LIAISON DES TSOIS COUR11U
Car, d'après la définition de la courbe, on a FN -NII--^ FQ; ce que l'on vérifie, d'ailleurs, au moyen de l'équation (3), qui, pov
Liaison des trois r.ourhes.
lii. Quoique la parabole semble, d'après sa définition, n'avoir auciino analogie avec Vellipse et Vhypcrbole, on peut établir un rapprochement entre la première courbe et les deux autres, au moyen d'une transformation de coordonnées exécutée sur les équations de ces deux dernières.
Rapprochement entre l'ellipse et la parabole. — Reprenons [fig. 77) l'équation de l'ellipse
et proposonsrnons da rapporter cette courbe au sommet A comme origine, en conservant la même direction pour les asea. Pour cela, il faut faire usage des formules ( 1 U)
en y faisant i — o, n = — A.; ce qui les réduit à
c'est-à-dire qu'il suffit de remplacer jt par a: — A dans l'équation cidessus, en laissant y tel qu'il est.
Il vient, par cette substitution,
C'est l'équation de l'ellipse rapportée à son sommet de. gmtchc, pris pour origine.
Cela posé, cette équation peut être mise sous la Corme
LIAISON DKS TROIS COmiPliS. 147
ou bien en faisant — = />,
Or, si l'on suppose que les deus quantités A et B croissent indéfini-
B' ment, de manière cependant que la quantité p qv. -^ reste constante
(cela est permis d'après la relation -r- = P' •^^"^ laquelle, après avoir pris pour /ï une valeur fixe et iiuléterminée, on peut donner à A différentes valeurs, et calculer ensuite une valeur correspondant* pour BU il est clair que, dans cette hypothèse, plus A augmente, plus le terme i
diminue; et lorsque l'on suppose A = « , il en résulte Ç - " "■
Donc l'équation (3) se réduit alors à
j'' = "ip^, qui n'est autre chose que l'équation d'une parabole.
D'où l'on peut conclure que la parabole est une ellipse dont le grand axe est infini, ou dont le centre est situé à l'infini.
\&. Rapprockcment entre la parabole et Vhyperbolc. — Il faut rapporter cette dernière courbe à son sommet de droite B {fig. 80), ce qui l'équation
revient (lU) à
porter a; -h A à la place de 3: da
-Ello devient a d'où
A=j'-li'-e'-2AB-.r =
ou, en posant, 1
comme pour l'ellipse, -r --- p.
Actuellement
,, faisons augmenter A et B de 1
ïin«/; il vient.
pour A -- =0 ,
et l'équation (4) se réduit a
l48 UAISON DES TROIS COURBES.
DaiiS ce cas, la seronde bninche, le ceiilre et le sccrmd sommet, disparaisseist, ou sont situés à Vinfini.
146. Conclusion importance. — I! résulte de ce qui vient d'Être dit, que les tjwx courbes peuvent être, en général, représentées par l'équation
r'=->.px-i-qj:\
Lorsque la courte est
une pnrahoh, on a
et l'équalion se réduit à
ij = o; y- -: ipj:.
l'origine des coordonnées étant supposée au somni Enfin, dans le cas de Xhypcrbol,; on a
et lie gaiiclw.
Par analogie avec la parabole, on norami. i ibajuiiue de 1 ellipse ou de l'hyperbole, la quantité a/j ou —^ qui forme le coefScient de .c dans l'équation de la courbe rapportée à 1 un de ses sommets
Cette quantité, qui peut être roise sous la forme —7-5 ou — '-t — 1 n'est autre chose qu'iwe troisième proportionnelle nu premier et au se-
C'est aussi, comme dans la parabole, le double du l'onhiméi: qui piusc par le foyer.
Car si, dans l'équation de Vdlipie [iM]
on fait .)■ = A±c (ce qui pst l'abscisse de l'un ou de l'autre des foyers),
5!ûme résultat pour Y/iyperl/ole.
N. B. — Cette dernière propriété peut servir à faire reucnnailre la pesitlun àXii foyers.
liaison des trois courues. 149
1 17. Autre manièiik d'établir la liaisoiv qui existe k^tre les trok. COURRES. — On demande l'équation d'une courbe telle, que la dhtimcc de chacun de ses points, M (fig- 85), àun pnint Jlxe, F, snit avec la distance de ce même point M à une droite DD' aussi donnée de position, 'l/ins un rapprjrt connu, m\\\ en sorte que l'on ait
Mr : MQ ; : /f/ : 1 ,
m désignant un nombre absolu quelconque, <, —, ou >i.
Construction de la courbe d'après celte définitinn. — Du point F abaissons FG perpendiculaire sur DD', et dinsons la distant FG dans le rapport /»; i, à partir du point F; le point A ainsi obtenu appartient nécesgairement à. la courbe.
