POINT BB CONTACT
Car on a, par construction, et d'aprfes la définition de la parabole (Ul),
doncdelaligiieNMestper(jeiidioulaire sur le milieu delà corde FG, et divise l'angle FMG en deux parUes égales.
La même circonférence rencoQtre la directrice en un surond point G', lai que, si par ce point on mène une ligne parallèle à AX, le point ob celte parallèle rencontre la courbe est le point de contna de la seconde ' n peut mener par le point N.
Cûii/iéijueme.'i de la pnipriéié précédente .
269. Pkesiière conséquence. — Si l'on suppose un foyer de chaleur' placé au point F, tous les rayons qui viennent tomber sur les diiférents points de la courbe, devant se réfléchir de manifere à former un iingle de réflexion égal à cchd d'incidence, prendront nécessairement une direction telle que M/, parallèle à l'axe principal.
Cela explique pourquoi l'on donne à certaines .surfaces réjlèchissamas
la FORME PAHABOLIODE.
270. SECoiVDE cONSÉooENCE. — On vient de voir que, si Von joint le point F au point G, la ligne de jonction FG est perpendiculaire sur la tangente, et se irouvo divisée en deux parties égales par cette tangente.
D'un autre côté, l'axe des y, parallèle à DD', étant mené par le point A milieu de BF, passe nécessairement par le milieu de FG.
Donc le pied I de ia perpendiculaire abaissée du point F sur la tangente est situé sur l'axe des/.
Ce qui démontre que
iSï dufnycr on abaisse des perpendicalaircs siir les tangentes, le liei! GÉûUBlBlQiiB des pieds de toutes ces perpendiculaires n'est mare chose que le second axe de la parabole.
Cette propriété correspond à celle du n" 201 relative à l'ellipse.
g III. — Diamètres ue l.\ parabole. — Axes conjugoés.
271. En partant de la définition générale du diamètre d'une courbe [177), il est facile de reconnaître que, dans la parabole (Jig. 124), ions les diamètres sont des droites parallèles à l'axe principal.
En etîet, si l'on combine l'équation
y'=ipx avec l'équation générale
d'une cordu, telle que MM', et que l'on élimine d'abord l'iibscJsse x, i!
Or, en désignant par x' et j', x" et y" les coordonnées des points M, M' communs a la courbe et à la corde, puis par X et Y celles du point mi- /leuN, ona(961
d'un autre côtô, l'équation (i) étant du second degré en j-, la moitié du coefficient de y, pris en signe contraire, est Èsale à ^— ,— ^- ■ D'oil résulte la relation
Comme la quantité a est une constante pour touttis !es cordes paratlcks à MM', il s'ensuit que la valeur de Y est elle-mûme une constante, quel que soit X.
L'équation (a) est donc celle du lieu géoméirii/ue des points miliaiix de toutes les cordes ; et l'on voit que ce lieu n'est autre chose qu'«/;e droite parallèle à l'axe principal.
472. Axes conjugués. — De l'équation [2) on déduit pour lu cocj/icient d'inclinaison de la corde MM' par rapport au diamètre LL' ou à l'axe AX, qui lui est parallèle,
Y représentant l'ordonnée du point L.
Or ce coefficient est aussi (264) celui de la tangente II' au môme point L.
Donc la tangente en un jjoint de la parabole est parallèle à toutes les coi-des par le milieu desquelles passe le diamètre correspondant à cette tangente.
On donne le nom d'AXEs coraueuiis au système des deux droites LL', II', dont le système des axes principaux n'est, en quelque aorte, qu'un cas paiiiuulier.
De la parabole rapportée à un système d'axes conjugués.
273, Il résulte évidemment de ce qui vient d'être dit, que l'équation de la parabole ra/i/iortee à un système d'axes conjugués k'X', 1^'Y' (Jîg. 125)
PHOPR. BE LA COURBE RAPPORTÉE A DES AXES CONJUGUÉS. aGl
doit être de la formo
i étant une constante, qui dépend de la position du point A sur la courbe.
Afin de déterminer par l'analyse la valeur de cette constante, nous procéderons comme pour l'ellipse et V hyperbole (20i et 238) ; et nous nous proposerons cette question :
Étant donnée l'éiirialion de la parabole rapportée à ses aa;es principaux, trouver i'êqaatioa de la même courbe rapportée à un système quelconque rf'AXES CONJUGUÉS, c'est-à-dire à un systÈmè tel, que l'équa^ tion conserve la forme qu'elle affecte quand la courbe est rapportée à ses axes principaux: .
L'équation de la parabole rapportée à ses axes principaux étant (,) y' = o.pœ,
substituons pour x, y leurs valeurs
au moyen desquelles (115) on passe d'un système rectangulaire à un système oblique d'origine différente; il vient
isin=o:>-'+2siaa'sinaj7;--i-sin'a^'-l-(a6sina'--2pcos't')j '*' I ^-{a6sln5!— 2^cosH):c-i-fi"- ajjfl~o.
Cette équation devant se réduire à la forme
f^-- kx, il faut poser les relations de condition
èsinx'— /îCOSx'= o, 6'— ipa ~o; et l'équation (a} devient alors
Avant d'évaluer géométriquement le coefficient de x, remarquons d'abord que la seconde relation de condition entraînant nécessairement la première, on n'a réellement que trois équations distinctes pour déterminer les quatre quantités a, a!, a, b.
