F'IÎ
+ FA --
: FB
-h FA =
1' FA
Ensuite, si des poinU V, F' comme centres, avec un rayon égal à A, t'on déirit deux circonférences qui se coupent en C, D, ces deux points d'intersection appartiendront encore à la courhe ; car on aura évidemment
FC-HFC = aA et FD4-FD.= 2A.
Ces points se trouvent d'ailleurs sur la perpendiculaire à la droite AD, élevée du point 0.
Pour obtenir des points intermédiaires, man/uez sur Ali ce entre les poinisf,V', un point quelconque h; puis des points W et V comme centres , et avec des répons respeetivenienl égaux à AL, LB, décrivez, deux circonférences qui se coupent en M, m ; vous aiircï deux nouveaux points de la courbe.
En effet, la construction donne
1° FM-i-FiM .= AL-4-LB = aA,
1" V'm-.-Vm =aA.
Ces points sont symétriquement placés par rapport à AB.
De même, des {joints F, F' comme centres, et avec les mêmes rayons kL, IJÏ, décrivez, deux circonférences ; vous obtiendrez encore (hua: noitpem'i: imnts M', m', qui seront avec les points M dans une pt -it'on ■ ' trique par rapport à la ligne CD. Cela est é Jent
Après avoir ainsi déterminé une série de po nts s (Ts n ent nppro elles les uns des autres, on pourra lea jo ndr par une 1 gne cont ACBDA qui sera la courbe demandée.
JV. S. — Pour que la construction pi sse s efÎPCtuer 1 fa t q e la i t<ince des centres FF' soit moindi-e que la somme du iiijons ou a A, et l'n même temps plus gixmde que leur différence.
Cette derniàra condition exige que le point L soit entre F et F'.
Car, prenons, par exemple, un point L' qui soit placé entre F et I) ; on aurait
AL'>AF et L'B-.:i'Ii:
d'où l'on déduirait
AL'-L'B>AF-FB ou >AF-FA ou >FF;
donc la distance FF serait moindre que la différence des rayons AI.', L' lî; et, par suite, les deux circonférences décrites seraient intérieures l'une » l'autre, sans se couper,
Ap. de l'Ai, à ?» G. g
ï3o NOTIONS SliR l. El.r.IPSE.
lâS. Ou peut consiruire l'ollipse d'un mouvement continu, ainsi qu'il stiit :
Fixez aux ]>oints Y et F, par le. moyen de deax épingles, unjildontlii longueur soie égale à aA. Faites ensuite gtiaser im style ou un crayon ijiii ■tienne ce fil toujours tendu ; et la courbe se trouve tracée e/uand l'inslrument mobile a fait deux demi-i-évohilitim, l'une au-dessus de FF, et ■l'autre oa-dessous.
Si l'ellipse doit être tracée sur le lerrain, on se sert d'un cordeau d'une longueur égale à tk et de trois piquets, dont deux fixent les extrémitijs du cordeau aux points F, F, et le troisième sert à tracer la courbe, en tenant le cordeau toujours tendu.
126. L'ellipse étant ainsi déterminée de forme et de position, recherchons son ÉQUATION, c'est-à-dire une relation entre les coordonnées du chacun de ses points rapportés à deux axes fixes.
Comme, d'après la construction précédente, la courbe se compose de points symétriquement placés par rapport aux lignes AB, CD, i de prendre celles-ci pour axes.
Soient
0P=.-. ^^ MP-r, FM- z, FM^ e', FP-ac
On a d'abord, pour les équations des deux circonrérenees qui ont leurs centres en F, F', et dont la rencontre détermine !e point M,
(a) y^^^,c-^cf-..z-'.
Eu oHtre, la définition même de la courbe donne l'équation de condition
et si, entre ces trois équations, on ilimine z et î', l'équation résultant en X, y sera (110) l'équation chercbi'e
Pour y parvenir facilement, ajoutons entre elles et retranchons I'utk; de l'autre les équation-, (i) et (a), d Ment
suais cellc^-ci rovieiit à
donc
Subslituant ces valeurs dans i'équation (4), on trouve
ou, chassant le dônominateur et ordonnant,
D'après en qui a él& dit précédemment, on doit avoir
FF' ou ac<2A; donc. A'— e' est essentiellfimant /imitif; et si l'on pose
A'-c'-W, l'équation prfnd la forme (6) A'j-^-^B'j^^.-^ A'B'.
Telle est I'éovation la tlus suiple de l'ellipse.
127. Cette Équation Étant résolue par rapport à ,1.. puis par rapport à x, ce qui donne
1° On reconnaît que la courbe est symétrique par rapport aux axes OX , oy, puisque chacun d'eux divise en deux parties égales toutes les corder telles que Mm, MM', menées pnrallélEincnt à l'autre;
a" Comme pour y -■-- o on trouve
il s'ensuit que la courbe rencontre l'axe des x ans points A, B, et l'ax des y aux points C, D, pour lesquels on a évidenunont
OC--OD= B- \JV~T'\
t3?. nouons SL'R LELLIPSL.
3° L'hypothèse x = k ou x = — A, réduisant la double valeur de x à une seule, j- = ± o, on peut (99) en conclure que la courbe est tangente en A et B aux deux droitos US, R'S', menées parallèlement à l'axe des^;
De mÊme, j-= B ouj'= — B donnant a: = ±o, la courbe est taiigenic en C et D aux deux droitMi BR', SS', parallèles à l'axe des x.
Comme, d'ailleurs, il est visible que, dès que l'on suppose a;>A on j->R, la valeur correspondante de 7 ou de x est imaginaire, ils'ensuiL que la courbe tangente aux quatre côtés du rectangle RSS'R' est cntièvcment comprise dans ce rectangle.
128. Si l'on évalue la distance du point 0 à un point quelconque [^,)-) de la courbe, on a, pour expression de cette distance,
=-- o, on trouve d'abord D = B ou OC. io X augmente, la quantité D augmente; et elle acquiert lorsque l'on donne à 3; la plus grande valeur possible, qui A; d'où l'on tire
Aina, la plas petite distance du point 0 à la courbe est OC, et la plus grande, OB ; en d'autres termes, CD est la plus petite corde qu'on puisse mener par le point 0, et AB la plus grande'.
Cette ligne AB ou 2Â est non-seulement la plus grande corde passant par le point 0, mais encore la plus grande de toutes les cordes de Fellipse.
Car, soit IK une corde quelconque; si l'on joint le point 0 aux points let K, le triangle OIK donne
