 DK LA TANGENTE AU CIÎECLE.
rapport aux mÈmcs axes chacune des équations (3) et (4) considérées commo renfermant deux variables x', y', tes yoints d'intersection des deux lieux géométriques seront les points de contact deoiandés.
D'abord, l'équation ( 3 ), en tant que œ' et y' sont ici des variables, représente le cercle déjà construit.
Quant à l'équation (4), qui est évidemment comprise dans l'équation générale du n° 8S, comme elle peut être mise sous la forme
elle représente une circonférence de cercle dont le centn: a pour coordonnées -, -, et qui a pour rayvn - /l'+ê'. Or, si l'on joint le point 0 au point donné 'R, on a
OL o. ^-^ ÏL..^.^, ■d'où
Donc !a circonférence décrite sai- ON comme diamètre est le tien, .géométrique de l'équation (4).
^asi les points M, M', oà les deux circonférences se coupent, sont les POINTS DE CONTACT, qu'on joint au point N pour obtenir les tangentes demandées.
Il est à remarquer que cette construction est précisémenl celle que Ion donne dans les Éléments de Géométrie.
108. Second mode de construction. — En opérant directement sur les équations (a) et (3), on est conduit à une propriété très-remarquable.
L'équation (3) représente toujours le cercle donné.
L'équation (a), étant du premier degré en x', y', représente une ligne droite; et comme les points où elle doit rencontrer la circonférence ne sont autre chose que les points de contact, il s'ensuit que cette droite
Afin d'en fixer la position, faisons successivement, dans l'équation (a), il vient
Le premier point j'— o, x' — — esl le point B {^g, 68) où la droilc
rencontre l'axe des x, et il s'obtient par la construction d'une troisième proportmiiiielle.
Le second point x' ~ o, j' = -g- est le point C où la droite coupe l'axf
des/, et s'obtient par une construction analogue. La droite de jonction des points de contact est donc Sa ligne BG. Or c'est ici que se présente la propriété que nous avons annoncés :
La valeur x'=—, qui correspond à/'= o, est indépendante de l'ordonnée ê du point N par lequel on veut mener les deux tangentes.
D'où il suit que si, par un autre point quelconque N' de la ligne indéfinie LNL' parallèle à OY, on mène des tangentes au cercle donné, la droite qui joint les deux points de contact rencontre l'axe des x au même point B.
Et, en effet, en appelant S et ê' les coordonnées du point N', on aurait pour l'équation de la droite M''M'",
qui, pour j'= o, (Joimerait encore
Observons d'ailleurs que, l'axe OX. élant une droite menée à volonté dans le plan du cercle donné, la droite LL', qui lui est perpendictdaire , peut elle-même être regardée comme tracée d'une manière quelconque dans ce plan, puisque l'on pourrait toujours, après avoir tracé cette dernière ligne ai-bitrairement, prendre pour ase des x la perpendiculaire abaissée du centre sur cette ligne.
On arrive ainsi au théorème suivant :
Si, des différents points d'une droite quelconque et im^finieW, on mène des tangentes à un cercle, toutes les droites qui joignent les points de contact des deux tangentes partant d'un méirie point, se réunissent en va HÊHE POINT B, qui se trouve placé sur la perpendiculaire abaissée du centre 0 sur la droite LL'.
Le point B est ce que l'on nomme le pôle de la droite LL', qui, à son tour, est appelée la poLAinB du point B { * ).
Il6 l'HOBLÈaii SUR I.ES LIEUX GÉOMÉTRIQUES.
2V.5. — IlrisultodereKpression^'= ^ = r '-, que toutes les fois que la droite LL' est extérieitre au cercle, auquel cas on a a > r, le point B
Si, au contraire, la droite est sécante à la courbe, comme on aalors a <'■, d'où — > r, le point de concours des lignes qui joignent les points de contact est extérieur.
Problème .sur les Ueiix géométri'jiiex.
109. Nous terminons ce Chapitre par la résolulion d'un problème sur les lieux géométriques.
Étant donnés deux points k et 3 {Jîg.&^), trouver un autre point Hlici, que, si on le joint aux points A et B, l'angle AMB formé par ces deu.r. lignes de jonction sort égal à un angle donné V.
