On déduit également, de l'équation de !a courbe
que les aves principaux forment un système de diamètres conjugués.
La relation tangatanga'--- p montre, d'ailleurs, que ce système de
diamètres conjugués perpendiculaires est le seul rectangulaire que puisse avoir l'hyperbole, de quelque nature qu'ollo soit, pulsqu'en aucun cas on ne saurait avoir
On remarquera seulement que si l'on a B = A, auquel cas I hyperbole est équilatère, les angles que font entre eus deux diamètres conjugués i/uelconques, satisfaisant à la condition
sont complémentaires l'un de l'autre.
223. Nous savons déjà que, dans l'hyperbole, les diamètres ne rencontrent pas tous ta courbe; ce qui les a fait distinguer en deux sortes, savoir ; diamètres transoerses et diamètres non transverses.
Nous avons vu, d'ailleurs (138, j%. 80), que si l'on forme sur les axes lA, aB le rectangle RH'SS', et que l'on tire les diagonales RS', SR', ces droites prolongées indéfiniment forment, pour les droites passant par le centre, deux lignes de séparation placées entre celles qui sont susceptibles de rencontrer la courbe et celles qui ne peui'ent ta rencontrer.
Pour construire ces lignes sur la Qgure actuelle, il suffit û'élever au point B une perpendiculaire indéfinie, et de porter sur cette perpendiculaire deux distances BR, BS, égales au âemi-second axe B, puis de tirer les droites OR, OS, en les prolongeant indéfiniment; ce qui donne les droites HH', H'.
Cela posé, remarquons que, d'après la relation
tangatatig«'--: -jï
324 i"5 l'hyperbole.
qui existe entre ics directions de deux diamètres conjugués, si l'on supposa
ce qui donne un diamètre tninst'cne., on a nÉcessairempit tang:.'> ^-
Donc !e conjugué du premier diamètre est non transecrsc.
On voit, deçlus, que l'angle a augmentant de manière à rester moindrr DUE HOX, l'angle «' diminue en restant toujours plus obanb que HOX.
Ces deux dîanictres se rapprochent ainsi de plus en plus de HH', jusqu'à ce qu'enfm on ait
a = HOX,
d'où il rÈsuIlD nécessairement
s/ = IIOX ;
auquel cas les deux diamètres viennent à se confondre en un seul et avec la droite HIl'.
N. B. ~ Nous ajouterons à ce qui vient d'être dit que \e pi Lima aie •lA est le plus petit de tous les diamètres transvenes, ce qu on reconnaet on observant que la distance OU est la plus murtt lignt que 1 on puisse mener du centre à la tangente RBS, et, à fortiori, a un pomt quoLonque de la courbe.
224. CoRBES SUPPLÉM ENTAI n ES. — On cloune ce, nom a deux di ne , telles que AM et BM ou AM' et BM' [fig. 1 1 ij, qui, pariant du sommet:. A. et h du preiT'er axe, se rencontrent sur la couibe, plus généralement, à dciix droites i, '^nées des extrémités d'un diamètre TnAA«\ERSE a un }X)int de la courbe.
En reprenant, pour l'hyperbole, les mêmes calculs que pour 1 ellipse (uo//-]esn">181, 182], on démontrerait ;
i" Que les angles MBX, MAX sont liés entre eux par la relation
", n' exprimant les tangentes trigonométriques do ces angles ;
2° Que cette môme relation existe entre les angles que forment avec 1( premier ase deux cordes supplémentaires partant des extrémités d'ui diamètre transverse iiuekoiuitw .
TAKGliNTE ET NORMALE.
Elle devient iiullr, lorsque l'on suppose j; ' = A , ou le poini 'le a
228. Équation de la normale et expression de la sous-normale. Or a, d'après l'équation (i) de la tangente, pour celle de la norinalf..
