Autres conséquences immédiates

1° La. quantité — p- ayant été représentée par «', le produit de a par a'

odt égal à — r;; on sorte que, si l'on désigne par ■/., a.' les angles (jue

forment respectivement avec le grand axe les deux diamètres conjugués d'un système quelconque, on a, entre les coefficients d'inclinaison de ces diamètres, la relation

%■ Le raractéiï- analytique d'un pareil syslème est ([n'en y rapportant la courbe, on a une équation de la forme

Mj'+N^== P.

Car cette équation, donnant, pour une même valeur de a:, deux valeurs de y égales et de signes contraires, ou réciproquement, satisfait à la double condition que chacun des nouveaux axes divise en deiw parties égales toutes les cordes de la courbe parallèles à Xoittrc axe.

3° Par suite, les axes principaux forment un système de diamètres conjugués.

180. Le système de diamètres conjugués formé par les axes principaux est le seul qui puisse être rectangidaire, tant qu'il s'agit d'une ellipse proprement dite.

Car, pour que les deux diamètres soient perpendicalaires l'un à l'autre, il faut (64) qu'entre les angles a, a' qu'ils font avec l'axe des x, on ait la relation

tangn tangK'— — i;

et pour que ces diamètres soient conjugués, on doit avoir, on vertu de la première conséquence (179),

Or les demi-axes, A et B, d'une ellipse étant inégaux, ces deux relations ne peuvent exister ensemble qu'autant que l'on a à la fois

tangK = o, tangn' = co,

ou réciproquement : c'esi-à-dire qu'autant que le système dos diamètres conjugués est précisément celui des axes principaux.

Donc, etc.

N. B. — Dans le cas de B = A, qui est celui od l'ellipse devient un CERCLE, les deux relations n'en font plus qu'une seule; d'où l'on conclut que, dans le cercle, il existe une infinité de systèmes de diamètres conjugués perpendiculaires entre eux.

CORDES SlirPT.t>lE!NTAlllF.S. '^'J

Cola est, du reste, évident; car un diamètre étant tracé à volonté dans le plan du cercle, si l'on élève par le centre une perj>endiculaii-e h. ce diamètre, l'équation de ta courbe rapportée à ce système d'axes est toujours

181. CoriDES s>iPPimi>TAiiiEs — On ujrame iin-i dai !r ik /in parlant des cxtreiiulei d un diametie queknrtque te renrintr nt Mii la

Les angles qne ces droites, prises deuo. à deux, fïrmfnt avec le grand axe ont entre eux uiip relatim particuherc que nous allons établir

Considérons, à cet effet, en premier lu u , les deux conlet KU et BM (^- 99)1 menées d un point quelconque M de la couthe auîL ixtrémités A et B du grand are

La droite BM pissant par le p mt 1 d nt 1 s onidiîneis nt [y = o, x ^ &.) a pi ur cquitiim

nn a de mSme pour la droite AM', passant par le point A on (y — o, j^ = -A),

Si l'on désigne par x', y' les coordonnées du point M, comme elles doivent vérifier les deuK équations préccdentes, il en résulte

j'=«(^'-A); d'où " = j;^^>

j'^o'(x'-h A).; d'où "'=--7-—i;

D'un autre côté, le point {-'':', x') se trouve qui donne

d'ofi l'on di^duit

Égalant entre e)l«s les dcus valeurs de — r, — n > "« obtient la rulation

iflS OE l'élupse.

182. Soient, en second Itcti, deux cordes supplémeitlaii'cs, EM', E'M' aboutissant aux extrémités d'un diamètre r/uelconijne EE'.

