L'équation

r - -ipx

donnant

on peut en conclure le moyen suivant de décrire la parabole par points : Prenez sur le premier axe principal, et à la gauche de l'origine A [fis- 121), une distance AC égale à -xp; élevez sur AX, de différents /minls P, P', P" :. . , , des perpendiculaires, puis décricei sur les lignes CP, CP', CP",..., comme diamètres, des circonférences i^nHa, par les points Q, Q'i 0"^ ■ ■ ■ , "" '^'■■f circonférences rencontrent le second axe, menez des

PUOP. Dl; Lk COURBE RAPPORTÉE A SKS AXES PRINCIPAUX. ■>,55

Lus points M, M', SI",. . ., déterminés par la rencontre (le ces parallèkd avec les perpendiculaires, sont des points de la parabole demanda. Kn effet, pour une abscisse /juetconque AP, vous avez

CA : AO : : AQ : AP, on tp : MP : : MP : AP ; il'où

wf' ■== ■>.]> AP.

Les points de la partie inférieure de k courhe se déterminent en prolongeant les perpendiculaires de longueurs égales à elles-mêmes.

3Ki. Mesure d'un segment PAUiBOLiQUË. — Proposons-nous , comme pour l'ellipse (116), de déterminer Wdre d'un segment compris entre un arc de parabole MA?», et une corde Mm perpendiculaire au premier ase, ou simplement Vaire tla dcmi-si^gment APM.

Pour y parvenir, considérons sur l'arc AM [fig. i' poinlsM, M', M",...; et de tous ces points, menons d€ et des parallèles à l'axe AX ; ces droites déterminent des rec B''P'P"M',..,, que nous nommerons rectangles intcrieu. reclanglesR'QQ'M', R^Q'Q'M",. , ., qui seront appelés r.

.a) une suite de

is perpendiculaires

tanglesRPP'M',

rs, et d'autres

Cela posé, en désignant par a: et j, .: données des différents points M, M', M'',, rectangle iVj/A-ifwEPP'M',

x" et y", ... les eoor- , pour la surface s du

et pour celle / du rectangle extérieur correspondant

t-=xl[j-f]; d ou 1 on déduit

Mais puisque les points M, Si', ... se trouvent sur la courbe , relations

il vient donc, par la substitution,

On obtiendrait, pour les deux rcciiingles suivants.

et ainsi des autres.

Observons, d'ailleurs, que les poinls M, M', il ,. . . peuvent 6trc pn: sur la courbo, de telle manière que l'on ait la suite de rapports égaus

m étant Mw,fraciion co/ulantc aussi petite que l'on veut. Il suffit, pour cela, de prendre sur AY des parties

puis de mener par les points Q', Q", . . . des parallèles à A5. Au moyen de cette condition, les rapports '-i rr • ■ • deviennent

ce qui démontre déjà que le rapport entre la somme ries recliiiigles intérieurs et celle des rectangles e.'ctêi'ieiirs est égal à In quantité constante a -h m.

Maintenant, comme il est évident que, si l'on prend pour m une trèspetite fraction, la somme des rectangles intérieurs différera fort peu du demi-segment AMP; que la somme des rectangles extérieurs différera aussi fort peu de la figure mistiligne AMQ, et que ces différences seront d'autant plus petites que la fraction représentée j>ar m aura une moindre valeur, on peut conclure qu'à la limite, c'est-à-dire lorsque l'on supposera m = o, les deux sommes de rectangles se confondront avec les surliices AMP, AMQ, et que l'on aura

AMQ "

APMQ=-. 3AMQ,

AMQ^--;APMQ, ou AMP^ |APMQ ^ Sjy.

Donc, enfin, la surface du demi-segment parabolique AMP est égale aux deux tiers du rectangle construit sur les coonhnnêes extrêmes.

H résulte de là qu'un segment parabolique est «ne surface can-able; oe qui n'a iieu ni pour le cercle ni pour l'eilipse, dont les aires sont exprimées en fonction du rapport opprocité de la circonférence au diamètre.

ir.MENT PAllAnOLlQUE.

26i. Équation de la tangente et expbession de la sous-tangente. — ÂBn d'obtenir l'équation de la tnngente en un point {x' %y'\ donné sur !a courbe, appliquons, soit îa méthode du n" 101 comme pour l'ellipse (ISIi), soit la règle des dérwèes (102).

