OG
. MA^j:) ^ ^
qui, n'étant autre chose qu'une troisîè/iie projiortionneUe à r et A, peut
être facilement construite.
L est en outre évident, à cause de la symétrie de l'ellipse par rapport
aux axes principaux, qu'il doit exister deux directrices de part et d'autre
A' A' du centre, aux distances AG', AG, exprimées par — — et -i
HïPEBBOLE. — On parviendrait à des résultats analogues [Jîg- 80 ) pour cette courbe.
Mais il faut remarquer que les pieds des deux dii-ectiices doivent Être âtaés entre les deux sommets de l'hjperhole, tandis que, pour Vellipse, ils sont situés sur les prolongements de AB.
1S2. Remarque, — On trouve dans les caractères
la raison des dénominations attribuées aux trois courbes : L'hypothèse m < i donne Vellipse, ou la courbe par défaut; L'hypothèse m = 1 donne la parabole, ou la courbe par égalité; L'hypothèse m > i donne Vhrperbole, ou la courbe par excès. Ces dénominations peuvent encore se déduire de l'équation
y''--- '}.px-\-q.r\ suivant que l'on a
Il él^nt constant pour les trois hypothèses.
^ m — ltBDDrTIO\ PAB LA TBANS FORMATION I
DE LEJUATION CÉNBBALE DU SEOONB DEGnÉ A PliUX VAIilAEI.ES.
Ibl Nous allons faire \oir maintBnant que I'ellipse, I'htpekbole, et la PA1IAB0I.E telles que nou> les avons définies précédemment, sont les SELLES courbe* qui puissent être représentées par l'équation générale du
cand (Il ^le a deii i %at tables
Aj'+B.rj+G.r=-!-Dj-t-Ejr + F = o.
Il semble, au premier abord, difficile de concevoir qu'il puisse y avoir identité entre toutes les courbes comprises dans cette équation et les courbes dont les équations sont de la forme
M/' + Nj;'^--: P, ou j' = Q^,
la PKEMIÈBE désignant une ellipse ou «ne hyperbolu, suivant que M, N, P sont positifs àia fois (131 ), ou bien, que M est positif, N négatif, et P négatif ou positif (139, 140) ; la seconde étant immédiatement comparable à l'équation, x' = ^/'■^i de la parabole.
Mais observons que, si dans les deux équations précédentes, on met à la place de ^ et de j les valeurs
jr=r a:cosa-i-jcos:t'-i- (i, y — x sina -i-'/sina' -h ûj
au moyen desquelles (US) on passe d'un système rectangulaire à un système oblique d'origine différente, l'équation qui en résulte est de œÈmo forme que l'équation complète Or il est évident que cette transformation de coordonnées n'a pas changé la /Jaiu^e delà ceurbe seulement comme les nouveaus axes se trouvent dinf une b tuation quelconque i \ égard de la courbe, l'équaUen qui la représente eat plus compliquée que lorsque cette courbe est rapportée à «es axes pnnupattx
Voyons donc si, par des tran'sfoi mitions de coordonnées on ne pourrait pas simplifier 1 équation la plus genétale et la lamener a l'une ou l'autre des deux foimes ci de&suh
Telle est la question qu il s a-it d examiner
154. Remarquons , avant tout, que rien n'empêche de supposer que la courbe soit primitivement rapportée à des axes rectangulaires i car s'il en était autrement, on pourrait (120), en conservant la même origine et le m^me </j^e des ^, les rendre rectangulaires, et l'équation résultante étant de mémo forme que la proposée serait celle sur laquelle ou aurait à opérer.
DK L ÉQUATION GENftRALE DU SliroSD lif
Cela posé, reprenons l'équation
et lâchons d'abord de faire disparaître le terme en ^. Pour cela, nous aurons recours aux formules
au moyen desquelles (H9) on passe d'un système rectangulaire à un système de même espèce, l'origine restant la même. L'angle a est ici une indéterminée (123) qu'il s'agit de calculer d'après la condition que l'équation transformée soit privée du rectangle xy, c'est-ù-dire que le coefficient de ce terme soit nui.
