Mesure de la surface ou quadrature de l'ellipse

Le rapport cnnstaatj, qui existe entre l'ordonnée de l'ellipse et celle

du cercle décrit sur son grand axe, conduit très -simplement à l'expression, soit de ia sa/face entière de l'ellipse, soit de Voire d'un segment compris entre deiLc ordon/tees paruUéîes.

En premier lieu, concevons que l'on ait inscrit au cercle un polygone quelconque dont MM' soit un côté.

Des sommets M, M',. . . {fig. 96) de ce polygone, abaissons des perpendiculaires sur le grand axe, et joignons par des cordes les points N, N',.., où ces perpendiculaires coupent l'ellipse; nous formons ainsi un polygone inscrit à cette courbe, et qui a NN' pour un de ses côtés.

Cela posé, soient Y, Y' les ordonnées des deux points M, M', et /, y', celles des points N, N' correspondant aux mêmes abscisses x, ^'.

Les trapèzes MM'P'P, NN'P'P donnent

MM'FP ^ I-±-^ (■*'- ■^). NN'P'P = ^'-^^- [x'-^)\

d'où

NN'P'P r:t..'''

MM'P'P" Y -F Y'' Ol- on a

y-^-X, y-.-.^^^, p.rsuae, f^p^ = p

NN'P'P B MM'P'P^ a'

On reconnaîtrait, de la même manière, que chacun des trapèzes dont se compose Je polygone inscrit à l'ellipse est au trapèze correspondant du cercle, dans le rapport B : A.

D'oii l'on conclut, en vertu d'un principe connu, que la somme de ions les premiers trapèzes est à celle des seconds, dans ce même rapport.

OUAnRATUBE T>E L* COURBE.

Ainsi, soient/), P lus deux polygones; on a

Cette relalion, devant snbsister quel que soit lo nombre des côtés clex deux polygones, est encore vraie pour les polygones (imites qui ne sont autres que l'ellipse et le cercle.

Donc, si l'on désigne par s, S, leurs surfaces, il vient

l'aire du cercle a pour expression, ttA-, il en résulte

pour l'expression de la surface d'une cilipsi: dont les aj;es principaux sont 2Â, aB.

En second lieu, quant à l'aire d'un segment compris entre deiuc ordonnées parallèles, il suffirait, pour l'obtenir, d'appliquer à ce segment, et à celui qui lui correspond dans le cercle, le même raisonnement que celui qui a conduit à l'expression du rapport des deux surfaces entières; do sorte qu'en appelant *', S' ces segments, on arriverait à l'égalité

d'où l'on déduirait Vaire cherchée au moyen de colle de S' qu'on sait déterminer géométriquement.

§ I. — Diamètres dans l'ellipse. — Diamètres cojuugués. — Cordes supplémentaires; leurs relations avec les diamètres conjugués.

177, On appelle, en général, diamètre d'une courbe, une ligne (droite ou courbe) qià passe pai- les milieux de toutes les cordes parallèles menées soiu une direction quelconque.

De cette définition il résulte nécessairement que toute courbe a une infmte de diamètres dont la nature dépend de !a nature de la courbe elle-même.

Nous allons démontrer que, dans l'ellipse (et nous ferons voir plus tard qu'il en est de même pour les deux autres courbes du second degré), tous les diamètres sont des lignes droites.

i84 DE i.'ellipsk.

Soient, en effet, [i) A'j' + B',k'^ A'B'

l'équation de l'ellipse rapportée à son centre et à ses axes, et [a) y^-ax + b

celle d'une droite qui doit rencontrer la courbe.

En éliminant a; et / entre ces équations, on obtiendra les coordonnées des points d'intersection de la droite avec la courbe.

L'élimination de/, par exemple, donne

(3) (AW+B')^=-HaA'«6.T + A'(i'-B'} = o.

Cela posé, désignons par {x\ y'), [3^, y") les coordonnées dos points M, M' [fig. 93), et par X, Y colles du point milieu N. Ona(9G)

D'un autre côté, l'équation (3), étant du second degré, donne entre ses racines la relation

a^'+a-" A'nft

en sorte que l'on a, pour les coordonnées du point N,

(5) Y.,oX + J.

Mais des deux quantités a, b, ts^m fixent la position do la droite MM', l'une, a, est conuante pour toutes les positions que peut prendre cette droite parallèlement à elle-même; l'autre, b, varie d'une position à l'autre; d'où il suit que si, pour une valeur déterminée de «, on donne à b une série de valeurs auxquelles correspondent amant de valeurs de X déduites de l'équation (4) et de Y tirées de l'équation (5), on obtiendra les coordonnées de la série des points milieux de la corde MM' et de toutes les cordes qui lui sont parallèles.

Par conséquent, en éliminant b entre (4) et (5), on parviendra à uno équation qui, convenant exclusivement à tous ces points milieux, sera l'équation de leur lieu, géométrique.

Or, l'équation (5) donne 6 = Y — oX; d'où, substituant dans l'équation (4) et chassant le dénominateur.

(AV-H B=)X = - A-«(T - oX),

yGoosle

OU, réduisant et rùaolvant par rapport h Y,

équation d'une droite passant par Vorigine.

Comme d'ailleurs on est arrivé à cette équation san^ donner h In constante a aucune valeur particulière, on peut conclure ;

1° Que, dans l'ellipse, tous les diamètres sont des lignes droites;

2° Que les diamètres de l'ellipse passent tous par le centre.

Ce dernier résultat s'accorde avec la définition dvt centre (130).

i7S. DiAMÈTBES cofiiuGUÉs. — Gonsîdérons, avec le diamètre LL' qui, passant par les milieux de ta corde MM' {J!g. gSj et des cordes parallèle h celles-ci, a pour équation

le diamètre H' parnllèle à ces cordes ; l'équation de ce dernier est (a) r=a^.

Eéciproquaneiit, si l'on considère les cordes parallèles au premier diamètre LL', et que i'on appelle a' la quantité — p- -, l'équation du diamètre, liea géométrique des points milieux de ces nouvelles cordes, sera (177)

■J"=~Â^'^' expression qui, après que l'on a remplacé a' par sa valeur, se réduit à

X ■-= ax,

c'est-à-dire à l'équation même du diamètre II'.

D'où résulte nécessairement cette conséquence ;

Si un diamètre LL' passe par les points milieux d'un système de cordes parallèles à un autre diamètre II', réciproquement, celui-ci passe par les points milieux de toutes les cordes parallèles au premier.

Ces deux diamètres, dont cluicun divise en deux parties égales les cordes parallèles à l'autre, sont dits wamètbes conjugués.

L'ellipse a évidemment une infinité de systèmes de diamètres conjugués, puisqu'il y a une infinité de systèmes de cardes parallèles.