CONJUGUÉS

§38. En répétant pour \' hyperbole les calculs et les raisonnements qui ont été faits au n" 20-i pour \ ellipse, on est conduit auï relations suivantes ;

(1) Â=sin«sin«'- B'cosa cosa'= o,

d'où (a) fangatanga'==^^,

[S) [A'sin=H'-B=cos'a']j'-H(A=sin'a-lï'cos'a).r'=- A=B=,

BÉFINITIOS liî Of.LEUïll NATION DES ASVMl'ÎOTEi!, ^.B^

di-iix points d'intcrscdhit avec la courbe situKs à nue distcincp, infime de l'origine.

La valeur de j que l'on vient d'obtenir, portée dans l'équation (i) de la courbe, donne

d'où l'on lire pour ^, et par suite aussi pour^", des valeurs do la formo

ce qui véi'iCe le résultat indiqué.

'N.B. — Des mStnes principes algébriques, il résulte qvie, si dans l'équation (3) on posait seulement

n aj^nt d'ailleurs une valeur quelconque différentp. de zém, les deux voleurs de X seraient, \\xvi^ finie, l'autre infime. Même résultat pour les valeurs correspondantes du y

24S. En jeconrfi/eîi, comparons l'équation (4), ou

avec l'équation do la courbe

et, pour plus de clarté, désignons par V l'ordonnée qui entre dans l'équation (4) Bt correspond à une abscisse x conwmne miw deux di-oita et à ta coarbc: il vient

d'eu, en élevant les deux, membres au carré, D'un autre côté, l'équation de la courbe revient à ■ et si l'on retranche cette dernière écjuation de la précédente, il en résulte

Or, à mesure que j: û&vi&al, plus grand a partir do aï = A, les deux ordonnées Y et ^ png'meKfcnï aussi, et il en est nécessairement de raSme de leur somme Y-i- j; d'où il suit que leur différence Y —x'/éci-oit di: plus en plus, et devient moindiv que toute grandeur donnée, lorsque x est infini.

Donc les deux droites Hll', II', exprimées par l'équation [4), sont, d'après la définition donnée n° 2i3, des asymptotes h l'hyperbole.

Remarquons, en outre, que l'équation

n étant un nombre quelconque différent de o, représente un système do droites respectivement parallèles aux deux asymptotes qui viennent d'ôlre déterminées.

Or, bien que ces droites aient un de leurs points d'intersection avec la courbe, situé à l'infini, elles ne sauraient être des asymptotes.

Carsil'onconsidère, par exemple, la branched'hyperboleSM ni (^,ii3), Yasymptole OH et une parallèle quelconque à cette asymptote, il ne peut arriver que deux cas : om la droite OH et sa parallèle sont situées â'un même côté par rapport à la courbe, ou bien celle-ci se trouve placée entre les deux droites.

Dans le premier cas, il est évident que la perpendiculaire commune à ces droites est la moindre distance qui puisse séparer la branche de la courbe ot la parallèle considérée.

Dans le second cas, la courbe, devant se rapprocher continûment et indéfiniment de son asymptote OH, s'écarte, par cela même, nécessairement, de plus en plus de la parallèle à cette droite.

Donc, dans aucun cas, les parallèles aus asymptotes HH', II' ne sauraiunt être elles-mêmes des asymptotes à la courbe.

Comme, d'ailleurs, on a vu que les droites HH', II', et leurs parallèles, sont les seules qui rencontrent la courbe à Vlnfiû, on peut affirmer que l'hyperbole n'a QCb r-^X ASïîiPl'OTES, qui sont les droites HH', H'.

Propni'tés de P hyperbole par rapport à ses asymptotes.

210. L'hyperbole jouît, par rapport à ses asymptotes, d'un grand nombre de propriétés dont nous allons exposer les plus importantes.

montre que, ai on a (le.mfivne

DÉFINITION lir béikumikatiois bes ASYwi'roTj:s, 337

Nous reviendrons sur cette propriété, pour espliquer !a disposition de \afg- ii3, qui s'y rapporte.