En substituant ces valeurs de x et dey dans l'équation (i), ordonnant, et égalant à ïéro le coefficient de xy, on obtient, pour l'équation de con-
et, pour l'équation transformée,
il) Mj= + Nj;= + P,j-+Sj;-i-F = o,
dans latiuelle on a fait, pour plus do simpliciti',
M=- Acos'a — BsinsicosK-HCsin'a, N =^ A Siu=a -h B sina cosh + C cos'a, R= Dcosx-Esina, S = D sina h- E cos«.
[La quantité F est la môme dans l'équation [i] que dans l'équation (i)]. Mais "^équation de condition pouvant s'écrire
(A — C)2 sinuCOSa-f- B(cos'a — sin'a) i= o,
devient, en vertu de relations trigonométriques connues,
(A-C)sinaa-i-iicos'ia-= o; d'où l'on déduit
Or, une tangente pouvant passer par tous les états de grandeur, et même Être infini':, il s'ensuit que l'angle a est susceptible de détermination, quels que soient les ooefficienls A, B, C.
l56 ItKDUCTlON P*Il LA lUANSFORMATlON 1
Donc, il csl lo/ijiiiin possible de faire disparaître k terme en xr. liinl que A, B, C, D, E, F ont des valeurs réelles.
Soient AX, AY {fig. 86} les axes primitifs; pour obtenir les nouveaux axes, menons par le point A une droite AL qui forme avec l'axe des x un angle ayant pour tangente ; ce qui revient à prendre une partie
AG = i , puis à élever une perpendiculaire GH = ■ -,i expiesBion que nous supposons, pour fixer Ses idées, avoir une valeur positive (").
i)(Vi.ion^ ensuite cet angle LAX en deux parties égales ji3t la ligne AX'; cette dernière droite sera le noiwd axe des x, et Aï', perpendiculairi' à AX', le nouvel axe des /.
iV. £. — La relation
correspondant à deux angles différents, aa, i8o'' + 23;, il semble que l'on puisse prendre à volonté pour nouvel axe des x, la bissectrice de l'angle LAX, ou celle de l'angle iSo' + LAX. Mais observons que les angles îLAX et go*--!- JLAX ont pour différence 90 degrés; en sorte que, si l'une de ces droites est prise pour le nouvel axe des x, l'autre doit être prise pour le nouvel axe des r et réciproquement
Ainsi, tl ny a réellement qu cn seul système daxes rei.ianguIairL<i par rapport auxquels lequilion de la courbe peut être débarra-t)ée du terme en a-i
On convient daiUeuro de prendre poui lans' '« lo pl'J'" pf''^ "^ = deux angles donnis pai lexpres'-ion de tang >a
13S, Cet le première si mplili cation de 1 1 piition géncnle étant 0[eret calculons les valeurs de M et de N au ino>en de la valeur obtenue pour tang 2 a.
On a, d'après des formnles trigonométriques connues,
\/i H- tang^aa ^1 + tang'iia
(*) Tant que les coefficients A, B, C, D,... ne reçoivent aucune valeor particulière, il est impossible de déterminer le signe doni telle ou lelle fonction de ces quantités qu'on suppose réelles et de signes qaelconqaes, doit être affectée; mais alors il est d'usage de considérer ces fonctions eorame posiiioes .
Ainsi, qu'il s'0[;isse de construire l'expression d'une distance à porter sur l'un des axes, ou sur wxe paraltéle à ces axes, on lu porte dans le sens que
on 1b compte de droite à gauche; et les lîjjnoa triganaméirïgues sont elles-
DE I.'CQUATION GfiNfin*LE BU SECOND BEGliÉ.
d'où l'on déduit, en remplaçant tangaa par sa valeur,
'" l/(Â^"C7-~-i-B"' "~ /(X^CjV-'^'
D'un autre cotii, les équations
M= Acos'ï — asinaCosa-i-CBm'a, N = A sin'x -h B sina w)3« -r- Ccos'h, étant d'abord ajoutées entre elles, donnent, d'après la relation
On trouve ûgalement, en les soustrayant l'une de l'autre,
M — N = (A— C)(cos'2 — sin'a) — Basinacosa, ou, à cause de cos2ï= cos'x — sin'x, sinait = asinacosa,
M- N= (A- OcosaH-Bsina?.; et, si l'on remplace cosa», sinasi par leurs valeurs,
,/[A-~C)--i-B' eu, en supprimant le facteur \/(A — G)'-i- B',
M-N^l/vA-Cj^-i-Ii'.
