RS .. IV S

Si, maintenant, au lieu de faire .t -.-. W, on {)OSe

Ot l'on arrive ainsi à Véitoncé de la première propriété.

2S0. Troisième propriété. — Le jtarattélogramiiie construil sur un système de coordonnées parallèles aux asymptotes a une surface ma- STANTB et égale au. HUITIÈME du, rectangle des axes, quel que soit le point de la courbe que l'on considère.

Soit M (/i'j'. 117) un point quelconque de la courbe, et soient menées les droites MP, MQ, respectivement /nrra/^è/cî aux asymptotesWS, II'; je dis que le parallétngramme OPMQ, ainsi formé, a pour expression de

«44 DE L UïPERBOLli.

lin efî'el, tirons le demi-diamùlre OM et la tangente- TMT'.

Les deux droites MP, OQ étant parallèles par construction, et le point H étant (247) le milieu de TMT', les points P et Q sont aussi respectivement les milieux de OT' et de OT; d'où il suit que le triangle TOT' se compose de quatre triangles équivalents comme ayant même base et même. hauteur.

Mais le parallélogramme OPMQ est lui-même composé de deux de ces triangles ; ainsi déjà il est la mnitié du triangle TOT'.

Or ce dernier est le quart du parallélogramme qui fierait construit sur le système de diamètres conjugués correspondant au point M, et par suile (218) du rectangle des axes principaux.

Donc h parnllelogiamme OPMQ est le HurTIÈME de ce rectangle.

2S1. LONSÉOUEM.B — Si l'on construit ce rectangle Eee'E', ot le io- .longe ACBD dont il surface en est évidemment la moitié, on remarqiii^ que !e petit losange OLBL', quart du grand, est, par rapport au point particulier B de la couibe, ce que le parallélogramme OPMQ est par rajiport à un point quelconque M; en sorte que l'on a, d'après la propriélé qui vient d'être démontrée,

OPMQ = OLBL'= 'jlosnnsekCm.

Or, si l'on désigne par x et f les coordonnées du point M rapporter-, aua: asymptotes comme nouveaux ases, et par 6 l'angle HOl' de ces asymjitotes, on a, d'après les principes tri gonoraé triques,

OPMQ = a:j sine ; ACBD = cxcsinO = c'siiiû,

c étant égal à v/A'-t-B'.

On est donc conduit à la relatioti

ï'.rsinû ^-<^ sinS ^ i{A'-i-B')sinO,

Vhyperhole rapportée à ses asymptotes.

2ë2. Le résultat simple et renmrquable que nous venons d'obtenir, comme conséquence de la troisième proprictd, s'appliquant à tout point de ta courbe, n'est autre chose que Yéquation de l'hyperbole rapportée à SCS asymptotes.

Squation de la coubbe rapportée a 8iis ASYiMPrOTEs. 3.45

On peut V parvenir iîi)vctr.meiit par une iraiisformation de coonloniiées.

Désignons, à cet effet, par a, «' les angles XOl'j HOX que les fisymp-

tntcs font avec lo premier axe, en prenant 01' pour nmwel uxe des x. et

OH pour nouvel axe des y.

On a (138)

tang.= -^, l«ns.= + ^;

d'ofi l'on déduit (l'angle « étant négatif]

Substituant ces valeurs dans les formules

qui se rapportent (119) an passage d'un système r t «me oblique de même origine, on trouve

irs qu'il ne s'agit plus que de reporter dans l'équation

in obtient, toule déduction faite,

n tire

pour l'équation de M hyperbole rapportée à ses asymptotes.

U carré égal à ■ — - — ■ est appelé puissance de l'hyperbole. Si l'on représente ce carré par i/i'^ l'équation devient

233. La discussion de cette équation montre que les droites SX', YY' (/^. 118) ont bien, suivant la définilion donnée au n" 213, le caractère d'asymptotes à la courbe.

Cur en la résolvant successivement par rapport à y et par rapport à x,

on trouve

d'où l'on voit qixo x AdGMENTAKT numérkjiwment dans le sens positif on dans le sens négatif d'une manière continae, depuis zéro jusqu'à Yinjîm, X DiMiNDE d'une manière continue depuis Xinfini jusqu'à zéiV} et réciproqiiemei t.

25i. L'équalion

ayant été obtenue (2b2 ), indépendamment des propriétés démontrées dans les numéros précédents, on peut s'en servir pour retrouver quelques-unes de ces propriétés, aussi bien que pour en découvrir de nouvelles.

Ainsi, si l'on multiplie les deux membres par sinfl, 0 étant l'angle des asymptotes, il vient

^/s!n& = m'sin9.

Or .ly sinfl est évidemmiMit l'espression du parallélogramme OPMQ \fig.y\-j'] construit sur les coordonnées d'un point quelconque de la courbe rapportée à ses asymptotes ; ni' sin9 est, d'ailleurs, nue constante qui ne dépend que des nrcî principaux et de l'angle 9 des asymptotes.

Donc tous les parallélogrammes construits sur rff t coordonnées parallèles aux asymptotes sont équivalents ( voir le n" 250 ) .

Pour reproduire la relation

OPMQ := ' AB,

do

Il suffirait de i-emplaccr, dans "i'sinO, /«' par sa valeur — '~T~~:

, et d

calculer s.mS.

On a, en eiVel,

Sinfl .-.= sin-^HOX ---- smty/:,

d'où

sinO-isin^t'œss' - ^^^

lit, eiïcctuant la substitution.

^jsinfl = OPMQ = ^'-^^ ^1^ - ^Alî.

2;iS, ÉQUATION ne la tangente. - L'hyperbole étant rapporté

nsyinptoies [Jîg. ii8), ou son équation étant delà forme

{.) .rj^nr.

on propose de trouver l'équation do la to«g-e"(e en un point (.t', j-

')de

courbe.

,k COURBE ISAPPOBTÉC A SES ASYMPTOTES. 247

L'équation d'une sécante passant par ce point et par un autre point {^'iX") de la courbe serait