DE LA PA.RABOLÎÎ

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238. L'analogie qui existe entre les équations de VdUpse et de Xhyperbole rapportées à leurs axes principaux devait faire pressentir, ainfl que nous l'avons en effet reconnu, que ces deux courbes jouissent de propriétés presque identique.i, sauf certaines modifications dans les énoncés, et k l'esceptiott aussi des propriétés qui, se rapportant aux asymptotes, appartiennent exclusivement à \hyperbole.

Il n'en est pas de même pour la parabole, dont l'équation n'offri' qu'une analogie assez éloignée avec celles des deus «altes, courbes; analogie que l'on reconnaît en transportant l'origine des coordonnées de ces courbes à l'une des extrémités de leur premier axe, et qui a été établie aux n-'ia et lia.

Ainsi ia parabole étant, par sa nature, prhéc de centre, et n'ayant qu'un seul foyer, on conçoit que toutes les propriétés relatives à ces poiiiii doivent donner lieu à des différences notables dans l'élude comparée de ceite courbe par rapport aux deux premières. De même, la direcirkr a pour la parabole une importance qu'elle n'a pas pour l'ellipse et l'hyperbole.

2S9. Commençons par indiquer les caractères analytiques et géométriques qui distinguent les points pris sur la courbe, de ceux qui sont placés au dehors ou en deilans.

i" Soit 7'= ipx l'équation de la parabole MA/h.

Considérons les trois points N, M, N' [Pl.FÎI,fig. lao) situés sur une même perpendiculaire à l'axe des x, et dont le premier se trouve hors de la courbe, le second sur la courbe, et le troisième en dedans de la courbe.

On a évidemment

NP>MP et N'P<MP;

CABAcrfiiiKS nus poifirs iik la counnE, aSi

donc, puisque pour le, point M,

IIP --- 2/)AP, ou y' — t.pj: --- o, il s'ensuit qu'on a, pour lo poiot exti'rieiirTs,

et pour le point ini<^neitr N,

J' - -ip.v < o.

iV. £. — Si le point extérieur avait la position K°, l'abscisse AP" de a point serait ncgalive, et l'on aurait à fortiori

2° Suivant la définition de la parabole (■IM), chacun de SCS poinls 11 est à égale distance du fojer F et de la ilirecirice DD'.

Mais Bi l'on considère deux points E et R', l'un au dehors et l'autre en rff'flSi/wde la courbe, en menant par ces points les droites Q'RM', Q"M"R', parallèles à AX, puis joignant le point F aux points R et M', R' et M°,

? ¥M' ou iVQ',

FR > RQ', et pour lo point R',

FR'<FMM-M"R' ou Q"M"-i- i^'R';