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J73. On déduit da l'équation A=j' -t- Ti^x- = A'B' : r- &
Or, X et j étant les coordonnées d'un point quelconque M de la cOurbe, il est évident que k-hx, k~x expriment les distances ÂP, BP des sommets A, B au pied de l'ordonnée MP; ainsi, l'on a
MP
: APxPB :: B': A';
Le carré d'une ordonnée ificlcoiique de l'ellipse esl at'ec le prodidl des distances du pied de celle ordonnée aii.c deux sommets, dans un rapport constant;
En d'autres termes, les carrés des ordonnées sont respectivement pi-ojjortionnels aux rectangles des distances des pieds de ces onliinnées aux sommets de la courbe.
Si l'on suppose B = A, la relation se réduit à
ce qui exprime que l'ordonnée d'un cercle à un diamètre est mnjcnne proportionnelle entre les segments correspondants du diamètre, propriété connue en Gléométrio.
La propriété qui vient d'être établie pour l'ellipse n'est, du reste, qu'un cas particulier d'une autre proposition sur les courbes du second degré rapportées à des axes quelconques, et qui sera démontrée plus tard.
174. Décrivons sur le grand axe d'une ellipse {fi^. 96], comme (liamètre, une circonférence de cercle; on a, pour son équation,
celle de l'ellipse rapportée aux mêmes axes étant
signe par 7 l'ordonnée d'un point quelconque de
CillflCT. DES POINTS DE lA COURBE KT CONST. PAR POINTS, 101
cette courbe, et par Y l'ordonnée du cejTle correspondant à la même iibidssc, on a la relation
c'est-à-dire que l'onlonnéi: de l'ellipse est à celte du cercle décrii sur son grand nj:e, dans le rapport du petit axe an grand axe;
D'où résulte un moyen assez simple de comtiutre l'ellipse par points .
Sur tes axes AB, CD, décrivez, deux tiicontérences, tirez le rayon OM, et par le point L, où ce rayon coupe la petite circonférence, menez LN parallèle à AB.
Le point N où celte parallèle rencontie 1 oidonnee du point M appartient à l'ellipse.
En effet, on a, d'après la- construction,
Prolongeant ensuite MP d'une quantité P« égale à PN, on obtient un second point de la courbe; lespoint9n',n'',^ï»^(jïV/Ke* des deux premiers, peuvent être ensuite déterminés comme l'indique la figure.
175. U esiste un autre moyen, fondé sur la même propriété, pour construire l'ellipse.
AB, CD étant les deux axes [J!g. 97), marquez ë'm CD un point K tel.
prenez, ensuîfe un point quelconque I situé entre 0 et K; puis, de ce point I comme centre, avec un rayon OK, décrivez un arc de cercle qui coupe AB eu L et en L' ; tirez IL, IL', et prenez, sur ces deux lignes pro-
ies points M, M' appartiennent à la courLe.
Car, si l'on mène IH parallèle à AB, et MQ perpendiculaire à IH, les triangles IQM, LPM sont semblables et donnent
1U:ML::MQ:MP; d'où MP=^MQ==|mQ.
Mais on a
MQ ^ V^Mï' - ÏÛ' = v'^î'î' - ÔP' ,
donc, en posant OP -
Même raisonnement à l'égard du. point M' symétrique du point M.
Pour obtenir les deux points m, m' symétriques de M, M', il suffirait de prendre, sur OC, 01' = 01 et d'opérer comme précédemment.
Il est évident, d'ailleurs, que, pour que la construction soit possible, le point I doit être placÉ entre 0 et K.
