ef ;-', .f" et j" étant liés par les rclalions
lietranchant la première de la seconde, on a
nouvelle relation qui pont être mise sous la forme d ou Ion déduit
zlrL.zL - zl
pour l'expreSBion i)u cortfficicnt migiilmii: de la sécmite, dont l'équatior devient.
veut exprimer que c<!tte droite devient tangente., il faut faire, dans l'équation (a), j" = )■' (par cela même, ai" — x' , d'aprè.-! la relation /''j-"~jr'j;'= o), et l'on obtient
pour \ équation demandée.
N. B. — Pour passer de la sécante à la tangente, il suffit de poser
puisque x' n'entre pas dans l'équation de la sécante. Il résulte, en effet, de l'équation, de la courbe,
qui ne donne qu'une seule valeur de x correspondant à une valeur dej-, et réciproquement, que la condition
Il n'en est pas du môme lorsque !a courbe est rapportée à ses axes on à im système de diamètres conjugués, parce qu'alors à chaque valeur de y correspondent deux valeurs de x^ d'où il suit que l'on doit, dans ce cas, introduire les deux conditions à la fois.
2S6. Conséquences DÉnuiTEs pes équations (2) et (3), — r Si dans l'équation (SJ on pose y = o, et que l'on cherche la valeur de j: — jt' correspondante, on trouve pour l'expression de In sotut-iangemc,
X — x' ou PR = '^r .--: x' ou OP. J
D'où l'on voit que la distance OR est double de l'abscisse du point de conlact, et que, par suite, en raison du parallélisme des droites PM et OY, la tangente TR est divisée en deux parties égales au point de contact M ; propriéfé déjà établie au n" 247.
a" Considérons une séranie quelconque SS', et désignons encore par .r', j'et a'', j''les coordonnées des points d'intersection N, N' avec la courbe; puis, posonségalement 7 = 0 dans l'équation (a), qui représentu ainsi celle de cette sécante; il vient
ou, d'après la figure,
QS'=OQ'i
d'oui retranchant des deuï membres la partie commune QO',
Q'S'-OQ^NQ".
Les deux triangles NO"S, N'O'S' ayant les angles égaux ot un côté égal, Q'N = Q'S', sont égaux et donnent
Donc les deux parités d^une sécante comprises entre la courbe et tt'.i asymptotes sont égales^ propriété qui a fait l'objet du n" 3i9.
237. Cette propriété de la sécante à l'hyperbole fournit un moyen extrêmement simple de construire une hyperbole, connaissant les deux asymptotes et UN SEUL point de la courbe.
Soient HH', II' \Jig. iig) les deux asymptotes et M un point de la courbe.
Menesparce pointdes droites en nombre quelconque, qui rencontrenlles asymptotes 'aux points S et f , S' et s\ S' et s", S" et/",...; puis, à partir des points s, s\ s", ï",..., portez des distances sm, s'm\ .("m", s'"m'",...,
CO;;ST. DE LA COURBE PAR l'OlîiTS AU MOYEN PES ASVHPÏ. 2.^9
respectivement égales à SM, S'M, 8"!^, S^M,. . , ; vous obtiendrez ainsi autant de points que vous voudrez, m, m', m", m'",. ... qui epparîtenilront à la courbe; et il ne s'agira plus que de lier ces points entre eux par ane ligne continue, en ayant soin toutefois do ne joindre que les points siiités dans le même angle WOV ou lOH'.
Rien n'empêche d'ailleurs, lorsque plusieurs points ont été df jà obtenus, de s'en servir pour en déterminer de nouveaux.
On peut ensuite trouver par le calcul les axes principaux de la courbe.
On obtient d'abord leur direction en divisant les angles HOI' et HOI en deux parties égales par les droites XX' et Yï'.
Pour déterminer leurs grandcui-s, on a les relations
, , A'-t-B' , 1 , B .rj^—~, tang^û^-,
dans lesquelles x', y' représentent les coordonnées OP, PM (iiii sunt connues, et 9 l'angle des asymptotes.
La seconde relation donne
d'où, substituant dans la première, on lire
AM n-lang'^s\= 4,p',i', eX, par suite,
A=- ix'y'cos'^0, A ------ a COS f 5 i/7'y,
ce qui lionne