Appelons .c", J"", les coordonnées du point E; celles du point E' seront (129) —■'':", —y"', et les êqnations de deux droites menées des points K, E' à un point quelconque M' de la courbe seront de la forme

Comme le point M' ou (.e', y') appartient à la fois aux deux droilas, on a les relations

:s points M', E, W se trouvant aussi sur la courbe, on a également A'j-"-h-B'j-"= A'B\ AV"M-B'.n:"= = A'B^

et, en égalant les deux valeurs de ; „^' ,,,1 on arrive à la môme relation

que Cl -dessus :

an == -^^ ■

N. J3. — Dans le cas de B = A, eetto relation devient

E CEKCLE, /w cordes supplémentaires sont a

183, Las deux relations

tangKtangK = — p' «« = '~ X'"'

obtenues aux n" 179 et 182, donnent lieu à un rapprochement utile entre les diamètres conjugués et les cordes supplémentaires. Appelons 7, 7' les angles que forment, avec le grand axe de l'ellipse, wrdes supplémentaires (/g-. 98J MM', M/« partant des extrémités ■e quelconque M'm; on a

ang7tang7 = — t-.'i

CORDES SU PPI.ÉSI ENTA 1RES. iSq

et comme, pour un système de diamélrt:s conjugués, on a pareillement

B' tanga taiiga^= — -v-j,

il en résulte la nouvelle relation

tang7 tang7'— tanga tanga',

qui diimontre que l'hypothèse 7 = a entraîne la condition 7'= -j.',

■ Cela signifie, en langage ordinaire, que la corde MM' étant supposée parallèle au diamètre 11', par exemple, le coniugué de celui-ci est nécessairement/mm/ièie à la corde supplémentaii-e M m, et n'est autre que le diamètre IL', passant par les points miueux de toutes les cordes pairrltéks à MM'.

Celte propriété fournit un moyen simple de construire le dinméire cimiugué d'un diamètre donné tel que LL' :

Tirez un diamètre quelconque M'm, et, par le point m, la corde »iM parallèle au diamètre donné LL'; tracez ensuite la corde sii/iplèmen' taire M'M, puis îe diamètre II' parallèle à cette corde. Vous obtenez ainsi le CONJUGUÉ du diamètre LL'.

N. £. — Il est plus commode, en général, de faire usage, dans cette construction, des cordes supplémentaires qui partent des extrémités du grand axe.

iSi. Proposons-nous maintenant de calculer l'angle que forment entre elles deux cordes supplémentaires menées par les extrémités du grand

Soient AM, BM {Jïg. 99) les deux cordes données.

Pour résoudre la question proposée, il suffit (69) de calculer l'oïprcssion

(( désignant la tangente do l'angle MBX, a' celle de MAX. Or on a trouvé [181 )

ce qui donne

r' r' .rZ-k .cVA îA.''

Mais, de la relatio

n A'j-'=+ &x"-^- A'BS on déduit

igo

d'où, substituant.

(i) tïingAMlî ^

(A^-li')j'

L'inspection seule de ce résultat prouve d'abord que, si l'on considère un point quelconque M de la courbe, situé au-dessus du grand axe, auquel cas y' est positif, la tangente de l'angle AMB est négative (car on a toujours A > B) ; donc cet angle est nécessairement obtus, ce qui doit être, puisque tous les points de l'ellipse sont intérieurs à la demi-circpnférence décrite sur AB comme diamètre.

On voit, en outre, que, plus j"' est grand, plus la valeur numérique de l'expression (i) est /)eï(«,- par suite, plus l'angle est grand, (On sait qu'un angle obtus est d'autant plus grand que sa tangente est numériquement plus petite.)

Le maximum de cet angle correspond au minimum de .;■, c'esl-à-dir(! àj'=B.

Ce qui donne alors, pour l'expression (i),

U) tungACB--^^^^.

Los valeurs de a et de a' deviennent d'ailleurs, pour j'= B, d'où

On peut vérifier facilement le résultat {■i.') sur k figure. En ellet, on a

ACB = 2AC0; d'où

a tangACO — tang' ACO

tangACB = tangaACO ---- -

(d'après une formule connue de Trigonométrie) ; A.

tangACO = ^

yGoosle

TANGENTE MENÉE PAR UN POINT DE LA COURBE. igi