Remauqub. — La relation

A"-B'^^ A'-Ii= A = It, A'= B', ut que si A est différent de B, on ne peut pas //vtiir A' ég//I à B'.

D'où l'on conclut que, dans l'hyperbole èqiùlutcre, tout système dd diamètres conjugués est un système de diamètres égaux, et que, dans une hyperbole qui n'est pas équilalère, il ne saurait exister aucun système fie diamètres conjugués égaux.

Une ellipse, au contraire, admet toujours (208) un système de diamètres conjagaés égaux, et n'en admet qu'un seul.

242. Autres pbopmétés de l'uïperhole bappobtée a un svsTiiME DE DiAMÈTitEs CONJUGUÉS, ET TANGENTE A LA coUBBE. — Comme pour Vellipse (209), toutes les propriétés de l'hyperbole démontrfes indépendamment de l'inclinaison des axes, s'étendent au cas oii la courbe est rapports à un système de diamètres conjugués.

C'est ce que l'on peut reconnaître en répétant, notamment pour les propriétés énoncées aux n"' 209 et 210, les mêmes raisonnements.

De môme, l'équation de l'hyperbole rapportée à un système de diamètres conjugués étant

on trouverait, pour l'équation delà tangente mcuéc /mr un poitU (j:', x') pris sur la combe,

passant à la tangente menée par un piiint extérieur, on soriiit conà des propriétés analogues à colles qui ont été établies pour ['ellipse PS les n™ 212 et 213).

2i3. Dno ligne droite tracée sur le plan d'une courbe est dite asïjil>- TOTE de cette courbe, lorsque celle-ci ou seulement l'une de ics brandies s'approche continilment et indéfiniment île cette droite.

238 DE L'uïrEnuoLi;.

En termœ analytiques, une droite asjmpioie à une courbe est une ligEP telle que, ai l'on suppose la droite et la courbe rapportées nii même système d'axes, la différence entre leurs ordonnées correspondant à une même abscisse décroît de plus en plus à mesure que l'abscisse augmente, et devient moindre ijue toute grandeur donnée quand cette abscisse est i.Jime.

De cetle double déûnition il résulte évidemment qu'une courbe, ou une branche de courbe, ne peut avoir A'nsymptoie qu'autant qu'elle s'étend à Xinfini.

ta. Afin de reconnaître si I'hyperbole a des asymptotes, nous établirons, en premier lieu, les conditions auxquelles doit satisfaire une droite située dans le plan de la courbe pour la rencontrer à Viiifim.

A cet effet, il suffit de combiner l'équation

avec l'équation générale d'une droite {^) X ■■•«':+«.

puis de déterminer les constantes m et n de manière que les valeurs de .v et de 7 qui leur satisfont simultanément deviennent infinies. On trouve, par l'élimination de y, et en ordonnant par rapport à j-.

Or, pour que les deux valeurs de x tirées de cette équation soient infimes, il faut et il suffit, d'après les principes de X'anafyse algébrique, que l'on ait les deux relations

mais la première donnant nécessairement

la seconde ne peut Être satisfaite que par

L'équatioi (4)

D'où l'on voit que les droites HH', H' {Jîg. iiSj, qui passent par le rentre, et dont nous avons [138) appris à fixer la position, jouissent toutes deux, et exclusivement à toute autre droite, de la propriété d'avoir leurs

PliOPniÉIÉS DE LA COURBE PAR RAPPORT A SES ASTMPT. -f.f^l

Nous ferons, avant tout, une observation essenlielle.

Lorsque les axes ïA, aB â'une hyperbole soRt donnés. Sa première diose à Uàtb pour sa conslriwtion^ e'est à6 firer la posilîon des asymptotes d'après le moyen indiqué au n" 223, parce que, ces lignes une fois tracées, on a déjà le sentiment du cours de chacune des branches de \i. courbe à partir des deus sommets, en raison de la propriété qu'elles ont . de se rapprocher d'une inanière continue el indéfinie de leurs asymptotcx respectives.

Cette observation s'étend h toute espèce de courbe ayant des asymptotes rectilignes ou même cuivilignes, ainsi que nous en verrons des esempli's dans la suite.

2i7. PnEMiÈRË PROPRIÉTÉ. — Les asymptotes d'une hyperbole élani construites, les deux parties d'une tangente mi-née en un point ijiiclfompie de la cniirbe et comprises entre les deux asyniptotes sont égaln .

Soient HH', II' {Jig. 116) les asymptotes, THT' une tangente en un point M.

Tirons le tUamèire M'OM, et supposons déterminé, d'après le procf^dt' du n°22i, son diamètre conjagiiéYY', lequel est, comme on l'a vu (232 parallète[k la tangente; concevons, en outre, pour le moment, l'hyperbole rapporta au syslème de i/iamètres conjugués XOX', YOV,

On a, pour l'équation do la courbe.

i"j-'-B".'''--A'=Ii"'

et les asymptotes sont, pour If 1 double équation

E combinanl ces équations entre elles, o'

valeurs qui cnmicnncnt exclusivement ( 244 et 24îi ) j Or, si dans la double équation de ces droites on f

il «n résidte

Donc les deux partions de. tangente MT, MT' sont égides. De plus, on voit que ces distances MT, MT' sont chacune égales moitié du diamètre conjugué de celui qui passe par le point de con Ap. de l'Ai, à la G. '^

24^ "E L'iiïPEnnoLE.

2-18. CoNSÉeuENCE. — Les droites TT', tt' 6lm\\, parallèles et égaks à aB', la figure TVi't est Mn parallélogramme ; et ce parallélogramme, dont les côtés sont respectivement égaux et parallèles aus diamètres conjugués qui joignent leurs points milieux, peut être considéré comme construit sur ces diamètres; ce qui conduit à la proposition suivante :

Tout parallélogramme consCriat sia deas, diamètres coi/iiigués a .ïi.w quatre lomi/ielt places sur les deux aiympt les

Les pirall logrammes ainsi con^tiuit^ aont dits inscrits a l hyperbole, tandis que dan* 1 dlipie les parallek grammes analogues sont circonscrits à la courbe

Il résulte d'ailleurs de ce qui a été établi au n" 2i0, que tous les parallélogrammes inscrits à l'hjperbole sont êijuivalcnts au rectangle coii-

On est maintenant en mesure de comprendre pourquoi, dans l3j%. ii3, qui se rapporte à ce n" 240, le parallélogramme ijA'B' et le rectangle 4AB ont chacun leurs sommets situés sur las droites HH', II', qui ne sont autres que les asymptotes.

ilT. £. — Il convient encore de remarquer que le diamètre &1M' est moindre que toute corde mm' de la courbe, menée parallèlement à ce diamètre; car on a

MAl'v^ïi et 1t<.mm'.

Nous forons plus tard i'ap[>li cation de cette remarque.

St49. Seconde propriété. — Les deux parties d'une sécante qaelcantjue comprises entre l'hyperbole et ses asymptotes sont égales.

SoitRR' une droite quelconque qui rencontre Xacourbe et les asymptotes aux poinis S, S', R, R'; il s'agit de prouver que l'on a BS = R'S'.

A cet effet, concevons le diamètre OP passant par le mi/ien P de la corde SS'; et au point M, où ce diamètre rencontre la courue, menons une tangente TMT'.

Cette tangente étant nécessairement (232) parallèle à SS', et sa partie TT' se trouvant, d'après ta première propriété, divisée en dcax parties égales au point M par la droite OP, il résulte d'un théorème de Géométrie que la droite RR', base du triangle ROR', est elle-même partagée égnlenicnt au point P. On a ainsi