BEL ELLIPSE

{x',y'), perpendiculiiiicment à la tangcnlc, on a (Kl), pour sou équation.

Soit fait, dans cette équation, y = o, il en K'siillu

c'est (lOS) la valeur de la sous-normale PS.

Il est à remarquer que, 'pour x' positif, \efi deux ear/jref TANGENTE et de la sous-normale , savoir :

sont, la première, posilive, et la seconde, négative; ce qui doit être, puisque les points R et S sont de côtés opposés par rapport au pied P de l'ordonnée du point de contact, et que c'est à partir du point P que l'on compte les distances PR et PS.

N. S. — On suppose ici que le point M est situé à la diviie de OY ; s'il en était autrement, les conséquences précédentes auraient lieu en sens

191. La discussion des valeurs de PS et de PS correspondant aus diverses positions que peut prendre le point de contact offre quelque intérêt.

Considérons d'abord l'expression

aûn de n'avoir que la seule variable x'. Pour a^'~ o, on obtient

et cela doit être, puisque la tangente au point C est évidemment pamllèlo à l'axe des x.

Quand x' augmente depuis o jusqu'à A qui est la plus grande valeur que x' puisse recevoir, l'expression de PR va sans cesse en diminuant; et le point R se rapproclie de phis en plus du point P.

Lorsque enfin on suppose

x' — A, il en lésHlte

COEFFltEE^T AKGULAIHE IIR !.* TANGEME. 11)5

ce t)iii doit ûlre encore, puisque alors la liingeiilo est iicrpeiidicidniie à l'assons à l'oxpreasion

(|ui, comme on le voit, est du sigth Pour x' = o, on a

PS = o;

ce qui prouve que le point S tombe au centre 0 de l'ellipse; et, en effol^ la normale, au point C, se confond avec le petit axe CO.

A mesure que x' augmente, la valeur de PS, toujours négative, augmente mimériqneinent jusqu'à ce qu'enfin on ait

auquel cas, on trouve

Celte valeur, abstraction faite du signe, n'est autre que la moitié du paramèiie (146), et a, pour représentation géométrique, Yordnnnéc passant par le foyer.

Elle est remarquable en ce que, tandis que les sous-tangentes passent par tous les états de grandeur depuis Vinjîm jusqu'à zéro, les sous-normales croissent numériquement depuis zéro jusqu'à une certaine limite, I, qu'elles ne peuvent d'

192. Dimission du coEFriciENT angolaibe de la tangente. — Reprenons maintenant le coefficient d' inclinaixon

et recherchons par quels états de grandeur il est susceptible de passer suivant les diverses positions attribuées au point de contact.

En feisant d'abord a;' = o, auquel cas le point de contact se trouve en C ou en D on a en se reportant à la relation A'j" -+- B'^ " = A'B',

} =±B, et a-= o;

c'est-à-dire que h tmttcnte aux points C et D est paem.lë[.e au gnind axe; ce qui est coliforme aux résultats établis au n" 191,

A mesure que x augmente, y' diminue , et la valeur de a migmeme de pins ea plus numcnquement.

Lorsque enfn on ^ujjobe ' ' — A, ce qui donne j' -- o, la valeur de « devient injùiu

196 i)Ë l'ellipse.

Donc, au point B, la tangente est pKapENQicuLMUK au grand axe.

L'abscisse j' passant par tons les étals de grandeur depuis zéro jusqu'à A, on reconnaît facilement que le coefficient d'inclinaison a passe par tous les états de grandeur depuis zéro jusqu'à — 00 , pour tous les pointa de la courbe situés aii-dessiu du premier axe, et à la di-oite du second; qu'au contraire, a passe par tous les états de grandeur depuis zéro jusqu'à -t- => , pour tous ies points placés au-dessous du premier axe, et à la droite du second; en sorte que, pour tous les points situés entre B et D, les angles sont aigus, tandis qu'ils sont obtus pour tous les points situés entre B et C.

La symétrie de l'ellipse, par rapport à ses axes prindpmix, prouve d'ailleurs que les mêmes circonstances se reproduiraient pour tous les points situés à la gauclte de OY ; seulement les angles seraient aigus pour \a partie supérieure AC de la courbe, et ils seraient obtus pour la jyartic inférieure AD.

On peut conclure de là que la tangente à Pcllipse prend toutes li:.< inclinaisons possibles par rapport au premier are.

Tangente menée par un point pris hors de la courbe.

t. SoitN (P/.fZ,^. 101) un point quelconque par lequel on se prode mener une tangente à l'ellipse; désignons par «, S les coordon-

zTs de ce point, et conservons j;', y' pour celles du point de contact.

L'équation de la tangente peut être présentée sous la forme

nées

nt angulaire, ayant pour valeur

suffit, pour fixer sa position, d'obtenir les valeurs des inconnuos x

Or, SI l'on considère l'équation simplifiée de la tangente, savoir ( 187 )

AV/ + B'-^-i:'-.A=B',

comme le point (a, @) appartient à cette droite, on a nécessaire nient

(') A'gj'+-li'ïj-' = A'B=.

