TANGENTE PAR KAPPORT AUS RATONS VECTEURS
et pour obtenir l'abscisse du point S où cette normale coupe l'as posons >' = o; il en résulte
SF':SF::A^-i-f^':A'--:a''.
D'un autre côté, on a (120) pour les expressions des rayons vccicur.-,- F'M, FM,
F'M.-^A + -^':='^'"^'''''', et FM = ^-J^; d'où
F'M:FM::A' + cj.-':A'-fx'.
Comparant entre elles les deux proportions, on en déduit la suivante;
SF':SF::F'M:FM, qui prouVe, d'après un théorème connu de Géométrie, que la mmiiale MS est BISSECTRICE de l'angle FMF'.
Partant de là et remarquant que l'on a
F'MR'+ F'MS = 90", SMF + FHR =- 90", on parvient à l'égalité précédemment établie, F'MR'= FMU; et ainsi des autres relations.
199. La propriété de la taiigcnle considérée par rapjTort aux rayons vecteurs fournit un moyen très-simple de mener une tangente à l'ellipse : 1" par un point pris Jitr la courbe; a" par un point pris Aowi'/e la courbe, les deux foyers étant supposés donnés ou déjà déterminés.
Premièrement, soit M un point pris sur lu courbe.
Tirez les rayons vecteurs FM, F'M, et prolongez celui-ci indéfiniment, en K; prenez sur ce prolongement, MGr = MF, et joignez le point F au point G; puis, abaissez du point M la droite MIR perpendicitlaire sur FG.
Vous obtenez ainsi la tangente demandée.
Car le triangle MFG étant isoscèle par construction, il s'ensuit que la droite MIR divise l'angle au sommet, M, en deux pnriivs égales; propriété caractéristique do la tangente à l'ellipse (').
( * ) On 1 eut démoiilver à priori, et sans t>e fonder sur celle pi'opriélfi, que
ao4 t>E i.'iiLLii'si;.
SECON»ËMEîTr, soit N un point pris /mi-i rie rdlipse. Pour déterminer te point de coniact M, i! suffirait de fiser la posishu lie la droite F'K.
Or, sur cette droite se trouve, «n point G qui jouit de la propriété'' d'Stre distant : i" du point F' d'une longueur cmimte, aA; t° du point N d'une longueur également connue, NF ( puisque la tangente NMR est perpendiculaire sur le milieu de FG) ; d'où résulte la construction suivante : Décrivez des points F', N, comme cc/Hres, avec des rayons respectivement égaux à a A et àNF, deiix arcs de cercle qui se coupent au point G ; tirezT'G qiii rencontre la courbe en M; puis /nig'Hez le point N au point M. La droite NM est la tangente demandée.
Comme, d'ailleurs, les deux arcs ont, généralement, un .\r.cond point d'intersection, G', il s'ensuit que, si l'on tire F'G' et que Von joigne ]<• point N au point M' où la droite F'G' rencontre la courbe, on obtiendra ia SECONDE TANGENTE qui peut être menée par le point N.
On doit remarquer ici que, tant que !e point N sera extérieur à !'el-
lipse, la construction donnera toujours lieu à deux solutions; ou, eu
d'autres termes, que les circonCérencea décrites des points F' et N, comme
centres, se couperont.
Or cela peut ss prouver de deux manières : soit en faisant voir quo
a droite Mil (/g-, lo',) qni dinse en deux partie, enfles VanB'e f'>'K. lotir.i par le ra^on vecteur FM et le prolongement MK do l'autre, oBt tangente a Tel-
Il suffit, pour cela, do fuîre voir que tout point N de cetle droite, autre que W,
lis, tirant les droites MF',
rK-l-KG>FG;
mais comme le tciao(;le MFG est isoscèU pav construction, la droite MMK e; perpendiculaire sur FG et passe par son milieu. I; donc elle a tous sospoini également distants de F et de G ; par siiifa, KG = NF. D'un autre cflté, on a
F' G = F' M 4- MG — F' M H- MF -.-iK;
ainsi, riiicgalilé précédente devient
F'K-4-lVF>^A;
ce qui prouve que le point îj est un point extérieur.
