xsina-i-7S
in^',
qui (119) servent à passer d'un système oblique de même origine.
Il vient, par cette substitution,
; rectangulaire
(A'sin'a' s- B' cos'h'] j= + [A' sin'a -i- B' cos'a):t'.
-i- ^(.A'sinKsinK'-H- B'cosacosx') icj = A'B'.
Mais, d'après l'énoncâ, l'équation ne doit renfermer que les carrés des variables et ia quantité toute connue; il faut donc que le coefficient de cry soit égal à zéro ; ce qui donne
(i) .Vsin«sin«'-i-B'cosacos:<'=o;
et l'équation de la courbe se réduit à
(2) [A'sin'a'-i- B'cos'a')j'-h(,i.'Bin=«-i-B'c<)s'K)j^= =;. A-B".
Si l'un divise l'équation {1) par cosk cosi', elle devient
A' tanga tangK' + B' = o:
d'où
tanga tang:'.'= — — ■
seule équation [lour détermiin
PROr. DE LA couHDE happobtée a des diamètres conjugués, aof) angles k, «', il s'ensuit que /e nombre des systèmes de diamètres conjugués est infini.
Cette relation est d'ailleurs identique avec celle du n" 179: et las conséquences qui en ont été déduites se reproduisent également ici.
Soit tait successivement, dans l'équation (i],
il eu résulte
~ A"8in'a-+-B'cos'a' -^ '~ A'sinV-i- B'cos^a''
Ces expressions représentent les carrés des distances OM, Om {/'g. io3), ou des demi-diamètres con)ugués. Donc, en désignant par 2A', aB', les longueurs totales MM', mm', on a les relations
A'sin'ï-i-D'cos'x = -jj^, A'sin'M'-i-lt'cos'a'= -jj;^'
Substituant ces valeurs dans l'équalion (2), on obtient
pour l'Équation de l'ellipse rapportée h un système quelconque de <: mètres eonjugiiés.
Comme pour ic — ±iA', cotte équation donno
et que do même, cour .1 - - ± B', on a
on doit conclure que les droites menées par les points M, M', m, m', parallèlement aux deux diamètres, sont tangentes à la courbe, propriété qui a déji été roconnuo (196).
20s Les expressions de A'° et B" peuvent, à l'aide de formules trigonometnques connues, recevoir une forme qui permet d'établir les relations e'îitptanles entre deux diamètres conjugués queleonques et les (wrc.i piinapaiix
Il suffit, pour cela, d'y remplacer sin'a, cos'a, sin'a' et cos'a' par leur* valeurs en fonction de lang'a et tangua',
Ap.Jel'Âl. à la G. l4
2tO IiE I, ELLIPSE.
On trouve, par cette substitiiUon.
A'B^ln- taniî'K)
A'BMi + t.
,ng>
A^ tang'K + B'
^ - AUang'a'
Èquations qui,
réanies à l'équation de condition
tangK tang
run ferment les
W^ quantités A, B, A',
B',largH, tanga,i
en s.
n sorte que, si l'on élimine entre c«s équations les quantités tanga, tanga', on doit nécessairement parvenir à une certaine relation entre les quati-^ quantités A, B, A', B'.
Or, des deux premières équations, on déduit
tang'i
tang'
"-ÂMA-
autre côté, la irotsième équation donne
1 donc la relation
mg=^ tang=^ -B'Uli''-
Oni
ou, chassant ie dénominateur et développant les calcula, A' - A' A" - A=B"+ A'=B" = A"B"- B'B" - \ Réduisant et transposant, il vient
■d'où l'on tire, f
!n divisant par
■B" = A--i-BS
ou
ce qui prouve que la somm.
qu.elconqii.es est égale à la so,
3 de,
des a
e,v de deux iliami irrés des a-ces.
206. Cette propriété peut aussi se démontrer à l'aide de la ([uestion inverse de celle du a° 20i, et ayant pour objet ;
L'équation d'une ellipse rapportée à un système de diamètres conjugués étant donnée, trouver l'équation de la courbe rapportée aa système de ses axes principaux:.
l'ROP. DE LA COURBE HAPPOnTÈE A DES IIUMÈTEES CONJUGUÉS. 311
Pour résoudre cette question, nous ferons usage des forravdes
qui servent (117) à passer d'un système oblique à un systènio rectangulaire de même origine.