Pour en obtenir d'autres, marqwms un point quelconque P sur ia droite indéfinie GFS, et élemms en ce point une perpendiculaire ; puis du point F comme centre, avec un rayon égal à bî.GP, décrioons un arc de cavîle qui coupe la perpendiculaire en M et M' ; ces points appartiendront à la courbe, puisque l'on a par construction
FJ\! -^GP.i/; - MQ.ra; d'où l'on tire
MF : aiQ ::-/': 1 ; et ainsi de suite.
Éqdation de la courbe. — Prenons pour axe des x la droite GFX, par rapport à laquelle la courbe est symétrique, et pour axe dos j la perpendiculaire élevée au point A qui, comme nous l'avons vu, est un point delà courbe.
Soient
KV--=x. IIP ^ r, FM ^ :, KY-^'^\
Cela poié, l'équation de la
cil-col
,fin
wre qui a sor
1 contre eu F.
po\iT rayon, FM ou s, est
(le plus, on doU avoir
FM:MQ ou G?::
in:^
l5o LIAISON BliS TROIS COliRDES.
Ainsi, en éliminant s entre ces équations, on obtiendra (MO) l'équation demandée.
11 vient, tout* réduction l'aile,
148. Discussion. — L'équation (3) est privée du ternie indépendant ù&x et de j; et cela doit être, puisque, la courbe passant par l'origine A, ii faut que l'équation soit vérifiée par le système (a; = o, / = o).
Examinons successivement les circonstances qui correspondent aux trois hypothèses ffi<i, m = i, w>i. en commençant par le cas le plus simple.
Soit m =1.
L'équation ( 3 ) se réduit à
et est immédiatement comparable avec
Il suffit de poser
4x--3/j; d'où p = ici — 2KP;
d'oi l'on voit que la courbe est une pahmiolë dont le/"jw est en F, et qui a pour iliref:trice DD'.
Le point A en est d'ailleurs le sommet, puisque l'on a alors
1«. Soit m<i.
Le coefficient de j-' est essentiellement posiiif.
L'équation peut être mise sous la forme
et en la comparant à l'équation do l'ellipse rapportée gauche (IW), savoir :
on trouve
t, par suite,
Ainsi, la courbe est une elmpsb dont les axe.i principaux sont
Soit posé JT = a (ou AF) Oans l'équation
ce qui prouve (146) que lo point F est undes/cjers de la coisrbe.
Afin d'obtenir sur la figure le premier axe, remarquons que, le point A étant déjà l'un des sommets, il suffit de porter sur AX, et de  en B,
une distance égale à ■/. , le point B est alors le second sommet i/e
la courbe.
Quant au second axe, comme on connaît déjà le foyer F, il n'y a qu'à décrire de ce point comme centre, avec un rayon OA, moitié de AB, un arc de cercle qui coupe en deux points C, C, la perpendiculaire élevéu du point 0, centre dô l'ellipse.
Enfin, l'autre /o;>-e7' F' s'obtient en prenant 0F'~, OF.
ISO. Soit "i>!.
Le coefficient de x' Étant négatif dans l'cquation (3), on peut meltro celle-ci soua la forme
et en la comparant à l'équation obtenue n" 14S
5 TROIS COUH!
donc la courbe est une iiypbhuui.e dont le premier axe est ■ — — - k second, — — — ^iii'^ i, et lu paramèlref a« [hi — i). L'hypothèse .t — x (ou AF), donne d'ailleurs
ce qui prouve que, comme pour la parabule et l'eWpse, le point F est ic fiiyer de la courbe.
La construction des axes et du second foyer s'exécuterait comme pou Vellipse. Toutefois, il faut observer qu'elle doit s'opérer de droite à gauch par rapport au point F; car si l'on tait / — o dans Téquation, il vient
On trouve ainsi le ccnlre 0', le second snmmet B' et le sccniid foyer Y"' 151. La droite DD' porte dans chacune des trois courbes le nom de
DEREOTBIGE.
Parabole. y' --■ ip.x.
ïl sufat, pour obtenir cette directrice, de prendre à fa jaacAc du point A [fig. 83), une distance ÂG = AF =^1 puis d'efcce/- au point G une perpendiculaire à l'axe des x.
Elupse. j'= xï (^Aj- — j.'-),
l'origine étant supposée (lii) en A [fig. 77), et le point fi^c on V. Comme on a trouvé (lifl)
TnOiS couni
on voil que le rapport coiistanl m ; i est ropiésonté gcométrifjiicn:fnl \m œiiii de OF' à OA.
D'oi'i il suit [Ii7] que la distance du point A à la directrice ost une quatrième proporthnndle aux trois lignes
OF' ou c, OA ou A, AF' ou A — t.
Construisant cette ligne exprirai5e par la quajitité
ot ia portant de A en G' vers la gaurhe du point A, on obtiendra le pied lie la directrice (que l'on s'est dispensé de tracer sur la figure). On a d'ailleurs, pour la distance OG' du centre à la directrice.