D'ailleurs, le point [x',y') se trouvant sur la courbe, on doit avoir e

TAKGEKTE MENÉE PAR IN PniNT HXTftRlKUn A t.k COUUIir. I()7

mCme temps

ce qui donne rlcua: équations en cc',j', pour déteraiiner ces deux in-

On trouve, pour résultat de l'éliminalion , en opiîrant comme pour la cercle (106),

,,■ ^ B' (A'S =f a t/A'e'-f- B'a'-^'B^} A^S'-HB'a^

les signes supérieurs ss correspondant, ainsi que les signes inféricai Ces valeurs, qui montrent que, généralement , il y a dmix droites faisant à la question, donnent, par leur substitution dans 1'

\, après que l'on a multiplié haut et ba

iifin de rendre le dénominateur rationnel, et qu'oi simpliilcations,

L'expression do a, pour être réelle, exige que l'on ait

A'S'-HB'a' — A'B'>o, ou = o,

ce qui prouve (171) que le pnini donné (a, S} doit eire o courbe ou sur la courbe.

Dans le cas où l'on a

u extérieur ù la

les valeurs de ^',^'' se rcduisent au s/stème uniijue

igS DE l'ellipse.

c'est-à-dire que les deux points de contact sont réduits à un seul qui se

cùnfuiid avec le point donné.

La valeur de a devient, dans ce cas,

J94. Au lieu d'effectner l'élimination de a;', /' entre les équations (i) et (2), on peut construire les lieua: géométrie/iies qu'elles expriment, et l'on est alors conduit à des conséquences analogues à celles qui ont été ■déduites pour le cei-cle [108).

O'abord, l'équation (2), en tant que l'on considère x', y' comme des variables, n'est autre que celle de Xellipse déjà construite.

En second lieu, pour obtenir la droiie exprimée par l'équation (i), il suffit de chercher les points où elle rencontre les deux axes.

Pour f' -- o, on trouve

On a donc à construire dons troisièmes pi-oportionnelles, et à les porter successivement de 0 en I, et de 0 en H. Tirant ensuite la droite IH, qui va rencontrer la courbe en M, /«, on obtient les points de contact des deux tangentes partant dit point N.

Comme la valeur de x', x' = — est indépendante de l'ordonnée 6 du point donné, il s'ensuit que, pour tout autre point N' pris sur la perpendiculaire NQ abaissée du point N sur OX, la droite m'M'H', qui doit joindre les rfe«j;/^i);/j(i de contact correspondants, passera nécessairement par le même pointi du grand axe que la droite IH.

D'où l'on peut conclure cette propriété remarquable :

Si, des différents points d'une divite perpendiculaire au grand iijx d'une ellipse, on mène des tangente.'^ à cette courbe, et que l'on trace tes droites qui joignent les deux points de contact des tangentes parlant d'un même point, toutes ces droites postent par un MÉJIE L'oint sur le

On donne le nom de pôle au point do concours I, et celui de polaire ù la droite donnée IX'.

Il résulte d'ailleurs de l'inspection de la valeur x' — '—, que, si l'abscisse a de la polaire est plus grande que A, c'est-à-dire si la polaire est extérieure à la Cûurbe, le pôle lui esl iméricur; et i>ice -versa.

TANGENTE PAR IUPPOUT AUX BlAMil'fîlES CONJUGUÉS. 199

N. S. — La relation y' = -^ conduit à la même pivpriété par rapport à l'aie tlesj, pour toute droite menée perpeiuticulairement à cet axa.

Tangente menée pariilliHemeiit à ti»e divUe donnée. 195. Soit

l'équation de la droite donnfe, que rien n'empedie de considérer comme passant par V origine.

La tangente demandée devant être parallèle à cette droite, son coefficient d'inrlinaison est m.

Appelons toujoura j;', /' l^ cooïâoimées inconnues du point de conlacl.

Pour déterminer a', j', on a (186) les deux relations

d'où l'on déduit

' =bv/A'(«'-i-lt=' "^ ~ =^/^Fm''^h' (le double signe montre qu'il y a deux solutions). Substituant ces valeurs dans l'équation simplifiée de la tangente

a obtient, toute réduction faite,

pour les équations des deux tangentes parallèles à la droite donnée.

Les deux valeurs de j- sont iouioms réelles ; ce qui s'accorde avec la discussion établie au n° 192.

De la tangente condilérée par rapport aus: diamètres eonjitgués.