Substituant ces valeurs dans l'équation de la conrbo
el chassanl le dénominateuf, on obtient la transformée
fA'-cosV + B-cosUO-^)!/'
+ [aA^araaooaa — T.'BT sin(e «) cos(e - - «)] .xy
-t-[A'"sin=a4-B"sin'Ç0-a)3j;" = A"B'=sii)'9.
Comme le nouveau système d'axes doit jouir de la propriété caractéristique (178) des diamètres conjugués, il faut que le terme en ay disparaisse; œ qui exige que l'on ait
■;0 A"sinîC0Sa-B"sin(5— û)cos{Û-. *) ---r o,
et alors réqiiation de la courbe se réduit à
'** I -^-[A''sin'«-i- B''sin'[e- /)] c" --A"B"sin'S.
11 résulte d'ailleurs, de la nature de la tran^iformation , que le système itr-titel de diamètres conjugués est un système BECTANcrLAiiiË ; donc ce système est celui ies aj.es principaux, puisque Ion a reconnu (180) que c'est le seul système de diamètres conjugués perpendiculaires entre eux.
Ainsi, l'on doit regarder 1 équation (a) comme celle de l'ellipse roppnrtée à son centre et à ses axes.
Cependant, pour que l'on puisse la comparer à l'équation
AVM-B'j:-' = A'B=, il est nécessaire que lo second membre soit lo produit iVs lOiflinenl^
Or, pour la ramener à cet état, on sait (133) quil suffit de multiplier
les doux membres par un facteur K égal à jj^ , M, N, désignant les cocf-
ficienlsdej', :c', et P la quantité toute connue qui e^t dins k second membre.
312 DK L'ELLIPSE.
Calculons donc celte valeur do K relative à l'équalion (a ) ; on a
A"B"sin'6
^ - [F'" "ci^â^^ff" cos' (&-«)] [A" sin=« -H B" sin^S - « )] '
ElYectuant les calculs indiqués au dénominateur, et observant que l'éqiiiition de condition (i), étant élevée au carré, donne
A" sin'acos'a + B" sinHB — a)cos=(e - =<) = aA"B''sinacosasm(0 — «)cos(S-aj,
DU reconnaît que ce dénominateur prend la forme
A"B"[sin«cos(e — a] -t-sin(S — ajcosï]',
ou bien enfin
A'"!i"sin'(«4-S — a;--=. A"B"sin'0.
Ainsi la valeur de K devient
ce qui prouve que l'équation (2) n'a besoin d'aucune préiiaraUon pour être comparé* à l'équalion
Oii a donc immédiatement les relations suivantes ;
\"cos'a + B''cos^(fl — h) = A',
A"sin'K + B" sin'(fl - a) = B%
A"B'=sin'e = A'B'.
Lee deux premières relations, ajoutées entre elles, donnent
A" + B" = A'-hB^;
ce qui démontre ia propriété énoncée.
Quant à la troisième relalion, on en tire
A'B'sin^ ^ AB,
ou, en remarquant que 9 ou l'angle des deux diamètres conjugués est égal
A'Fsin(a'-a) = AB;
rnop. iiE Li nouRBE !iappoi\têe a des dumèthes cokiiîgdés. at3 d'où
4A'B'siiila'— a) = 4AB,
expression qu'on peut traduire, en Gcométrie, de la manière suivante :
Soient MM' = îÀ.',nim' — aB' deux diumèti-ts conjugués parles cslréraités desquels on a mené des tangentes, qui, comme on l'a vu au n" 196, déterminent un parallélogramme ITit'.
Si du point m on abaisse une perpendiculaire ml sur MM', on a évidemment
t'T -.-.Dm: -- a.V,
ml ~- mni smmm'l= 2B'sin(a' — a); d'où
5ui-f.TT'i('= 4A'B'sin(î!'~a):=^ 4AB,
œ qui prouve que le parallélogramme TT'/î' esl équivalent an rectangle lies axes principaux.
