CHAPITRE II

g I. Tranaropination des coordonnéeâ. — g II. Holions proliminaires sur les courbes du second dogré. — g III. Réduction, par la transforinalioii des coordonnées, de l'équation géiiÉrsilo de second àesré h deux tariaLlcs.

§1 - T NF E

■m. L'une de q t 1 jl j t t d 1 G trie analytique est celle d I Ai m b oonro -vb

Si l'on jette le y 1 éq t n d 1 1 g d te t du cercle,

et que l'on con d 1 n d i d se t l n qu'elles peu -

lent avoir par r pp t à d a et n rec nnaJt qu Aiém ligne peut être représenl^ par une équation plus ou moins simple, selon sa position à l'égard des axes, et suivant que les axes eux-mêmes sont rectangulaires

Ainsi, l'équation la plus générale de la ligne droite étant cylle d'une droite passant par l'origine est

i7 ayant, dans l'une et l'autre de ces équations, une acception diffén selon que les axes sont rectangulaires ou obliques; Et l'équation d'une parallèle à l'un des axes est

Do mémo, l'équation la plus générale du cercle étant celle du cercle rapporté à deux axes rectangulaires menés par si

On conçoit donc que, lorsqu'une courbe est déjà fccée tle position sur un plan par le moyen d'une équation, si l'on s'aperçoit que cette courbe est dans une situation plus simple par rapport à deux nouvelles droites que

rKANSFor.Junori bes coordonnées. i^.i

par rapport aux ases primitifs, il est bon, pour faciliter la rocherclio de ses propriétés, de chercher à déduire l'équation de la courbe rapportée aux nouveaux: axes, de i'équation do la même courbe rapportée aux pre-

Tel est le but que l'on se propose dans le problème de la transformation des coordonnées, lequel peut s'énoncer ainsi :

Liant donnée l'éi/uation d'une courbe rappariée à deux axes quelconques, Irouver l'équation de la même courbe rupportée a deux nou-

112, La transformation la plus simple est celle qui a pour objet de passer de l'équation d'une courbe rapportée à un système d'axes rectangulaires ou obliques, à l'équation de la même courbe rapportée à un systfene d'ases parallèles aux anciens.

Soient AX, AY {Jïg.7'>) deux droites par rapport auxquelles une courbe M'MM° est fixée de position par le moyen de l' équation

et A'X', A' Y' deux autres droites respectivement /^<iroWèfcî aux premières.

Appelons x', y' les nouvelles coordonnées d'un point quelconque M de la courbe; a, b les coordonnées de la nouvelle origine A' rapportée aux anriens axes, coordonnées que l'on doit supposer connues.

On a évidemment, d'après la figure, les relations

AP = AB -1- BP = AB -t- A'P' ou ./.■ =-. a ^ x\ PM=PF'+P'M = A'B^-MP' ou j= i+j';

et si l'on substitue ces valeurs de a! et de j dans l'équation (i), on aura une nouvelle équation

qui fixera la position de la courbe par rapport aux nouveaux ases.

Comme application de cette première transformation de coordonnées, prenons l'équation du cercle rapportée à des axes recianguUiires quelconques, savoir (70)

et posons

^- = .r'-r-p, j--j' + '/; il vient

Telle est ("ïi) l'équation du cercle rapportée à son centre cl h des axes

De même, si l'on pose

réqualk'îi

da vient

ou, réduisant,

C'est i'équation du cercle, ijuand l'origine est pkwrs h l'cxirémité d'an diamètre.