196. Soient MR [fig. io3) une tangente en un point quelconque de l'ellipse, et MM' le diamètre qui passe par le point de contact M, On a trouvé (186), pour le cneffu-ient angulaire do la tangente,

D'un autre côté, puisque le diamètre MJI', dont l'équation peut être

■,r, passe par le point (,!■

Si l'on nralliplic les deux expressions tle a et de n' l'une par raulrc, il

Mais, en désignant par a" la tangente trigonométrique de l'angle que Corme avec l'axe des x le diamètre mm' conjugué du diamètre MM', on a également (179)

Les deux égalités précédentes, comparées entre elles, donni'nl nécessairement

ce qui veut dire que la tangente en un point quelconque de l'ellipse est PAHALLÈLB au conjugué du diamètre qui passe par le point de contact.

Conséquence. — Si par les extrémités M, M', m, m', de deux dia-mètres conjugués, on mène quatre tangentes, ces droites forment un pa- RALLÉLOGHAMMe CIRCONSCRIT à Tellipse, puisque les tangentes menées aux estrémités du diamètre MM', par exemple, sont parallèles au diamètre mm', et réciproquement.

On déduit de là un procédé assez simple pour mener : i° une tangente par un point donné jd;- la courbe; a" deux iaxigauXes parallèlement à une droite donnée de position.

Pour )a PREMIÈRE CONSTRUCTION, déterminez jl83) le diamètre conjugué de celui qui passe par le point dortné ; puis menez par ce point une parallèle au diamètre ainsi déterminé.

Vous obtenez la tangente demandée.

Pour la SECONDE construction, tracez un diamètre parallèle à la droite donnée, puis, le conjugué de celui-ci; et, par les deux extrémités de ce conjugué, menez deux parallèles au premier.

Ces deux parallèles satisfont à la question.

Angles que la tangente forme avec les raj'om vecteurs menés au //oint de contact.

197. Soient R'MR {J!g. io4) la tangente en un point M ou {x\ j'), FM, F'M les rajo/is vecteurs menés à ce point.

TiSGËNTE TAR BAPVOIIT AUS HAÏONS \ECTF.UltS. aoi

Diisignons par a le cocfficienl d'inclinaison de la tangente par rapport a l'axe OX, par a', a" ceux des deux rayons vecteurs FM, K'M par rapport au même axe, et par V, V les angles FMR, F'MR. La figure donnant évidemment

FMTi ou V -=MliX --MFX, F'MR ou V':^ MUX -MF'X, on a (63)

Cela posé, calculons d'abord i'expr^sîon de tangV.

Le rayon vecteur FM devant passer par le point F, on a l'équation

et comme il doit aussi passer parle point [x\ y'), II en résulte la relatioi D'ailleurs on a (18G)

il ne s'agit donc plus que de remplacer (* et «' par ces valcvirs dans tanjrV. On trouve ainsi :

tangV =

__!^j£Zl {A'-R^)i'j'-AV

expression qui, à cause des deux relations

A'/'"-i-Fx'"=Â=B', A'-B'=f' (126)

devient

-A^' B'(c.r'^ A') - A'er' i:y'[cx' — A')'

d'où

(0 tangV-.|^-

Quant à l'expression de tangV, on peut l'obtenir sans recommencer le même calcul.

En effet, comme on a pour le rayon vecteur F'M,

et, par suite,

il csl, évident que, si l'on substiluait cetla valeur de n" dans l'expression posée pour lang V, on obtiendrait un résultat ne différant de celui trouvé pour tangV, que par le changement de signe de c. Par conséquent,

Les deux expressions de tangV, langV, étant égutes et de signes contraires, il s'ensuit que les angles F'MR, FMR snnt s«PPLÉME?(TAinBS. Cette propriété remarquable donne lieu à plusieurs propositions. D'abord, on a, suivant la figure et d'après ce qui vient 'd'être démon-

!<■ F'MH +■ F'MR'-- tSo°, F'MR -h 1^SH\ -- 180",

d'où

F'Mii'--^FME;

a" te rayon vecteur F'M étant prolongi? en K,

F'MH ^ DMK -^ i8o% F'MR -h FMR -■- 180", d'où

RMK FMR.

Ce qiii montre que ta langenie forme avec les deux rayom de part et d'autre du point de contact, des angles égaux,

Ou bien que la tangente divise en deux parties égales l'angle formé par l'un des ra^vns vecteurs et le prolongement de l'autre.

De plus, si l'on mène la normale MS, on a ces autres relations

F'MS + F'MR'=ijo'', FMSh-FMR = 90°;

d'où, à cause de F'MR'^ FMR,

F'MS- -FMS;

c* qui signifie que la normale dinse en deux parties égales l'angle formé par les deux rayons vecteurs.

198. Ces propriétés sont tellement liées entre elles, que, l'une quelconque étant démontrée, les autres s'en déduisent au moyen des principes les plus élémentaires de la Géométrie.

Ainsi, par exemple, on peut prouver directement la dernière propriété^ puis en conclure successivement toutes les autres.

à cet effet, l'équation de la normale (190), savoir :

yGoosle