On voit ainsi que l'analyse précédente conduit, non -seulement à la propriété du n° 205, mais encore à cette autre, non moins importante :
Toux les parallélogrammes circonscrits à l 'ellipse et dont les côtés sont respectivement pai'allèles à eleux diamètres conjugués, ont une surface constante et égale au rectangle construit sur les axes.
307. Reh\r(jiie, — Celte surface constante jouit de la propriété d'être un minimum parmi celles des différents parallélogrammes que l'on peut, on général, circonscrire à une ellipse donnée.
En effet, considérons par exemple un parallélogramme OVV'D', dont deux côtés soient les tangentes menées par les estrémités du diamètre mm', et les deux autres côtés soient les tangentes menées par les extrémités d'un diamètre un' non corauGtÉ de mm'.
On a, pour l'expression de la smfare de ce parallélogramme,
U'V'x ml^ U'V'X aB'sinK-a);
i^rU'V, parallèle à MM', est évidemment /j^ks g-ra»;/ que ce diamèlreMM' ou ■zX'. puisque tous les points des lignes Ut)', VV, autres que /', n', sont extérieurs à l'cUipso.
Donc on a
surf.UVD'-V'>2A'x2B'sin(«'-a) ou >surf.TT'«'.
208. SïsTÎisiE DE DiAMBTnEs CONJUGUÉS ÉGAUX. — Parmi les systèmes en nombre infini do diamètres conjugués d'une ellipse, il y en a un, dijfé-eiit du système des axes principaux, qui mérite une attention par-
2(4 PK l'ellipse,
ticulière; c'est colui des deux àisiaiilres paroUéles aux doux cordes menées d'une des extrémités du petit aœe aux deus eslrémités du grand
les cordes AG, BC {Jïg- loo) étant également incUnées sur ce grand axe AB, il en est de même des diamètres 11', LL', qui leur sont parallèles, en sort* que les angles lOB, LOA sont égaux.
n résulte de cette égalité des angles et de la symétrie de la courbe par rapport à ses axes principaux que ces deux diamètres sont égmiœ; c'esl- L-dire que l'on a
et l'équation do l'ellipse rapportée à ce système pnrticulisr à'axesohli'/Ms se réduit à
équation identique avec celle du cercle rapporté à son centre comme origine et à des axes rectangulaires.
Comme d'ailleurs les angles que deux diamètres cmijugués do tout autri; système forment avec le grand axe AB, des deux côtés de CD, sont évidemment inégaux, et que, par suite, ces diamètres sont aussi inégaux, il en résulte que l'équation précédente ne convient absolument qu'n ca seul système d'a.xes.
Donc, en général, toute équation leilo qiiy
quand les axes sont obliques, est celle d'une ellipse rapportée h un système de DIAMÈTRES CONJUGUÉS ÉGWK.
209. Jutres piopnétés de l'ellipse rapportée à un système de diamètres conjugués. — Toutes les propriétés de l'ellipse qui ont été démontrées, indépendamment de l'inclinaison des aj:es, sont également vraies, quand on suppose la courbe rapportée à un système de diamètres conjugués.
Ainsi premièrement, son équation, dans ce cas, étant
A'=j-'-hB'=.ï' = A"B" ou AV-i-H"'^'- A"B"^a, on a
AV-(-B",r=-A'=B'>>o,
pour caractériser les points extérieurs, ot
pour caractériser les points ii
TANG. A LA r.OUUBE liJiri'ORTfiE A DES DlAîltTRES CONJUGUÉS, 2l5
Secondement, l'équation de la courbe pouvant Être mise sous la forme
ou, en langage géométrique,
Al' .< l'ii A"' on en conclut que :
Le earré d'une ordonnée parallèle à l'un des diamètres conjugués est au rectangle des distances des extrémités de l'autre diamètre au pied de l'ordonnée dans un rapport constant.]
210. Cette dernière propriété, qui correspond à celle du n° 173, montre que la liaison qui existe ea\x^\' ordonnée ^{,\ abscisse d'un point quelconque de l'ellipse est la même, quel que soit le système de diamètre;, conjuguer auquel la courbe est rapportée.
