N. B. ~ La dernière de cm relations donnant
B = av'Â.i/f, los trois premiers termes
A/=-i-Bj;r-i-G.î'
en l'équation générale peuvent, dans le cas qui s'y rapporte, se metti'e sous k forme
■et constituent ainsi un carré parfait.
Ce caractère, qui équivaut & la condition B'— 4AC= o, est généralement plu8 commode dans les applications numériques pour distinguer la parabole des deux antres courbes.
161. Variétés des trois courbes. — Le3 trois courbes du second degré que nous venons de reconnaître sont susceptibles de certaines variétés qui ressortent de la discussion de leurs équations respectives.
Considérons d'abord l'équation
My'-i-Nj:'- P,
dans laquelle on peut toujours supposer M positif, puisque, s'il était négatif, il suffirait de changer les signes des deux membres.
Il peut se présenter différents cas, par rapport aux signes et aux va/ew.^ numériques des autres coefficients.
Ellipses M e( N positifs.
Soit P positif en même temps que M et K.
L'équation M/' + Na;' = P représente (131) une ellipse qui, dans le cas particulier deM = N, devient lui cercle (132).
Le cercle est donc une première variété de l'ellipse.
Si l'on a M et N positifs et P négatif , l'équation est évidemment impossible; c'est-à-dire qu'à des valeurs de x réelles il ne peut correspondre que des valeurs imaginaires pour y; et réciproquement.
Donc la courbe est imaginaire, ou, en d'autres termes, l'équation n'a pas de lieu géométrique, ou ne représente rien.
Soit P ---: o. L'équation, se réduisant à
wr -+■ '^x' = o,
ne peut être satisfaite que par le système (.r = o, j=o). Donc la cou rbo se réduit à un point.
DE l'équation GÉNÈRALli BU SECOND DËGKt- l63
Ainsi, les -Boi-iétés de I'elupse sont :
Le cercle, une courbe imnginaire et u?i point.
IIypebdoles M positif, N négatif.
P peut être négatif ou positif.
Dans le premier cas , l'équation Mj' ~ THa:' = P représente (139) un» hyperbole rapportée à son awe transverse comme axe des 3: ; et dans le second (140) une hyperbole rapportée à wn a^re non transoerse.
Le cas particulier de N négatif et numériquement égal à M donne l'fyperbole éijuilatère.
Si l'on fait P = o, l'équation se réduit à
Mj^-
= -'Vïl'
Donc, dans ce cas la courbe di'génère en un système de dm.v droites '/ni
Ainsi, les variétés de I'iiyperbole sont ; l'hyperbole c/juilalèic, et un système de deux droites qui se coupent.
pAnABOiES y'~ Q J'.
11 peut arriver que Q soit positif ou négatif.
Dans le premier cas, l'équation représente évidemment une parabole dont le paramètre, ip, est égal au coefficient 0-
Dans le second, comme en changeant a: en —x, l'équation y'=~- Qi^ devient/' = Q.k, il s'ensuit que la courbe est encore une parabole ; seulement elle est dirigée dans le sens des x négatifs. Mais en pliant la figure suivant l'axe des 7, on remet la courbe dans la situation ordinaire.
Le cas dans lequel on suppose (1S8) N = o, S = o, ou bien M = o, R = o, est regardé comme donnant luic variété de la parabole, par la raison que M = o, ou N — o, est le caractère général de cette courlîo.
Les équations
Mj=-4-Rj + F = o ou Nx'-hS.v-hl- =0,
qui correspondent à ces hypothèses particulières, donnant par leur résO' lotion
l64 BÈDUCTIOH PAR LA TBANSFOllMATiOK UF.S COaitUONSÉES
il en résulte que, suivant que l'on a
R'-4MF>o, =o ou <;;, ou bien
S'~4>JF>o, =o ou <u,
l'équation représente deux droites parallèles, une seule dioilc, ou rien.:diviles imaginaires.
Telles sont les variétés de la parabole.
162. Mode de réduction de l'cc/ualion du second degi'é, i]Uï convient au cas rfeB'— 4AC< ou > o. — Nous avons vu [dS4à 1S6) comment, par une double transformation de coordonnées, on pHUt ramener toute équation du second degré à deux variables, & la forme
en tant que, dans l'équation primitive,
Aj=-f- B.rj + Ct ' -1- Dj -i- E.r + F -. o, B"-4AC$o,
c« qui caractérise X'ellipse ou Vhyperbote.