Gl en y fiisant r = o on trovivo
laleur toujours / ( tant i e l'abscisso x' du point de contact eS elle n Am / o ( e
n obtient pour Vexpri
ou la mmtié du p
Cettfl valeur est le minimum de celles que puisse avoir la sous-mor- UALE dans \'hypei-bole, tandis que pour Vdlipse (191 ), la même expression était u
(140), c'est-à-dire \ ordonnée qui pane. p<h
229. Discutons, comme nous l'avons tait pour l'ellipse, le coefficient ANorniRE de la tangente,
__Wx' " - k'y- ■ Remarquons d'abord que, dans V hyperbole, x' f.iy' nirgmentnnt et diminuant en même temps, il est impossible de suivre la marche de la valeur de a, considérée dans son expression artuelle, et qu'ainsi il est nécessaire d'éliminer l'une des variables, j' par exemple, à l'aide de b relation
AV"— B'a:"=^A'B'.
On trouve
d'où, substituant dans l'expression do />, et réduisant,
228 Di; I. iiïPËUBOLE.
Cela posé, ne considérons, pour )o moment, que le signe supérieur, et faisons crnttre x' depuis a jusqu'à + « . Pour x' = A, H vient
ce qui démontre qu'au point B la tangente est i>ELU'E>DiLinmL au /■;
A partir de ce point, x' nugmcntant, —7^ diimiuur, et le railiMl augmente en se rapprochant de l'unité, jusqu'à ce qu'enfin on suppose ^'= m , auquel cas la première vaîeur de a, actuellement considérée, devient
Si, maintenant, on cherche à quoi se réduit l'abscisse du pomt ou la tangente qui correspond à la valeur positive de a renrontre 1 jso des c, et qu'à cet effet on fasse y ~a dans l'équation ( i] du n" 226, on obtient
valeur qui devient mdlc pour œ' = so .
D'où l'on voit que la tangente se confond alors avec la droite 11011' qui 3 pour équation
Quant à la valour nègatii'e do ii, elle devient, pour 3,
et l'on reconnaît que la tangente se confond avec la droite 101' rcpr('.sentée par l'équation
Ainsi, les droites HH', H', qui, comme nous l'avons déjà vu au n" 223, sont les LIMITES de séparation des diamètres transverses d'avec les diamètres non triinsi'erscs, peuvent encore Être considérées comme les limites D
. En continuant la discussion de l'expression
CORDES SOFPI.ÉaENTAIRES. 225
[Pour l'hyperbole ét/uitatére, le rapport constant -v-j se réduisant à i,
il s'ensuit que les cordes supplémentaires forment avec le premier axe des angles compléments l'un de l'autre.]
D'un autre côté, on a, pour tout système de diamèti-es coi,jugucs, la relation
ianga tangK'= -^j-
Donc, si l'on snppose
tanga = n,
c'est-à-dire l'un des diamètres pamllèlo à Yune des cordes, il en résulte
tanga' = «',
ou l'autre diamètre parallèle à la seconde corde.
De là se déduit, comme pour l'ellipse, un moyen d'obtenir le diamètre CONJUGUÉ d'un diamètre donné.
Soit NK ie diamètre donné : tirez la corde AM pamltèle à NK, et joignez, le point M au point B, puis tracez K'N' parallèle à BM.
Vous obtenez ainsi le diamètï
225, Angi.ë de deux cohdes suppLÉMEnTAmES. — Le calcul du n" iSi, appliqué à l'hyperbole, donnerait
tanyAMB=j^,^^g^-,;
or ce résultat démontre que l'angle AMB ou AM'B, de deux cordes supplémentaires, correspondant à une valeur positive de y', est toujours aigu, et que j' croissant depuis zéro jusqu'à l'infini, cet angle décrott depuis 90 degrés jusqu'à o.
La relation aa' = -r-^', qui existe entre les directions de deux ronks supplémentaires par rapport au premier axe, conduit au même résultat.
En effet, le produit des deux tangentes a, a' étant positif, ces tangentes sont nécessairement de me'me signe; par suite, les angles correspondants MAX, MBX, ou M'AX, M'BX sont tous les deux aigus ou tous les deux obtus; donc leur différence AMB ou AM'B est un A?iGLB aigu.