D'oJi l'on déduit le moyen suivant de conï(«<i/-.?B/ieei;i/5j'e, cnnnaii^ant an système de diamètres conjugués en grandeur et en direction
Soient OB, OC les demi-diamètres donnés.
Par le point 0 tracez OC' perpendiculaire à OB et égal à OC, puis, sur les deux lignes OB, OC considérées comme les demi-axes prindpaus d'une elîipse, décrit-ez, par l'un des moyens connus, la courbe AC'BD'A; êlefez aux points P, P', ... des ordonnées PN, P'N',... à cette courbe^ et menez les lignes PM, P'M',... parallèles à OC, et respectivement égales à PN, P'N', ....
Les points M, M', . . . appartiendront à In courbe cherchée, qui sera représentée par ACBDA.
Car da la disposition prise pour les axes des coordonnées et de la propriété précédente, il résulte évidemment que, pour les mêmes nbscisscs, les ordonnées des deux courbes doivent être égales.
De la tangente à l'ellipse rapportée à an système de diamètres conjugués.
211. Tangente menée par dm point pbis sur la coubbe et sous-tangente. — On reconnaît facilement que les méthodes établies précédemment pour obtenir l'équation delà tangente h. une courbe {Jîg. 107) sont tout à ^t indépendantes de l'inclinaison des axes.
Ainsi, l'équation de la courbe étant
A'V'+B"aT' = A''B'=, on a, pour l'équation de la tangente au point M, ou (■v', j'),
2lG GK l'ei.lipse.
et, pour l'cj^prtssion de ta soiis-twigcnlc,
Quant à l'équation de ta normale et à l'ej^pression de la sous-normale, comme on aurait à faire entrer en considération la condition de perpendiculariiê dans l'hypothèse d'axes obliques, on arriverait à des résultais compliqués, tous différents de ceux qui correspondent aux axes prim:ipaux; nous ne nous y arrêterons pas,
212. Tanggote menée pak un point extèhievr. — Si l'on propose de mener une tangente par un point donné hors de la courbe, on est conduit à l'une dea propriétés les plus remarquahlos de l'ellipse, dont celle du 11° Vèi n'est qu'un cas parlicolier.
Soit, on effet, une droite LL' menée à volonté dans le pian d'une ellipse ; et concevons que par chacun des points H, H',, .. de cette droite on ail mené deuj: tangentes à la courbe.
Supposons, d'ailleurs, l'ellipse rapportée à un système de diamètres conjugués OX, OY, dont l'un, celui des j, soit parallèle à la droite LL', ce qui est toujours possible.
Désignons, en outre, par a, ê les coordonnées du point H par exemple, x', y' exprimant les coordonnées inconnues du point de contact; et raisonnons comme au n" 19i.
Pour déterminer x', y\ et obtenir, par suite, la valeur du coejpdcnt
d'inclinaison, — jrri dans l'équation de la tangente, on a les deux relations
(i) A'=Sj'+B"aa-'.^ A"B'%
Cela posé, au lieu de cliercher ^\ y' par l'élimination, on peut construire les lieux géométriques de ces deux équations.
Or l'équation (a) n'est autre chose que celle Ae l'ellipse déjà construite, en tant que x', y' sont des variables.
Quant à i'équation (i) qui représente une li^ne droite, il faut, pour obtenir les points d'intersection de cette droite avec les axes, poser successivement j'= o, x' = o; et il vient pour
TANli. d LA COUBBE RAPPORTÉE A DES DIAMÈTRES COSJliGUÉS. 217
et ces troisièmes propoiiinimeUes étant porf^ea, l'une de 0 en P sur OX, l'autre de 0 en G sur OY, si l'on tire la droite PG et qw'on la prolonge, de côté et d'autre, jusqu'à sa rencontre avec l'ellipse, aux points M, m, on aura les deux points cle contact des tangentes menées du point H.
Remarquons maintenant que l'abscisse — du point où cette droite rencontra l'axe des x est indépendante de l'ordonnée @ de ce point, d'où il suit que, si l'on considère un second point H', ayant pour coordonnées H, ê', la d!-ùite de jonction Wm' des deux points de contart doit passer par fe même point P de l'axe OX.