Connaissant les valeurs de M -f- N et de SI — N, i sivement
d'où, multipliant ces deux équations membre à membre et réduisant.
Ce dernier résititat preuve ; i" que les deux coefficients M et N sont i/e
{') CsB eipressione de H et de N, à cause du radical qui y onlre, eompovW oliacuiie deux valeurs qu'il sera néceasaivc d'intei'prétei' quiind nous en ïici drouB h dc3 applications iiuméritiue».
l58 REDUCTION PdR LA TBANSFORMATION DES COOBDÛSNÉES niëin? tiigiw ou de signes cmitriiires, suivant que la quantité B' — 4AC est négative ou positive ; i" que l'un de ces coelficienls est md toutes les fois que l'on a B' — 4AC = o, et ne peut être nul que sous cette conditioD.
N. B, — On ne saurait avoir en môme temps M -- o, N ~- o ; car il en résulterait
M + N -- o, M - N =-- o, et, par conséquent,
Or, celte dernière condition entraîne les deux suivantes
et celle-ci, combinée avec A ■+■ C = o, donne
Ar^O, C-o.
Ce serait donc supposer que l'équation primitive ne renfermerait aucun des trois termes en j-', xy, et x:'; ce qui n'est pas admissible, puisque alors l'équation ne serait que du premier degré.
1S6. Complétons maintenant la réduction de Véquntion générale du. second degré.
L'équation étant déjà débarrassée du terme en xy, essayons, par une translation d'origine, de faire évanouir les termes du premier degré en aretj.
Pour cela, faisons (Hi), dans l'équation (a] du n" iû[,
et égalons séparément à zéro les deux coefficients de a: et de j qui résultent de cette substitution.
On obtient d'abord, pour les deux équations du condition.
M, N, R et S étant des quantités essentiellement réelles, tion transformée,
( en posant F = MP -t- N-î' -H R è -1- Sn -+- F ). On déduit, des deux équations de condition,
DE l'ËQDATIOH QËMËRilLE DU SECOND DEGRÉ. l59
Or, ces valeurs de « et de b seront toujours réelles et Jinies tant que M et N seront différents de ïéra, c'est-à-dire (15S), tent que l'on aura
B'- 4AC^o.
Ozi pourra donc, dans ce cas, transporter l'origine eii ;iya(il pour coordonnées
et pour lequel l'équation de la courbe, rapportée a 'S à AX', AY' sera de la forme
Mj'-i-N^' = P
(P désignant ce que devient — V lorsque l'on y a remplacé a al b par leurs valeurs).
On pourrait avoir soit R = o, soit S = o, auquel cas (< ou « serait md, Gt la nouvelle origine serait située sur AX' ou AY'.
Aucun de ces coefficients R, S ne saurait d'ailleurs Être infini, d'après leur composition (ISi).
Ainsi, toutes les fois que, dans l'équation complète du second degré, la quantité B' — 4AG est différente de zéro, il est possible de faire disparaître kx deiuc termes en x et en y, et , par conséquent, de ramener l'équation primiti'e à Informe (3) M/^+Nj;'=P.
157. Supposons actuellement que l'un des deux coefficients M ou N Boit nul, ce qui exige (IKi) que l'on ait entre les coefficients A, B, C, de la proposée, la relation
B^- 4AC = o.
%i présente sous la forme de ^infini; et comme on ne l'origine à une distance infinie, il est impossible d'e: mation proposée.
Et, en effet, admettons, pour fixer les idées, que T'
L'équation (î) du n" 154 se réduit Mj'+Rji-
yGoosle
l6o IlÈDDdTION PAR LA TIlANSFOBMAriON DES COORDOKNElîS
et si l'on substitue dans cette équation les valeurs j:- = ^ -i- a, j = j -t- b, il vient
Mj' -h (aMi' + I11J-+ S.f ■+- MÉ= -i- lié -^ S« -i- F = o.