Comme, d'ailleurs, pour <i = ^ , on a aussi a' = -ri il s'ensuit que les cordes supplémentaires qui correspondent à un point de la courbe situé à ['infini deviennent parallèles ou font un angle nul.
Elles sont parallèles, soit à la droite OH, soit à la droite 01, suivant la branche de courtie que l'on considère.
Jp. de VAL à la G. l5
226 DE l'iiïterbolë.
L'hyperbole étant f//j;e/Wj«e par rapport à su'a premier axe, les mêmes conséquences que ci-dessus ont évidemment lieu pour les parties inférieures des deux branches, c'est-à-dire pour ie cas de j' négatif.
Enfin, si l'on se reporte à !a relation qui lie deux diamètres conjugués et deux cordes supplémentaires, on peut conclure de ce qui vient d'Être dit, que l'angle de deux diamètres conjugues d'une hyperbole n'est pas, comme dans l'ellipse, compris entre certaines limites.
g II, — De la TA[VGENrE A l'hypemiole ex de ses pnoenrtTi'-.s
Ta/t^
'.ente menée parim i:
L'équation
de l'hyperbole étant
on trouverait pour courbe (vojvzleti
l'équation de la tangi
pour VA
1 que l'on y ,
joignft la relation
n point {■>:', y'] de cette
qui exprime que le point («', /') se trouve sur la courbe.
L'équation (i) peut se simpliQer au moyen de la rcktion précédente, et devient
résultat qui ne diffère de l'équation de l'hyperhole qu'en ce que les rectangles yy' , xx' remplacent les carrés y', ■v'.
227. Expression de la sous-tangente. — Si dans l'équation (i) non simplifiée (fig. iia], on posej = o, il en résulte
^-^ on Pa--^45 = *-^-
Cette valeur est essontiollemcnt négative pour toute valeur positice de x', puisque l'on a
et cela doit être, d'après la position qu'occupe nécessairement par rapport au point P, le point R où la tangente rencontre l'axe des x.
TANGENTE PAR RArrORI AUX RAYONS TECIEliBf
d'ailleurs on a (22(i)
il ne s'agit donc phis que do substituer ces valeurs dans l'expression {le tangV.
On trouve ainsi
a-'-c A"j-' n vertu des relations
'■J ('■■«— A-) m rùdiiisant,
tangV = —, Mmmc pour l'ellipse.
Pour obtenir tangV, remarquons que l'on a
et comme, pour passer de a' à ii", il suffit do changer l'expression de a', on a
donc, à cause du signe — qui est en avant dans l'expression de taogV,
tan8V'=— ,cy
(Oa voit qu'il y a un double changement de signe, ce qui n'a pas lieu pour l'ellipse.)
Les valeurs obtenues pour tangV, tangV étant ideniiijues, on en conclut que, liais l'hyperbole, la tangente difise en pbus pauties égalks l'angle des deiw rayons vecteurs.
(Il n'y a rien de particulier à dire sur la normale.)
234. Do la propriété qui vient d'être démontrée résulte un moyen de mener une tangente : i" par un point pris sur la courbe ; a" par un point pris hors de la courbe.
232 ns l'biferbole.
pREMlfcnËMENT. — Soit M le point donné.
TiYicez les rayons vecteurs F'M et FM; prenez sur SIF' utio \ov.' gueur MG ejç-o/c à MF; puis WmYd tl abaissczln droifoMIR perpeiidiadaire sur F&,
Vous obtenez ainsi la tangente demiUiidéb.
Car de ce que le triangle MGF est hoscèle par construction, on déduit que la perpendiculaire MIS divise l'angle FMG ou FMF' en deux parties égales; propriété caractéristique de !a tangente à l'fyperbole ('].
Secondement. — Soit N un point donné hors de la courbe.
Supposons le problème résolu, c'est-à-dire la tangente KMlî ^rou^■^;c ; et tirons les droites NF, NF', MF et MF'.
