B'-4AC 3 B"- 4AC

ce qui donne, pour première tranxfon

e U est positif.

- v'iA-Cj'+B' = - i - ^ v/^,

On obtient ainsi pour seconde transformée, en cliangeanl les signe multipliant par a,

DB l'éqijAtiox cénèrali; du seconi» degré.

lallation qui, résolue par rapport à j, devient

■sjf^

m, transformant et réduisant,

et représente, par conséquent, un système de <!eii^ droites qui se coupcni à la noiu<eUe origine dont les coordonnées sont

On voit encore ici se vérifier la remm-qne du n" 46S ; ot l'on serait parvenu au même résultat en traitant directement la première transformée

169. Mode de transformation pour le cas de W — 4iC = o. Soit, pour cinquième exemple,

A = i, B=-4, G = 4, D = a, E - - 7, F = ~ 1, B^- 4AC = 16 - iG = o, Parabolu.

11 y a lieu ici d'appliquer les formules du n" 1C7.

in.=.:^^

li ^Dco

1^4 KÉDliCTION PAU LA T[1A.\SFOHMATIOS BES COORDONNÉES

CD qui donno, \>ii\ït pi-cmière transformée,

Pour construire les deux nouveaux axes, prenez sur AX une dislance AC égale à i [fig. 89); élevez au point C une perpendiculaire CD égale à

—- ,7 ^w\?, tracez la droite DAB; vous avez ainsi

tnnnTliY — 1.

Divisez l'angle BAX en deux parties égaies, et vous obtenez les AY' pour .tcconil système de coordonnées.

4MS -"JS""- D'où l'on dMuit la seconde Hansfunni'e

Les quantités

« = ~|./5, « — gv/î, S = -|A

étant évaluées on décimales à o, i prés par exemple, deviennent respectivement

Prenons sur AX' une distance AE = — 2,7; élevant enK, EA' perpendiculaire à AX' et égal à — 0,7, puis, menant Â'X", A'Y" parallèles à AX', AY', on aura le système d'axes auxquels est rapportée la parabole.

dont le paramétre a pour expression i , 3, et qui, par conséquent, peut être facilement construite au moyen des procédés indiqués au n" 141. On obtient ainsi une courbe telle queMA'N, tangente en A' à l'axe A'Y".

SiJ'ièine exemple.

y- — %3:r-\- x' -V- :iy — ij: ~ Z = o.

I SËCONB J)E(iRÛ,

-l/a, iMSci— -</■/..

±Ç i^/(A cr

"^TF

Rr=DC0S«-

-Esma = ^V^, S

^Ds

qu

i donne la pie,

^n/cVe traïuformée.

37' + 2v/ïr-

La valeur obtenue pour tangaa, étant infinie {.fig.^o), indique que le nouvel axe des ^, AX', est la bissectrice de l'angle YAX.

Quant à la seconde transformation de coordonnées, il n'y a pas lieu (167, ÎV. B.) de l'effectuer, puisque l'équation de la première transformée ne renferme plus que la seule variable y.

Cette équation représente un système de deuœ droites parallèles au nouvel axe des x, système que l'on peut construire facilement en résolvant cette équation; il vient, toute réduction faite,

/=-V^ et j = — ~i/ï,

on

^ = 0,7 et r — — 'i,i, à 0,1 près.

Prenant sur AY' deux distances ÂB = 0,7 et AB'= — 2,1, puis, tirant !es droites BC, B'C, parallèles à AX', on obtient le système demandé.

Les différents exemples que nous venons de traiter suffisent pour montrer comment une courbe du, second degré exprimée par une équation numérique quelconque, peut, par une double transformation de coordonnées, être rapportée à son centre et à ses axes principaux, si c'est une ELLIPSE ou une HTPERBOLE, et à son axe principal, si c'est une pauabolb,

170. Remarque générale sur toutes les courbes exprimées par une équation du second degré en x et en /, ces lettres représentant les distances d'un point à des axes fixes ot donnés de position sur un plan.

Dans la double transformation de coordonnées que nous avons exécutée pour ramener l'équation générale du second degré à deux variables, à l'une ou à l'autre des deux formes

l'jG HÉDUCTEON PAU Lk TBA.KSF0RMAT1ON DES COOHDONNSKS

nous sommes partis de la supposition que la courbe était d'abord rapporU'o à des ases rectangulaires; et que le troisième système d'axes était luimême rectangulaire.

Les trois classes de courbes du second degré ont é'é ensuite déterminées d'après des hypothèses faites sur les coefficients M, N, P, Q.

Mais si nous supposons qu'une courbe rapportée à des axes obliques soit exprimée par l'une de ces équations, peul-on n^lrmer que, pour les mêmes hypothèses faites sur les coefficients, la courbe, sous le rapport de la forme, est la même que dans le cas d'axes nECTANGULAmES'

Pour répondre à cette question, il faut remarqiier que chacune dos trois courbes obtenues dans la supposition d'axes rectangulaires offre, dans son cours, un caractère, qui lui est propre, et qui peut servir à la distinguer des deux autres.

Ainsi, Vellrpse, telle que nous l'avons définie au n° 124, est une courbo nENTBANTB ET FERMÉE OU Une COUrbe limitée dans tous les sens.

Vhjperbole (134) est une courbe composée de deux branches distinctes, égales et opposées, qui s'étendent l'une et Vautre indéfiniment. ■ Enfin, \Aparahole (lil ) s'étend indéfinimeut dans tai seul sens, et elle n'a qu'wic seitle branche.

Or ces trois caractères géoinétri'jues se reproduisent également par la discussion des deux équations précédentes, considérées par rapport il des axes obliques.

En eiîet, prenons l'équation

et supposons d'abord M, N, positifs [on doit aussi regarder P comme positif, autrement l'équation ne pourrait donner lieu à des valeurs réelles pour j: et 7).

Cette équation, étant résolue par rapport à j, donne

VKk""")*

et l'inspection seule de ce résultat démontre qu'à des valeui's do x, soit positives, soit négatives, numériquement plus pondent des valeurs imaginaires pour y.

Donc, la courbe est limitée dans le sens des j: positifs, et dans ce des 3: négatifs, par deux parallèles à l'axe des j, SS', ER' {fig. 91), n nées aux distances

= \Jl' °

OB

'■^^Jw

DE l'équation GfiKÈRALH MU SECOMD CEGBÉ. I77

En rcaolvaiit l'équation par rapport à a.', on reconnailrajt de même qu'elle esl limitée dans les deux sens de l'axe dos j, par deux parallèles

OC

= ^\/h "^"-'--s/yi-

La courbe est alors entièrement comprise on dedans du parallélogramme RSS'R', aux côtés duquel elle est tangente en B', C, B, G'.

Soient actuellement M positif, N négntif, et P négatif ou positif; ce qui donne, les signes étant mis en évidence,

L'équation résolue pur rapport à y devient

Dans le preuier cas, on oit que po u des vileurs de x, soit poslr tives, soit négatives, numér q ement o le je 1/5^' les valeurs correspondantea de i son! ag a re Ma « en lonnant & x des valeurs

/p fiius grandes que i/iji on obtient ] our y des aleurs toupiirs réelles,

quelque grande que soit d'ailleurs la valeur de x dans les deux sens.

Donc, la courbe n'a aiicun point situé entre lea parallèles à l'axe des 7, BL, B'L' {Jîg. îr*)) menées aux distancoa