Cette dùmonstration sjrnthétiqae est, comme Von voit, nniquement fond' sur la déjinitian géoniétrique de l'ellipse, et sur les earaetéres des points pi (UT la coaibe ou hors de la courbe.
TANGENTE PAR «APPORT AUX RAÏOKS VECTEURS. no5
ia distance des centres est moimlrc ijiw la somme des rayons, et pliix grande i/iie leur différence, soit en établissant que l'une des circonférences décrites a deux points, l'un intérieur, l'autre extérieur à la seconde.
Démontrons, par exemple, en appliquant ce dernier moyen, que circ.NF a deux points, l'un i/iiéricur, l'autre extérieur à cire. sA.
En premier lieu, on a évidemment F'F < aA; d'où il résulte que le point F de cire. NF est intérieur à cire. aA.
En second lieu, soit prolongé F'N d'une longueur NF" ég/ile à NF; comme, par hypothèse, le point N est extérieur à l'ellipse, on a NF'-4-NF> a A, et par suite, NF'h-NF" ou F'F''> aA; d'où il suit que le point F" de cire. NF est extérieur à cire. aA.
Donc, etc.
Il est encore \ observer que les constructions précédentes sont, comme la démonstration .fjntMtique que nous avons donnée, uniquement fondées sur hd^ifiniiion de l'ellipse et sur les caractères qui (112) distinguent les points pris sur la courbe ou hors de la courbe.
200. Remarque sur les dénomiimlions de foïERS et de n.YïoriS vec- TBOBs. — On peut, eu se fondant sur la toi connue en Physique, de Ycgaliié des angles A'iaridence et de réflexion pour des rayons de chaterir ou de lumière, émanant d'un point déterminé, rendre raison des dénominations A^ foyers et de rayons vecteurs, données aux points F, F', et aux lignes FM, FM.
Concevons, en effet, qu'à l'un àe& foyers F {fig. 'o5) d'une ellipse (considérée comme le double de la génératrice d'une surface de révolution formée par la rotation de AM'MB autour de AB), soit placé un corps chaud ou lumineux dont émanent des rayons de chaleur ou de lumière, se dirigeant sur les points M, M' de l'ellipse, ou de la surface dont la demi-courbe est la génératrice. Les rayons FM, FM', formant avec les tangentes à la oourbe, menées par ces points, des angles d'incidence FMT, FM'T', doivent, en vertu du principe de Physique, se réfléchir suivant des droites faisant, avec ces mêmes tangentes, des angles de réflexion respectivement égaux aux premiers.
Ces droites ne peuvent donc être que MF', M'F', qui font, avec les tangentes, les angles F'M/, F'M'i', égaux aux angles FMT, FMT'; d'où il suit que, si l'on place un charbon ardent au point F, et un corps inflammable au point F', les rayons partis du premier point iront tous sensiblement se concentrer sur ce corps, qui s'enllammera comme si un fiiyer de chaleur était placé en ce point F' .
Même phénomène se produirait au point F par rapport au point F' où se trouverail placé le corps chaud.
Conséqiicncex des propriétés de la tangente considérée par rapport aire raynns vecteiiri.
§01. Premiéhë coNSÉQUEî^ce, — Si l'on se reporte à la construction du n" 199, qui a pour objet de fixer la position de la imigente en un point quelconque, M [Jîg. io4), de l'ellipse, on reconnaît que la droite FG est divisée en deux parties égales au point I , et que ce point peut être considérée comme le pied de ta perpei>dicidair<; abaissée île l'un des foyers, F, sur la tangealeMR.
Or, en joignant le point I au centre 0 (le la courbe, on forme un triangle FOI qui, à cause de FI = IG, et de FO = OF', est semblable m triangle FF'G ; et l'on a la proportion