Si, sur la ligne MF', on prend MG = MF, on a
F'G = F'M — MG = F'M - MF -= a A ; d'autre part, de ce que la tangente jouit de la propriété do divisi'r en deux parliez égales l'angle F'MF des deux riija/is vecteun, il en résulLc
anglcF'MN ^-angleFUN;
par suite, les dens triangles NMG, NîilF, dans lesquels on a, d'aillc\irs, n et MG = MF, sont égaux et donnent
NG = NF.
(■) Démontrons à priori (tomme nous l'avons fait pour Vellijise) que la droite MR {fig.ti^) qui divise en deux parties égales l'angle l'MF est lan-
Cela B8 réduit à faîro voir que tout point N de cette droite, autre que M, ett
Prenant sur MF' une distance MG é|;iile k MF, puis ainsi que FG qui rencontre en 1 la droite MK, on i
F'ri-WG<FG; mais comme le triangle MFG est ùoscèle par construction, la droite NMR tsî perpendicalaire sur FG et passe par son milieu 1; donc elle a toua ses points également distants do F et de G; par suite, KG~iSF. D'un autre c6té, on a
FG = F'M - MG = F'M — MF== îA; ainsi, rinéjjalitc prccÉdenie devient
F'K — KF<aA; ce qui prouve que le poinl H est un point extérieur.
Cette démonstration repose nnigaerneiit sur In déllnîtion géomdtïique de l'hyperbole et sur les caractères des points pris sur la courbe, ou hors delà conrbe.
TANGENTE PAU HAPPOUT aux DlMlftTliKS CONJUGUÉS. ?^-()
on voit que le radical étant toujours moindre que r, tant que j:' est compris entre A et -+- co , la valeur positioe de a est nécessairement mpé-
rieure à —, timiie qu'elle atteint pour x' = » .
Donc l'angle HOX esl le minimum des angles oigiis quo la tangenfe forme avec \& premier axe.
Quant à l'atecisae, — ;) du point où la tangente, en général, coupe l'axe des x, elle est toujours /wj-rtife et moindre que A, tant que \^point de contact est sur la branche pndtii'e de la courbe ; ce qui veut dire que ce point de rencontre est constamment resserré entre le sommet B et le centre 0 ; il finit par se confondre ai-ec le centre pour a: ' = oo ,
A l'égard de la valeur jié^ntive de a, comme dans l'hypothèse j:'= co
elle se réduit à — -71 on en conclut que l'angle lOX est le n
des angles obtus qiie la tangente est susceptible de former avec le prc~
Tangente menée par un point pris hors de la courbe, nu pnrnllèlumenl à une droite donnée.
231. Nous renvoyons, pour ces questions et celles qui en dépendent, aux n"' 193 et suivants, parce que les raisonnements, les calculs et les résultats ne diflérent de ceux relatifs à Vellipse que par le diangemenl de -1- B' en — B', et réciproquement.
De ta taiif;t:ntf considérée par rapport aux diamètrvs conjugués.
232, Multiplions entre elles les deux expressions
dont la première est le coefficient d'inclinaison de la tangente, et la seconde celui du diamètre MM' [fig. ii3) passant par le point de contact
(j:', j']; il vient
Comparant cetti3 relation' avec l'égalité
a3o DE i/htpebbolt:.
qui correspond h deu,i: dinmètres cnnjiigcièa [?â1 ], ou a
im'= tangK tangn'; et si l'on suppose
il «n résulte nécessairement
«■= tangK'.
Ce résultat démontre que le dinmètre conjugué île celui qui pa.'ine par le point de eontaet est parallèle à la tangente.
D'où l'on tire (comme pour l'ellipse) un moyen de mener une tangente : 1° en un point donné de k courbe ; 3° parallèlement à une droite qiiel-
Voyez, pour la construction, le n" 196, en observant toutefois que, quant an second problème, il ne peut y avoir de solution qu'autant que la droite donnée forme avec le premier axe un angle au moins égal il l'angle TOX, ou un angle ait plus égal à l'angle (OX. C'est une conséquence de ce qui a été dit au d° 230.
Propriélcs de la tangente pnr rap/inrt aux rajons vecteur.', corre.spon danl.-i .