I) vient, pour le coe£kient d'inclhiaimn.

et, par suite, pour l'équation clierchée,

ou, simj)!ifi<uit à l'aide de la relation j'- -- ■i.px',

{■>.) r/ = /.(xH-^'),

équation que l'on peut déduire de celle de la courbe en y changeant j' cayx', et ^px o\x p{x -i-x) en fix-^ x'); ce qui rend cette équation facile à retenir.

Soit fait j — odans l'équation simplifiée (a) {fig. ia3); il on résulte

d'où

x---^.-x', ou AR:.-AP.

Ainsi, pour mener une tangente à la parabole en un point donné M sur la courbe, il suffit de prendre une distance AR é^aie a l'abscisse ÂP dr ce point, et de joindre le point M tia point R.

Si l'on fait de même j = o dans l'équation '/ou simplifiée {i), on trouve

pour 'i ca:pressiiin de la sous-tungenle PR.

Co qui démontre c^ abstraction faite da signe, la snits-tangcnte est DOUBLE de l'abscisse du point de contact.

Le signe dont cette ligne est affectée convient d'ailleurs à sa position actuelle, puisqu'elle se compte à ht gauche du point P.

356 DE LA r.lRABOLlî.

— L'équation de la tanjjento taant

OU a, [lOTir ccIIg de la normale au mèiiie point,

et si l'on fait encore dans cctlo Équation r — o, il vient

.-.' ou VS='4^-p.

Donc la sous -normale est constante, qtielle que so'it la position ilii point de contact, et égale à la moitié du paramètre.

266. Discussion du COEFFICIENT AKGULAliiK de la tiingeiitc. — Coilim;-

dans le coefficient d'inclinaison

l'ordonnée 7' peut passer par tous les étals de grandeur, il s'ensuil qoe la tangente est susceptible de prendre toutes les silnations possibles par nipport au premier ase.

Soit

on trouve

c'est-à-dire que la tangente menée par le point A est pcrocndicidaitc à AX.

Elie est parallèle à cet axe aux points pour lesquels on a

Si l'on veut connaître en quel point la tangente fait avec le premier axe principal un angle de 45 degrés, ou égal à la moitié d'un angle d}-oit, il suffit de poser

■^ = 1; d'où r'-=/., J -

et, par suite,

ce qui est (li2) la valeur de Xabscisse du, fcrfer.

D'où il suit que, dans la parabole, la tangente menée par le ])oint de l.i courbe dont l'ordonnée passe par le foyer fait avec l'axe des x un ang!,; de 45 degrés.

I RAri'OllI AL RAÏO[\- VECTEUR, 257

Ce serait ici, d'après l'ordre que nous avons adopté pour les deux premières courbes, le lieu de considérer la tangente menée par un point extéi-ieurà la courbe; mais nous déduirons la solution de cette question de la propriété suivante.

Propriété de In tangente par rapport an rayon vecteur.

267. Menons ie rayon vecteur FM et calculons l'angle FMR, comme nous l'avons fait pour Vellipse.

En dÈsignant par a, a' les tangentes trigonométriques des angles MRX, MFX, on a évidemment

tangFMR ou tangV -= " ~"",- Or l'équation du rayon vecteur passant par le point F, pour lequel on a

est de la forme

et comme il passe en outre per le point do contact ( j^', j-'), il en résulte

Comme on a d'ailleurs

a- '-i'cïpression de tan g V devient

-ipx '-Pf

tangV= —

■i.pf

-hy>y'

ou bien, à cause de j-'^

■■ = -t-px',

tangV =

■tp^' + p-' ■ix'y'+py'

d'où l'on voit que l'angle FMR est égal & l'angle MRF.

Ainsi la tangente divise en deux parties égales l'ongle fiili formé pn ■ le rayon vecteur FM et une parallèle à l'axe des x, menée par le poini M.

C'est ce que l'on peut encore reconnaître ainsi qu'il suit :

A^. de l'Ai, à la G. 1^

Iï58 T)E L* P.VRABOLE,

On a vu (264) que les distances AR et AP sont égales; d'où résiiRe

FR = ^ -i- AP ;

d'un autre côté, DD' Étant la directrice, il vient