OC = OD
Comnie, en faisant a^=-i-Aoiia;= — A dans l'équation résolue par rapport à r.
l4o NOTIONS SUII L
et qu'en donnant à .' des valeurs povUees ou négntu cv, ni'nwriijucmcnt plus petites que A, on obtient des valeurs unaginauc.s pour y, on penl en conclure : i" que la courbe est tangente en 4 et B aux deux droites H'S', RS, parallèles à I axe de^i j , a° qu elle s étend indéfiniment à la gauche du point A et à la droite du point B
On voit enBn que la courbe est composée de deux branches égnhtt lU opposées, dont chacune est divisée en deux parties égales par la ligne AB ; en sorte que si l'on pliait la figure, soit suivant la ligne CD, soit suivant la ligne AB, les quatre parties de la courbe se couvriraient parfaitement deux à deux.
Presque toutes ces circonstances avaient déjà (13i) été reconnui'd par la Géométrie.
136. Les quantit s a\ aB sont, comme dans l'eliipse, appelées les fixes principaitî. de Ihjperbole, ou le premier axe et te secnnil axe. Mais l'un quelconque des deux axes pouvant, d'après la relation B' = c' — A' être plus grand que l'autre, les dénominations de grand axe et de petit art seraient impropres.
On désigne encore le premier axe sous le nom ^axe transverse, et le second, sons celui d'axe non transi<erse, parce que l'un rencontre la courbe, et l'autre ne la rencontre pas. On peut avoir A == B, auquel cas l'équation se réduit à
On dit alors que l'hyperbole est éyidlatèrc, comme ayant ses deux axfis
Vhfperbole êquilatère est à l'hyperbole quelconque ce que le cente est à l'ellipse.
Les points A et B sont dits les sommets delà courbe.
137. De même que pour l'ellipse, le point 0 est le centre de l'hyperbole, ou, en d'autres termes, toutes les droites passant par le point 0 et terminées à la courbe sont divisées par ce point en deux parties égales.
Soit, en effet, ni'M une droite quelconque menée par le point 0, et rencontrant la courbe; si l'on combine enlre elles les deux équations
A'j"~BV= ^A'B', x^ax, un trouve, en mettant pour j- sa valeur ax dans la première,
(A'»'--B-),r'= - A'B'; d'où l'on déduit
NOTIONS Sîill I
Il résulte delà qiio OP = OP', et MF -- m'F; par^iuito, les doux tria^glos OPM, OP'm' sont égaux, et l'on a
Ainsi râquation
représente une hyperbole rapportée à son centri: comnio origine et à seiij:cs principaux comme axes des coordonnées.
138. Remarque importante. — On voit que les valeurs précédentes d^i .leet dejre sont réelles, c'est-à-dire qu'une droite menée par le cciUrc ne rencontre la courbe qu'autant que l'on a
les valeurs de x et de jr deviennent infimes; ce qui prouve que les droites correspondantes, dont l'une est située au-dessus de l'axe ( l'autre au-dessous, rencontrent l'hyperbole à ano distance infinie. Construisons les deux droites
Ti B
qui méritent une attention particulière.
Pour cela, soit achevé, sur les deus a rirtcmg/e R'RSS' ; on a évidemment
tangBOR :=-- ^, lang BOS - — -r-
Donc les droites OR, OS, menées par ie point 0 et par les points R, S. sont les deux droites demandées.
Nous verrons dans les Chapitres suivants quel parti l'on tire de ces droites dans la théorie de l'hyperhoîe; nous nous bornons, pour le moment, à les considérer comme deux lignes de séparation des droites passant par le centre qui rencontrent la courbe d'avec celles qui ne [a ren-
eant n jai y op "^ sultant d quo nous avons dit en commençant ce n mé
Lo sque lljpebole t y lei (130), c'est-à-dire lorsque l'on a B = A les tan nt s I n radt i les des angles BOR, BOS, ou T- et — , se édu nt et — donc ces angles sont chacun do
45 degrés et I d d 0 te OR OS nt perpendicalaifes entre elles.
131 Supp ns n en ni q n t obtenu pour l'équation d'un lii:» géni q le
cl multiplions [133) les deux membres par ;-7^,> il vient
Cette nouvelle équation comparée à œ.ile de l'iiyperliolo,
A'/'-B'-c'--^ - yw,
donne
donc la proposée représente «ne hyperhole dont lo premier uxt
T-a relation B" = t' — A' donne d'où, mettant pour A et B leurs valeurs,
MN
Pour fixer \a pnsitiondes foyers (fig. 81), d mr deux droites rectangulaires.
'\Jr "^ "^'"''-'s/l-
puis é/efez aupninf B une perpendiculaire BD égale à B, et tirez OD.
La circonlérencc décrite du point O comme centre, avec le rayon OD, coupera AB en doux points, F, F', qui seront les points demandés.