233. Quoique les calculs soient analogues à ceux qui ont été exécutés pour t'ellipso (197), nous les répéterons parce qu'ils comportent une modification importante.
Soient MR (fig. n4) la tungentr, et FM, F'M les rayons vecteurs qui lui correspondent.
Désignons par a, a', a", les coefficients d'inclbuùson de la tangunte et des rayons vecteurs, par V, V, les angles FMR, F'MB,
On a, d'après la figure,
mis ou V^MFS-MRX, F'MR ou V' = MRX — MF'X;
Calculons d'abord langV.
I.e rayon vecteur FM devant passer par le point F, dont li données sont o et -i- c, a pour équation
et comme il doit au:
lion
5si passer par 1
e point {x'
, il en résulte la
d'où a'.
PROPH. IIE I.À COURBE BAPPOBTfK A DES DIAM. CONJUGUÉS. 235
(4 pour r = o, ^ = t,--, .i, — -}-■,
(5) pour X = O, r'= -,-5-.^-, :.j- ■ .,-,1
relations qui fournissent le moyen de passer de l'équation de l'hyperbole /■apportée à ses axes k celle de ia môme courut, /apportée à un système lie iHamètres conjugués.
Mais avant de former cette dernière équation commençons par prouver que les valeurs de x' et de 7', correspondant respectivement aux hypothèses j= o, j: = o, sont de signti cnntimrcs
Ces valeurs { li) et ( 5) peuvent en effet être miies sous la forme
oos=a(Anang'a— li') ' uis'j ^ V'tang'a'-B') Or la relation (2) fait voir que, si l'on a par exemple
ce qui donne évidemment pour l'expression de j;^ une valeur positiec, il faut, mtr conipciisalioii, que l'on ait en mémo temps
tangï.'
en sorte que la valeur de j' est négmive.
D'où l'on conclut que, si la valeur de x correspondant à y=o, est réelle, la valeur de^ correspondant à a; = o, fôt imaginaire, et réciproiiaement; en d'autres termes, que \un des deux diamètres auxquels la courbe est actuellement rapportée, rencontrant la courbe, ou étant tbans- VEHSE, son conjugué est NON TBANsvfinsB ; résultat qui s'accorde avec ce que l'on a établi au n" 223.
Si maintenant on prend le diamètre transi'erse pour nowel axe des x, et que, par suite, on pose
■/ transoerse, il faudra poseï
236 DE l'uïpeubole.
ot reportant ces valeurs dans la relation (3), on obtienL
Telle est l'équation de M hyperbole rapportée à l'iai di: ses sy.ilèmi-s de diamètres conjugués [en nombre infini, d'après la relation iiiii'iite (2) qui doit servir à déterminer « et a'].
239, En remplaçant dans les expressions de A'" et de B'' les sinus et cosinus par leurs valeurs en fonction de la tangente, on parvient aux nouvelles relations
^„ ^ A'B'C + tangV.) ^,, ^ A'B'ji + tang'a') B' — AHang-« ' AHrtng'a' -B'
, , B' tang K tang a = t-;i
qui, par l'élimination de tanga, langa' [voyez le n° 205), donnent lievi à celie-ei :
d'où l'on conclut qne, dans l'hyperbole, la différence des carrés des demidiamètres conjugués est égale à la différence des carrés des demi-axes.
2i0. De même que pour l'eliipse, la résolution du problème inverse de celui du n" 238, et ayant pour objet de remonter de l'équation de l'/irperbole rapportée à un système de diamètres conjugués h l'équation île (a courbe rapportée à ses axes, conduit à celte même propriété, en même temps qu'à une autre aussi importante.
En suivant, pour le détail des calculs, la même marche qu'au n" 20(i, on arrive aux résultats suivants :
A"cos'«-B''cos'(e -a) - A%
A"sin'a - B"sin'(& - «) = — B%
— A"B"sin=9==- A=B\
L'addition des deux premières relations donne
ou la propriété déjà démontrée; et la dernière, qui revient il
A'B'sln9 = AB, ou /|A'B'sin& = 4AB, signiSe que, comme pour l'ellipse :
Le parallélogramme construit sur un système de diamètres conjugués r>t, quel que soit le système, et équivalent au rectangle conr les axes.