Comme un raisonnement analogue pourrait s'appliquer à un tout autre point pris sur LL', on est en droit de conclure que :
Une droite étant tracée arbitrairement dans le plan d'une ellipse, si de chaeun de ses points on mène deuœ tangentes à la courbe, et que l'on Joigne les deiuc points de contact par une droite, ces droites de jonction {qu'on nomme ordinairement ugnes de contact) doivent toutes panser par un MÊME POINT; lequel se trouve placé sur le diamèlrc conjugué de celui qui est parallèle à la droite donnée.
Le point de concours P est dit le pôle de la droite LL', qui reçoit, par contre, la dénomination de POLAIRE,
La propriété du n° 19i n'est, comme nous l'avons déjà dit, qu'un cas particulier de celle-ci ; car on avait supposé pour la précédente que la droite tracée sur le plan était perpencUculaire, soit au premier, soit au second axe principal de la courbe.
iV. B. — Tant que la droite donnée est extérieure à la courbe, auquel cas l'abscisse a de la droite LL' est plus grande que A', celle du point P, ou — 1 est moindre que A', et ie point de concours des lignes de contact
e aurait lieu si la droite donnée rencontrait la courbe, et, dans ce cas, il est à remarquer qu'on ne peut mener des tangentes que par les points cMérieurs de la droite.
213. La réciproque de la proposition précédente est également vraie,
Si d'un point quelconque pris dans le plan d'une ellipse j soit inlérien- 'emenl, soit extérieurement à la courbe, on mène des cordes ou sécantes sn nombre quelconque, et qu'aux deux points ou chacune d'elles rea- •:ontre la courbe, on mène des tansentes, les points d'intersection de
c/iaque couple de tangentes sont tous placés sur une mjïme droite, extérieure à la eoarbe si le point est intéiieur, et "oiee versa.
Le point et la droite conservent la dénomination de pôle et de polaire. Voici comment on peut démontrer cette réciproque, sans aucun calcul : Concevez la courbe rapportée à un système de diamètres conjugues, dont l'un, celui sur lequel se comptent les abscisses, soit la àToitejoignant le centre au point donné; puis, menez par les deux points d'intersection avec l'ellipse, de l'une des droites passant par le point donné, ifeac tangentes qui se rencontrent en un point; menez également par les points d'intersection d'une seconde corde ou sécante, avec la courbe, deux autres tangentes qai se rencontrent en un point; et joignez ces deux points
Il est clair, d'après la proposition directe, que si, de tous les autres points de cette ligne ûdjonetion, on mène des tangentes à l'ellipse, toutes les lignes de contact correspondantes se réuniront en un même point qui ne pourra être autre que le point donné
Donc, etc.
Prob/i-me.
2ià. Comme application de quelques-unes des propriétés que nous venons d'exposer, nous allons résoudre le problème suivant ; Une ellipse étant tracée sur un plan,
1° Déterminer son centre et ses axes principaux ; a° Trouver an syscème de diamètres conjugués faisant entre ciit un angle donné.
Solution, — On suppose tracée l'ellipse LHL'H' (fg. 108).
r Tirez deus cordes parallèles, mm', nn' , %l joignez les milieux do ces cordes par une droite HH'; cette droite sera (177) un diamètre de la courbe; et le milieu. 0 de ce diamètre sera le centre chercha.
Ce point étant trouvé, menez un diamètre quelconque LL' (on pourrait aussi se servir du diamètre HH', déjà déterminé) ; puis, décrivez sur ce diamètre une demi-circonférence qui rencontre la courbe en un point K. Tirez les cordes supplémentaires LK, L'K, et tracez les diamètres AOB, COD, l'espectivement/wrn/ié/sf à ces cordes.
Vous obtiendrez ainsi les deux axes principaux.
Car ces diamètres sont nécessairement (183) conjugués; de plus ils sont perpendiculaires entre eux, puisqu'ils sont parallèles à des cordes formant entre elles un angle droit comme inscrit dans une domi-circonférence.