Or, le coefficient de J7, dans celte équation, étant indépendant i5ps indéterminées o et h, on ne peut disposer de celles-ci de manière à faire disparaître ce terme.
Mais voyons si, dans ce cas, il est possible de faire évanouir le lermo en^ et la quantité indépendante de x et dey.
Il sufHt, pour cela, de poser les équations de condition,
■2M6 + R = o, Mi'.-i-!î6-^S^;-hF^- o; d'où l'on dijduit
ou, mettant dons l'expression de a la valeur trouvée pour b,
De ces deux valeurs , celle de b est nécessairement réelle et Jûiic, puisque (155, N. S.) on ne peut avoir M = o en même temps queN^o.
Quant à la valeur de a, si îe coefficient S n'est pas nul en même temps que N, elle est aussi réelle et finie.
Ainsi, lorsque la disparition du terme en xf aura donné lieu à celle du terme en a:', en laissant subsister le terme en x, la transformation précédente pourra s'eiécuter, et l'équation de la coutbo rapportée aux nouveaux axes sera ramenée à la forme
iI.r'-i-S.e = o, ou plutôt a celle-ci
S Q étant égal a — tt ■
N. B.~ Si au liou deN--o, on supposait M = o, R étant (/'//<-;(«; de zéro, on reconnaîtrait de même que l'équation peut ftro ïamLneL a la forme
mais eu \ Lhaneeint en t 1 1 i en j, ce qui rcviondtait ( 121 ) à ti/iverser la / onii ii di, h Lourbt po.r rapport aux axL's, on retomberait sur
iin l'équation gésIîrale bu sucond iiEcnt. iGi
l'Équation
Nj'-hB.r = o, ou j-'= Qj^ f en posant Q ^ — - J.
158. Les deux cas particuliers de N = o, S = o, ou de M = o, R = o, font exception à la transformation précédente, puisque alors la valeur de l'une des coordonnées «, b, de la nouvelle origine, se présente sous/omjc infinie.
Mais remarquons que l'équation (2) du n" 154 reçoit alors l'une des deux formes
Mj' -t- Rj- -I- F = 0, N,r' + S,^ + F ^ o ;
et comme chacune de ces équations ne renferme qu'une seule variable, elle représente (83) un système de deux droites parallèles soit à l'axe AX', soit à l'axe AY'.
189. En résumant tout ce qui a été dit n" 1S3 et smvants on doit rt garder comme rigoureusement démontré que toute e/itati n du. seeonl degré h deux variables peut, par une double Iran'foi mntion de coor <limiiéeSi être ramenée à l'une des deux formes
M J-' -i- N.I.-' =P, .r= = Qc
excepté dans un cas tout particulier, celui OÙ pai la d spjnl jn du terme en xy, le carré et la première puissance d une même ^anable di= paraissent également. Mais alors l'équation représente ainsi que nous venons de le voir, un système de deux étroites paialleles
On parvient à la premièiv forme d'équation toutes les fDis que M et N fOfA différents àQ zéro, c'est-à-dire (155) lorsque dans 1 équation pn mitive, on a
B'— 4AC<ou>o;
et à là seconde forme, toutes les fois que les cot,f cienl \ B C soi 1 1 entre eux par la relation
B"-4AC = o.
On a vu, d'ailleurs (131, 139 et liO), que la courbe est une ellipse ou une hyperbole suivant que M et N sont de même signe ou de signas contraires., c'est-à-dire (155) suivant que B- — 4AC est néj^aiif cm positif .
D'où l'on peut conclure enfin que, dans l'équation générale
Aj'-t-B.r,--i-C.r'-+-Dj-t-Ej:4-F=^ o, la condition
B-— 4AC <o caractérise les ellipses,
B- — 4AC > (I 1 les ilïPERBOLES,
B'- 4AC = o « les tau
Âp. de VAL à la G.
i6a iifinuGTiON tau la thansfouhaiion des cooi«i):;nNÉ!;s