T.VNlîENIË PAU HArrORT AUX RAÏOI
On voit donc que la position dit pnint G est Gséc par sa distance ik an point F', et par sa distance NG ou NF au point donna N.
On est ainsi conduit à cott« construction ;
1° Du point N comme centre et avec la distance conmw NF comoii.' rayon, clécrioez un ai-c de cercle.;
2° Du point ï' comme centre et avec le rayon a A, décrivez, tcit scc/md
Ces denx arcs se coupent en un point G. Joignant ce point au point F' et prolongenm F'Gr jusqu'à sa rencontre en M avec l'iiyperliole, puis tirant NM, vous obtenez la tangente demandée.
Ce que l'on peut dûmontrer à posteriori.
En effet, on a, d'abord, NG = NF par construction; de plus, puisqui> F'M— MF= 2A, et que
F'G ou FM-MG = a.\, il en résulte aussi
JIG :-- MF,
La droite NM ayant deux de ses pointe, K et M, également distants dos extrémités do la droite qui joint les points F et G, est perpendiculaire sur le milieu de cette droite FG, et divise l'angle GMF en deux parités égales; donc NM est tangente à la conrbe.
233. Discussion, — Les deus circonférences décrites se coupant en un second point G', le problème admet, en général, deux solutions.
Le second point de contact se trouve placé tantôt sur la même branche UBV de i'hyperboîe que le premier, tantôt sur la branche opposée, U'AV, suivant la position du point donné N.
Dans la figure actuelle, il devrait Être placé sur la partie inférieure k\' de la branche de gaiiclw; et on l'obtiendrait en tirant G'F', puis prolongeant cette droite jusqu'à sa rencontre avec cette partie inférieure.
On peut, d'ailleure, démontrer que, toutes les fois que îe point donné est extérieur h la courbe, les deux circonférences doivent se rencontrer en deu^ points, et qu'ainsi les deux tangentes existent.
En effet, comme on a toujours
F'F - ïA,
il s'ensuit, d'abord, que le point F de cire. KF est extérieur h cire. aA.
Soit, ensuite, pris sur NF' une partie NF" égale à NF; comme, par hypothèse, le point N est extérieur à la courbe, on a (217)
F'N-NF<2A,
234 ^^ l/llYPERBOLC,
d'oJi
l^'N-NF" ou Fr<2A,
en sorte que le point F" de cire. NF est i/rtt-ricirr a cire. aA. Donc les deux cercles se coupent.
236. Remarque. — Les dénominateurs de foïbus et de bâtons vecteurs se justifieraient, comme pour Vellipse, au moyen du principe di> Physique sur l'égalité des angks A'incideiir.e et de réflexion.
Car de l'égalité des angles FMT et TMF' {fig. 1 15), FM'T' et T'MT', on conclut celle des angles FMT et /M(, FM'T' et /'H'i', d'où il suit que des rayons de lumière ou de c/ialsiir émanés du point F, et allant frapper la courbe en des points M, M', .... se réfléckirment suivant des droites M/, M'/', . . , , qui, prolongées en sens contraire, iraient toutes nboatir au point F.
Coiiiéi/iipnces des propriétés de la tangente considérée par rapport aux rayons vecteurs.
237. Si des/oj-ereF, F' [fig. ii4), on dbmssa âss perpendiculairesVl, F'I', sur la tangente, on ferait voir , comme pour rc?^/».(e[n°'201 et 202):
1° Que les distances du centre aux pieds I, I' des perpendicidaiivs abaissées de cltaciindes foiers sur la tangente sont égales au demi pie mier axe A; en d autres termes que ciro A est le lieu geomeiitijue du pieds de loutet le perpendiculaires abaissées de clmcun des f jers s a les tangentes;
2° Que le piodiat rfeî pei pendict latres FI FI ûlanseti des <leix foyers sur une tangente quel onqie MR est constant et égal t i carre B'
§ M. — Propriétés de
