TRANSFORMATION DES COORDONNÉES
edeA'KP'= A'LM = i8o^- MLX"-: 180'- fl, A'K:x':: sïn{0 — y.] rsinO,
P'K:A'F::sinP'A'K:smÂ'KF,
FH : MF : : sinFMH : sinFHM ;
à cause de FMH = V'A'Y" = 9 — o.\ el à cause de FHM^ A'LM ^1 80" -0,
FH:j':: s]n(fl -a'):amQ, Mil : MP' : : sinMP H : sinP'HM,
Donc, en portant oes valeurs dans les expressions de j:, j, on obtient ( »'sin(l-«)-i-/8in(0-»')
Telles sont les formules les plus générales de la transformation des coordonnées, dont il est facile de déduire les formules particulières correspondant à toutes les positions de la nouvelle origine, et aux différentes tlireciions des nouveaux ases par rapport aux anciens, en donnant à n, 6 des valeurs convenables, positives ou négatioes, et aux angles «, a' toutes les valeurs depuis o jusqu'à 180 degrés, sans que a et a' puissent recevoir siimdtaaément la même valeur.
Quant à l'angle 9, il est toujours donné à priori, puisque c'est l'angle des anciens axes.
Nous nous conlenteroiis d'indiquer id les cas principaux.
124 TRANSFORMAnON DES COOItBONNÉES.
114, PniïJilKii CAS. — Les deiu: nouveaux axes sont parallèles aux anciens [fig. ;o) ; c'est le cas déjà considéré au n" 112.
On a alors
a^o e: a'- 0, ce qui donne
ainsi les formules se réduisent il
3: = 3:'~^a, y-^y'+b, résultats conformes à ceux trouvés précédemment.
115, Deuxième cas. — On propose (/%. 7a) de passer d'an sjslème rectcmgulaire à un système oblique.
Dana cette hypothèse, ilBuffit de faire
dou
8inO = i, sin{9^a)-= cosa et sin(0 - ï.') - cosa';
ot les formules deviennent
(3) iC = a:'cos«-i-y'cosa' + «, y = x' sàaa -i- f' siaa' -v- b.
116, Troisième cas. — Passer d'un système rectaiigulaii'e à un système aussi reclangalaire [fig. 73 ) : c'est un des cas les plus usités.
On a
G - go", «' ou Y'A'X" = Y'A'X'+X'A'X''^ «o'-a, d'où
sinâ = i, sin(e-a) = cos«, Bin[0 -a') ^- sintgo"- go"- a) = - sina, sina'= sin[9o''-)- a) = cosk; et l'on obtient pour formules oorrespondantes,
,,. l a: = a:'C0S« — j'sillK-l-«,
( r--a;'sLnK + j''cos:!+ft.
N. B. — On déduit ce dernier cas du deusième, en y faisant simplement «' r= go" + a, ce qui donne
1 17. OiTATftriiME CAS. — Passer d'un système oblique à un syslèii tangulaire {Jig. yi).
U sufat de faire dans les formules générales
a' ou ï'A'X''=go''-f-c
TKAMSFOKHATION DES COOKDONNÉPS. 12.5
i'ofi
Sina'^ COSï,
sm(e-»')==sm(e-9o'-al = ~sin[9o'-(0-a)] = -cos(fl-«). Ces formules deviennent alors
118. Chacun des trois systèmes précédents peut être obtenu diroctement au moyen de la figure; mais nous nons contenterons de rechercher celui qui correspond au dernier cas.
Soient toujours menées par les poinîs A' et P', A'X" et P'H parallèles ;\ AX, puis A'Y" et FK parallèles à AY.
11 résulte de œtte construction
AP ou x^Ah +A'K-FI1,
MP ou 7^A'B-r-P'K +M1I.
On trouve d'ahord, comme dans le problème général,
ysin(9-«) pK^^'ao^.
sm9 suiû
ll'un autre côté, le triangle MP'H donne
1° P'H ; MP' :: sinHMP' : sinMHF,
ou, cOTume UMF = Y'A'Y"^ Y' A'X' - Y"A'X' = 90" - (0 — ^ j, Fi!:/'::cos(û-a):sine; d'où -p'n^-^^^^^f^; ï- MH : MF :: sinMP'H : SinMHF;
MFH = MFA' — HFA'^ 9o''-XA'X'^ go"— ^l
MH;r':: coa^; sin9; d'où mi = ^~- Donc enfin
Dans le second ot le troisième cas, les triangles A'P'K, MHP' sont ri
120 TB,\îiSl'0U5LlT[0N l>ES noOEDONNfES.
tanglea, et la détermination des lignes A'K, P'K, P'H et MH, n'en est qne plus facile.
H9. Enfin, si, dans les formules générales et dans celles qui en ont été déduites, on suppose a = o et 6 = o, on obtiendra de nouvelles formules qui correspondront au cas oti \o?i veut cka/tger scidement la direction des axes, sans déplacer l'origine.
Ainsi,
sont les formules propres à faire passer d'un sj sterne rectangulaire à un autre système oblique ou rectangulaire de même oi g ne
En général, ou distingue deux espèces pimcipales de transformition de coordonnées, le déplacement de l'origine et ie changement de direction des axes. Lorsque la question exige cette double transformation il y i souvent de l'avantage à ne les exécuter que '^ucctaaivement nous en ver rons bientôt des exemples.
