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autre

chose (wi.'j

le n° 102) que la dérivée du premier membre de l'équation de ta courbe, prise par rapport à x avec un signe contraire, et divisée par la dérwée de ce nifinie premier membre, prise par rapport à y, après que l'on a remplacé a: et 7 par les coordonnées ^e' et/' éa point de conciwt.

187. On peut donner à l'équation (i) une forme plus simple, à l'aido de la relation (a).

En effet, si l'on chasse le dénominateur, et que l'on transpose, on a

ou, à cause de la relation (a),

(3) A',)7'+BV,t'= A'B',

résultat remarquable et facile à rappeler au besoin, en ce qu'il sullit, pour

TAHGKSTE ET NORMALE. lyj

l'oblenir do remplacer, dans l'équation de la courbe, les carres j;\ j', par les rectangles xx', yy' .

188. Expression de la sous -tangente. — Faisons, dans l'équation (i), r = o; il vient

C'est la différence entre l'abscisse OR correspondante à j = o, et l'abscisse OP du point de contact; fit, par conséquent, c'est (304) la valeur de la sous- tangente PR.

On arriverait au même résultat en faisant j -=-0 dans l'équation (3), ce qui donnerait

et en retranchant, de cotte valeur de j: l'abscisse OP ou ^' Ôv poi/ic de contact, il viendrait

ou, à cause de la relation (2),

189. "V expression f— 1 obtenue pour la sous-taiigente, fournît un

moyen simple de construire la tangente à l'ellipse en un point M de la courbe.

En eifet, comme elle est indépendante du second axe 2B, il s'ensuit que, pour toutes les ellipses ayant même premier axe 2Â, les sous-tangentes qui correspondent à la même abscisse sont égalas; ou, en d'autres larmes, si, d'un point P de l'axe des a:, on élève une perpendiculaire à cet axe, et que, par les points où cette perpendiculaire rencontre les ellipses supposées décrites sur le grand axe AB, on mène des tangentes à ces courbes, elles viendront aboutir au même point de l'axe des x.

Or le cercle décrit sur AB comme diamètre peut être considéré comme une de ces ellipses.

Donc, pour obtenir la tangente à l'ellipse en un point M, il suffit de décrire sur AB comme diamètre une demi-circonférence , de mener ensuite au point M', où l'ordonnée PM, prolongée, va rencontrer la demicirconférence, une tangente à cette courbe, et de joindre au point M le point d'intersection R de cette tangente avec l'axe des x. La droite MR est la tangente demandée.

i90. Équation de la normale et expression be la sous-normale. — La KORsiALB étant (lOSj une droite MS menée par le point de contact

Jp.de VAl. à la G. i3