Mais, la méthode que nous avons exposée ayant, en général, l'inconvénient d'introduire des quantités irrationnelles dans les coefficients t quation(fûn^/o/'mee(15i), et, par suite aussi, dans les valeurs des coor données « et 6 de la nouvelle origine, nous allons montrer qu'on avec avantage, dans ce cas, intervertir l'ordre des deux transformations.
Reprenons, à cet eifet, l'équation
(i) A7=-t-Bj;j-HCa^ = + Dj-i-E.ï + F^o;
et tâchons de faire disparaître, d'abord, les termes {dits linéaires) on jet r, savoir :
Dj et E^.
Pour cela, remplaçons x, y, respectivement par x -h a, y -h b; il yknl Aj'^B.çr + C^'+ (aA?j + B«-FD)j+[2C« + BÈ + E)j^
+ Ai' M- Bal) H- Cn' + D6 + Efl 4- F = o ,
et puisqu'on veut que la nouvelle équation soit privée des termes linéaires, il suffit de poser
et de déterminer (123) a at b do manière C[ue ces dcus équations de a dition soient satisfaites.
DE L ÉQUATION GÉNÉRALE DU SE'JOHD DEGRÉ. l65
Or, on obtient, par l' élimination de a, b, entre ces équations,
= aAE - PD , a CD - BE " B' - 4 ÀC ' IJ"' - 4 AC" '
valeurs essentiellement réelles ethnies, puisque, par bypothèse, B' — 4 AC est d/fféreNl de o.
D'où l'on peut conclure que cette premiéhe transformation est toujours possible, tant que l'on a
B'-4AC< ou >o.
[.'équation tmnsfor-mée d^-ient alors
F' ayant pour valeur
Ai' + Efl& + C«'+-D& + Eo + F,
Celte dernière expression, qui n'est que le l'ésiillat de la sulKtiuitton de (ï, b, à la place de jt, /, dans le premier membre de la proposée, peut recevoir une forme pîus simple, à l'aide des deux équations de condition.
En effet, si, après avoir multiplié la première de ces équations par 6 et la seconde par a, ou les ajoute l'une à l'autre, il vient
a Afi= 'h- 5Bfl6 + -iZa? + D& h- Ea = o;
163. L'équation (2) mérite une attention toute particulière. En y posant J-— lUX, on obtient
''~ \ A//<'-,-li/f;-i-C'
Ce qui prouve, comme au n° 129, que toiue droite menée par la nawello origine An?, coordonnées, et terminée de part et d'autre à la courbe, est tlii'isée jiar ce point en deux oa/ties égtiles.
l66 BÉDUCTION FAR LA TItAKSFOnMATIOK DES COORDONNÉTlS
Donc (130) ce point est le CENTBE delà courbe; et Ton dit alors qu'elle est rapportée à son centre comme origine.
N.B. —Dans le casde B'— 4AC = o, les valeurs des coordonnées « et b de la nouvelle origine sont infinies; et le centre est alors situé à ïinfinif résultat conforme à ce que l'on a établi au n" lii.
i6i. La première transformation étant opérée, la seconde, qui a pour but de faire disparaître le terme en :cj de l'équation (a), et qui (154) est toujours pos.siUe, s'exécute de la manière indiquée dans ce numéro.
Les opérations auxquelles donne lieu la double transformation sont donc, suivant la deuxième méthode, qui convient au cas de B' — 4AC ^ o, représentées dans le tableau suivant :
ky' -B,r/ + Cj:' + Dj + E.E + F = o.
risc'
"- jr
Prei
nière tran
,f.,mé.
Aj
HCx'-hF' =
A-hC^
il/(A-C)"=
-hW
Rds
tdt Ht final
P désignant ce que devient F' ou F + - ^ après qu'on yarempla&^
a et b piirles valeurs ci-dossus.
La courbe se trouve ainsi rapportée à son centre ot à ses axes prinei-
16S. Remarque. — La seconde transformation devient inutile lorsque la première, qui correspond au déplacement d'origine, conduit à un résultat de la forme
Ar=+B.rj + Cx=^o.
Car cotte cquaLîon résolue par rapport à y donne
/j!rtv'B'-4AC\
yGoosle
DE l'équation générale bu sëcokd cEcnfi. 167
expression q\ii montre : 1° que. dans le cas de B'-4AC<o,
ta courbe se .réduit à un point qui n'est autre que k seconde origine, puisque alors l'équation n'est satisfaite que par x --- d, y = 11 ; a" et que dans le cas de
B'-UC>o,
!a courbe dégénÈrc on un système de deux draiten qui se coupent à cette nousetle origine.