120. Nous terminerons cette théorie générale pari examen dedeuv cis particuliers :
1° On peut demander de passer d'un système oblique VAX à un système rectangulaire XÂY' [fîg. 75), l'origine restant la même, et l'axe des X restant aussi le même.
Dans ce cas, on a
d'où l'on tire
sin=i=o, siuK'
sin(9 — 1)= sin9, f
elles formules (ij s
e rédu
isent à
x--x' — j'colfl^ et J- — --.-V-- j'cosécO.
On fait usage de celles-ci lorsqu'une courbe étant rapportée à un système d'axes obliques, on veut rendre le système rectangulaire,
a" On peut, en conservant le même système d'axes (fig. 76), exiger <jue l'axe des y' se confonde avec celui des x, et réciproquement.
Dans ce cas, on doit avoir
in«'^o, si[i(9-K)=:
yGoosle
THANSFOWMATION DKS COOnDONNÈES. I 27
Ou a, en outre, ainsi, les formules [i] se rMuisent à
ce qui est d'ailleurs évidont, car od ne fait ici que changer les diJnoitiinatiODS des axes.
121. On tire de là cette conséquence ; Lorsque les équations de deus: courbes sont telles, que Ut seconde est composée en y et x comme la première l'est en x et y, tes detu; courbes sont identiques.
Car on passe de l'une à l'autre équation en changeant x en y, et, réciproquement, y en x. Il n'y a réellement, dans ce cas, que la position de la courbe par rapport aus axes qui soit renversée.
122. Première remarque. — Comme, pour une même question, on a souvent besoin d'eflectuer successivement plusieurs transformations de coordonnées, nous conviendrons de supprimer les accents dans les seconds membres des formules relatives à ces diverses transformations; c'est-à-dire que nous désignerons toujours par a; et j les anciennes et les nouvelles coordonnées, quoique leurs valeurs et leurs positions soient différentes; mais l'emploi successif des formules suffira pour indiquer que la courbe, étant rapportée à un premier système, se trouve ensuite rapportée à un second, à un troisième,. . . système.
Ainsi, pour passer d'un système oblique ou rectangulaire à un système de coordonnées parallèles, nous ferons, dans l'équation de la courbe,
s^-x-i-a et y-j + b,
les vc et / du second membre désignant les coordonnées rapportées aux nouveaux axes, dont l'origine a d'ailleurs o et 6 pour ses coordonnées rapportées aux anciens axes.
De même, pour passer d'un système rectangulaire h. un système oblique de même origine, nous poserons
.r = a:cosa-i-7C03«' et y-^^smi-hysma'.
Cette convention a pour but de simplifier l'écriture des calculs en évitant la multiplicité des accents.
123. Seconde remarque. — Les quantités a, h, a, «', qui entrent dans les formules, sont des constantes dont les valeurs fixent la position de la nouvelle origine et les directions des nouveaux axes par rapport aux anciens dont l'ange est exprimé par 9, Elles doivent être regardées comme connues
laS NOTIONS PBÉlIîimAIRES SUR LES COURBES DU SECOND BEGflÉ.
et données à priori, toutes les fois que l'on veut rapporter la courbe à do nouvelles lignes dont la position par rapport à cette courbe a été r<;coiinue plus simple que celle des anciens axes.
Mds il arrive t q 1 t t eui f t d co d
nées, avec le d d l od h m t dé d 1 /
tion de ta cou b pTr mpl p Tai di p ait ce te
Dans ce cas, a,b t d ante d épi
ment, que l'on Ih td lldmèql éltl
simplifications éesQ tàlaiglfl petp dpo
puisque c'est 1' Idesd pauflqlt jr-d
priori.
Le nombre de f di-^) it d 1 éq t d q 1
hre des indéte àtd d îcalltp t.lj
téme des form d d t If tf sag
Ces remarqu ecl 1 p 1 prl t 1 use q
aurons à faire d f ul p é -éd
Notions pnÉLiMinAiRES si
Afin de présenter la théorie des courbes du second degré d'une manière simple et îouc à fait élémentaire, nous commencerons par rechercher les équations de trois courtes dont chacune jouit d'une propriété qui lui est particnhère. Nous ferons voir ensuite que ces courbes sont les seides que puisse représenter une Équation quelconque du second degré à deux variables.
De rcUipsc.
124. On demande l'éijuation d'une cmabe telle, que, si l'on juinl flirican de ses points M {fig. 77 ) à deux points fixes l' et Y , la somme di:.'. distances FM, FM soit égale à une ligne donnée a A.
Cette courbe est ce qu'on nomme une ellipse ; les points F, F' en sont dits les /o/CT-j, et l'on appelle rayons vecteurs \ei distances FM, F'M.
Nous verrons plus loin la raison de ces dénominations.
Pour construire cette courbe d'après sa définition, prenons d'uburil le niitita 0 de la distance FF', et, à partir de ce point, jx/rtons In moitié de a A, (/eOenB, et rfeOe/iÂ;les points A et B appartiendront à la courbe.
11 résulte, en effet, de cette construction.
01} - OF ou Fîi --- OA - OF' FIt=:F'A;
FA
yGoosle