Prenons pour axes la ligne AB et la perpendiculaire élevée par le point K, milieu de AB.
Nommons d'ailleurs ■ix' la distance AB.
La droite BM, assujettie ï passer par le point B, dont les coordonnées sont y=iy,x~x',a pour équation
On a de même pour l'équation de la droite Ml, assujollic à passer pa^' le point (j — o, X — — x'),
et comme, d'après l'énoncé, ces deux droites doivent former un angk; donné V, les quantités « et a' sont (62) liées entre elles par la ri^Iation
En donnant à a une valeur arbitraire, ce qui fixerait !a position de la droite BM, on tirerait de l'équation ( 3 ) une valeur correspondante pour a', qui déterminerait aussi la position de la droite AM ; et le point d'intersection de ces deux droites serait une réponse à la question, qui, par sa nature, est indéterminée, puisque l'on n'a que trois relations entre quatre incon-
Mais à, entre les équations (i), (a) et (3), qui existent en même temps pour un point quelconque M du lieu géométrique, on buminb a et «',
FBOBLËllE 8DR LES LIEUX GSOMËTBIQUES. I17
l'équation résultante en j: et y sera nécessair n Ét> du lieu
OÉOHÉTBIQUE, puisqu'elle exprimera une rpla n n es rdonnéea de chacun de ses points.
Or, pour effectuer cette élimination, il suffit d mp aie d ns l'équation (3) les quantités a et a' par leurs valeurs uées d équ ons (i) et (2). Il vient, par la subbtitution,
d'oti, chassant les dénominateurs et réduisant,
équation d'une circonférence de cercle (85), dont le cent7-e{p, g), a pour coordonnées f y? = o, g = "^^ \, et qui a pour rayon
Mais, comme l'hypothcEe j= o donne
et qu'ainsi la circonférence se trouve assujettie à passer par les points A . et B, il est clair que le cercle sera déterminé dès que l'on aura construit sur OY I expression
^ "~ tiing V ' qui fixe la position du centre.
Pour construire cette expression, faîtes au point B un angle ABL égal il l'angle lUirtné V; puis, élevez en te même point, "Sd perpendiculairi: h BL. Le point 0 d'intersection avec KY sera le centre du cercle cherché.
Car le triangle rectangle OBK donne
OK=BKx tangOBK= BKxcotKBL= --^■
Cette construction est précisément celle que l'on donne dans tes Éléments de Géométrie, pour décrire sur une droite un segment de cercle capable d'un angle donné.
î rHOBLfeUiS INDfiTERMIKÉS.
DiHCDSHioN. — Tant que i'angle V sera aigu, ^ serapnd
tif; et le
centre du cercle sera situé au-dessus de AB. Mais si l'angle V ■
est obtus
[fig. 69), tangV est négatif; par suite, —^ est aussi négn
tif, et h
centre se trouve placé au-dessous do AB.
tangV = -»
L'équation (4) se réduit alors à
et représente une circonférence décrite sur AB comme diaraèli'e Soit encore
" langV
deviennent iiifinies; et le cercle lui-mèrae, d'une grandeur infinie.
On doit d'ailleurs observer, dans le cas général, que tous les points do la partie sapérieure AMB de la circonférence donnée par l'équation ( 4). satisfont à l'énoncé, et que, pour la partie inféi-ieiire AM'B, ce n'est pas l'angle AM'B, mais son supplément AM'H qui est égal à l'angle donné.
On a, en effet, pour cet angle,
AM'Fl^M'Alî + ABM', d'où
.,.,,, tangM'AB+ iangABM'
tan"AMH ■-■ -——- rî,-r-îT-.— ^— .-kît-, •
= 1 — tangM'ABtangABM
tangM'AB.-- tangGAX- — n', tangABM' ■= n;
Ainsi, c'est bien pour cet angle AM'H que Véqnation (3) est satisfaite.
HO. Remarque générale sur les problèmes indéterminés.
Eu réfléchissant sur la manière dont la question précédente a été résolue, on voit que, pour obtenir l'équation d'un lieu géométrique, il faut commencer par établir des équations entre les coordonnées m et 7 d'un