166. Interprétation du double signe des ■Dateurs deM. et de H.. —Noua avons fait remarquer (ISb, note au bas de la page), que les expressions de M et de N comportent chacune deux valeurs.
Pour interpréter ces doubles videurs, rappelons-nous qu'elles ont été déduites de celles-ci :
'"" v/lA — C)"+ii'' " "~ v'CA~^^cl""Vii'
Or, comme nous sommes convenus (ISi, N. B.) de prendre pour
l'angle 2 a le plus petit des angles fournis par la valeur tangaa = — ■■.a!
il s'ensuit que sînaa est essentiellem xA p fi dès lors i! peut se présenter deu.v cas :
Ou B est négatif dans l'équation p t 1 p p sée, ou bien B est positif.
Lansle PREMIER cas, le signe ■+■ d t a comp n 1 radical dans la valeur de sinaa; et, par suite, on a p 1 leurs de M ot de N,
N = ^^-^ -^s/(A-C}'-Hli'.
Dans le second, au contraire, pour que ânaa conserve le signe +, il faut que le radical soit affecté du signe — ; et les vraies valeurs de M et de N doivent être
M =-- — t-- - - l/lÂ^^Ft^, N = i:t^ + 1 v^iA-cy+B'.
167. Lorsque l'équation est aux paraboles, c'est-à-dire dans le cas de B' — 4AC = 0, il convient di; conserver l'ordre primitif des deux trans-
l68 RÉDUCTION P.\R I.A TRAKSFOrMATION DES COOHDONMÉES
formations, et l'on peut résumer c!û la manière suivante les résultais ai quels on parvient :
-vTÂ^
l'une dss deux qumililés M ou N cCm s\ipposant par excmplo N = o,
Mj' -f- Rr -I- S^ -I- F = o, première traïuformàr .
[Les coefficients R et S sont exprimés (134] au moyen des valeurs de cosa et de sina, déduites de celles de tangaa.]
sM' "~~ 4MS ' Mj^+ S-C = o, ou j'= Q^, rèiultnlfntil.
N. B. — Si l'on a S= o, la seconde transformation est impossible; mais alors la première transformée représente généralement deux droites parallèles au iinuvel axe des x; ces droites pourraient d'ailleurs se ri!duire & une seule, OU même être imaginaires.
168. Mode de transformation correspondant à W— (i AC ^ o. Soit, pour premier exempte,
y'' ~ i^.y -\- 3^'-(- aj — 4''^ — 3 ;" o;
A==i, B--=^-J, C = 3, D=a, lî= — 4, F = -3; d'où
B'— 4AG=; i — 1'2 = - 8, Ellipse.
CE l'équatiok générale
DU SIXOXD Di;Gllf.
appliquons les formules dii n" llîi :
aAE-BD I , JJ'-4AC 2'
B'— 4AC a'
d'où
P/viiiicre trniufiirim'-i: : J"'— a-'JH- 'ix' — - —o.
Soit pris sur AX, AC = - 1 et soit élevé au point C (fig. 87 ) une perpendiculaire CO = — ; si l'on mène, par le point 0, las deux droites
OX', OY' parallèles à AX, AY, la courLe se trouve rapportée à deux nouveaux axes paruUèles aux anciens.
taiigAOX' = - 1 ;
il sufBt donc, après avoir tiré la droite OAL, de diviser l'angle LOX' en deux pnriies égales par la droite OX", puis d'élever OY" perpendiculaire àOX"; et la courbe se trouve alors rapportée au troisième système d'axes OX", 0Y°.
On a d'ailleurs [1C6)
N = :?^ 1 vTÂ^Cf ^C^ = a - v^; ce f|ui donne la trunajoniici; Jînalc,
Pour comparer cette équation à celle-ci,
AV+B'j:'= A=C', et en déduire les valeurs numériques des aj:i!s principaux, aA, aB, il
[■JO RÉDUCTIOK P*R I.A TnANSFORMATlON DLIS GOOllBONNÉEC
faut (133) la multiplier par
MN ,(^.+ i/ï)(^-^/,) 4'
On obtient ainsi
o\i, calculant ces valeurs ii o,i près, et doublant,
La courbe est irnc rllipse telle que DED'E' dont lu p-tmd nxe est dant le sens do OX".
d'où
B'— 4AC= - 4, Ellipse.
