IK < 01 + OK

mais on vient de voir que chacune des distances 01, OK est moindre qnti OAouOB;donc, H plus forte raison, l'on a

129. Le point 0 jouit de la proprlétû de di'-i. toutes les cordes qui y passent.

NOTIONS Sl!B LELLirSE, lii

T.n effet, Poit MO'"' une quelconque de ces cordes, représentée par "équation

Combinons cette équation avec celle de la courbe A"j'-+-B=j:== A'B'; en remplaçant dans celle-ci j par sa valeur, ce qui donne

(A'ir + B' ).!•=.:-: .VB=,

il vient

±AB dz ABfl

Ces valeurs de x etàe x qui expriment les coordonnées des points d'intersection, M, i>i', de la droite avec la courbe étant respectivement égales et de signes contraires, les distancea OP, OP' et MP, m'Y sont égales.

Donc les deux triangles OPM, OV'/ri' sont égaux et donnent 0M=: Om'.

130. On nomme, en général, centhe d'une courbe, un point situé dma le plan de cette courbe, et tel, que toutes les cordes menées par ce point y sont dinisêes en deux parties égales.

De cette définition et de la propriété qui vient d'être démontrée, il résulte que le point 0 est !e centre de l'ellipse.

Son caractère analytique est que, si des valeurs a:', y' satisfont y l'équation de la courbe rapportée à son centre comme origine, les valeurs — ^', —y', satisfont également, ou, en d'autres termes, que celte équation ne change pas lorsque l'on y change x ^a — x, etjen — /.

Les deux lignes 2 A, aB, ou ÂB, CD, ont reçu \& nom ^ axes princiiiaux.

On tes appelle encore premier axe et second axe, ou bien grand axe et petit axe.

Les points A, B sont dits les sommets du premier axe, et les pointa C, D les sommets du second axe.

L'équation A'y' -t- Z'x' = A'B' est l'équation de l'ellipse rapportée à son centre comme origine et à ses axes principaux comme axes des coordonnées.

131, Supposonsque, dans la recberche d'un lieu GÉOMiTRiijiie rapportai à des axes rectangulaires, on soit parvenu à l'équation

Mj'-i-N.e'=P, Jl, N, P étant des quantités ossentieUement/joji/fVe.ï.

KOTioss SUR l'kllips

raisons Si

.iccessivement, dans cotte Oqualion,

j = 0 et ^=c;

il en résulte

', pour 1 -- (1,

fX pour z --

Cola posé, soient

i/^==A, t/l-=B; d'où N--L M = -^.; l'équation ci-dcssiis devient, par !a substitution,

OH, rMuJsaiit,

D'où l'on "joil que l'équation proposée est celle d'une ellipse dont les lixes principaux sout a » /^ et **/??' o«. en d'autres termes, sont le ihuble de la valeur de x correspondant à j = o, et le double do la ya-

Connaissant les deux ases aA, aB ou a* /^^i a i/"iïï' po'^'' obtenir

k's/o/ew, on a recours à la relation

B^- k'-c\ qui donne

c=il/Â'— B^

Soient pris [fig. 78) sur deux lignes indéfinies à angle droit,

OBv^--0A = A et OC = OD = B;

puis du point C comme centre, avec un rayon égal à A, décrivons un arc de cercle qui coupe AB en deux points F, F'; ce seront \^ foyers. Car on a

OF' = OF -■= v'cf" - oc" = /A"' - !i-. Comme, par rapport à l'équation

KOTI0N8 SUR L ELLIPSE.

N. B. — Puisque, dans toute oUipse, on doit avoir 2A.> 2B, il faut supposer

S'il en était autrement, c'est-à-dire si l'on avait M < N, on changerait [12J)/ena; etiPcn j. Par là, Véqualion deviendrait

Nj".i-M,-; = --. P, et représenterait encore une ellipse, qui aurait, ^out piviiiicr nxc.

•a 1 /iyi et pour second axe a i /j^ ■

Avant la transformation des coordonnées, la courlje est dans la position indiquée parla^g'. 79; mais après, elle prend, par rapport aux nouveaux axes, la position qu'on lui donne ordinairement [J/g-j"})-

132. Soit, comme cas particulier, M = N ; l'équation se réduit alors k

c'estrà-dire à l'équation d'un cercle ayant * /^ pour rayon; la quantité--^ — ^ -1 devient nulle; ainsi les deux foyers se réunissent an

Le OEBGLE peut donc être regardé comme une ellipse dont tes rlcii.r. oxes'iÀ., tQ soia égaux, et dont les deux /oje/'s viennent kmconfo/iilrc.

i33. Enfin, comme nous aurons souvent besoin de ramener une équation telle que

à la forme

Ay ; BU'' . A'B',

nous indiquerons un procédé simple et facile pour y parvenir.

Soient multipliés les deux membres de la première équation par un facteur indéterminé /i, il vient

Mais, pour que celte liquaLion ail la forme (kirjiindi.^o, il faut que l'i ail

P/; = M/ix N/(=--31N.A'; d'où l'oQ déduit

Donc il siifîit de multiplier Ir.s deux membres /le la propnséi: pnr le (jiioiient du second membre dwisc par la pmduit des eoejjieienls de y'' il

Celte mulliplication donne

t, par suite,