Ainsi le nombre des systèmes d'axes par rapport auxquels l'équatîon kl forme ci-dessus est INFINI.
DE LA PABABOI.E.
La relation
nous apprend d'ailleurs que le nouvel axe des x, qui, d'après la torme de l'équation (3), est un diamètre de la courbe, est parallèle à l'axe principal; ce qui conSrme le résultat énoncé n^a?!, savoir que, dans la pa- EADOLB, tous les dicunètres sont des parallèles à l'are principal. En second lieu, la relation
y-^pa = c
étant ce que devient l'équatioi
lorsque l'on y remplace a: et j par les coordonnées a et 6 de la 'îo«i'i origine, on doit conclure que ceCle origine est placée sur la eourhe. Donnant ka une valeur arbitraire [Jlg. ia5), on tirera del'équatioi
la valeur correspondante de b, et le point A' déterminé par c représentera la nouvelle origine.
Enfin, la relation
expression qui, comparée à la valeur
trouvée pour le coefiicient d'inclinaison de la tangente à la prouve que te nouvel axe des y est tangent à la courbe.
(Ces résultats s'accordent avec ce qui a été dit au n" 272 si conjugués.)
Reprenant le coefficient de a; dans l'équation (3), on voit que
et, par conséquent,
Or, si l'on suppose que AQ soit l'abscisse de !a nouvelle origine A' rfipportÉe aux anciens ases, et que l'on tire le rayon vecteur VA', on sait (267) que ce rayon veoUsur a pour expression
■e que le coefficient dt x dnns l'êrjuation (3), ou le. paramètre de la parabole rapportée a un irstème el'aj:es conjugués, est égal au quadruple de la distance dufoter à la nouivlle origine. Désignant par i.p' ce nouveau pnrainèli-e, on obtient
pour l'équation de \a parabole rapportée à l'un de ses diamètres.
Nous pourrions encore ici, comme nous l'avons fait pour Yellipse el Xfyperhole, nous proposer, réciproquement, de passer de l'équation de la parabole rapportés h un système d'axes roiijugaés, à celle de la courber rapportée h ses axes principaux i mais ce calcul ne conduirait à aucun résultat important.
27i. L'ét] lia lion
prouve que, pow un système quelconque rf'AxKS conjugués, les carrés des ordonnées sont proportionnels aux abscisses correspondantes; c'est la propriété du n° 260 généralisée, puisque les axes principaux forment un système particulier â'axes conjugués.
Cette propriété étant vraie quelle que soit l'inclinaison des axes, on peut, par un procédé analogue à celui qui a été employé (âiO) pour l'ellipse, construire la parabole, connaissant Vangle de deux axes conjuguas et le paramètre correspondant.
Soient AX, AY les deux axes conjugués donnés.
ÉlcocT. au point A une perpendiculaire AY' à AX {.fig. 126), et coït struisez sur AX, AY', considérés comme axes principaux, une parabole ANN' ayant ip' pour paramètre ; niciicz ensuite de différents poims
264 ï*" !■* PABAIOLE.
P, P', ... des parallèles à AY' et à AY, et prenez des parties PM,
P'M',... -^§-<ifej«PN, P'N',....
Les points M, M', - - . appartiendroiil à la courbe demandée.
De la tangente à la parabole rapportée à an système d'axes conjugués.
273. Tangente menée par un point pris sur la courbe, et soustangente. — La solution, du problème des tangentes éUnt indépendante ds l'inclinaison des axes, on a pour l'équation de la tansenle en un point M (lE, /}de la courbe [fi^. laS),
ou, simplifiant à l'aide de la relation 7" = a//j;',
yy' = p'[x-^x'\.
Si l'on fait y = a dans cette dernière équation, on trouve
j:^--x' ou A'R^-A'P.
La mâme hypothèse introduito dans l'équation non simplifiée do la tangente donne
pour l'expression de la sotts-tangente PR ; d'où l'on voit que la sous-tangente est négalii'e et numériquemEnt dourlb de l'abscisse du point de
Ces résultats sont conformes à ceux du n" 26i.
Quant à la propriété démontrée n° 2û3 pour la sous-noumaië, elle no saurait exister par rapport à des axes conjugués obliques, puisque le coeEScient de -z dans l'équation de la normale dépend essentiellement (61) de leur inclinaison.
276. Tangente menée par un point extérieur. — Si l'on propose de mener une tangente par un pointN [fig. la?) ovi (a, S) donné Iwrs de la courbe, on a, pour déterminer les coordonnées j?', y' du p<iin( de contact, les équations
y"=ip'x' et Sy'=-.p'{ii-hx').
Mais au lion d'effectuer l'élimination, on peut, comme au n° ^12, en ro-
r.\NG. A LA. COURBE RAPPORTÉE k DES AXKS CONJUGUÉS. 265
gardant ^r', y comme des variables, construire les lieux géomciriques de ces équations.
La première représente évidemment la parabole déjà conutndie.
Quant à la seconde, qui représente une ligne droite, en y faisant successivement
on trouve
Si l'on porte sur les axes AX, AY des parties AP, AH rcspcclivoment
égales à — ï, ^1 et qu'on tire la droite PH, on &]& second Ucu géomé-
trique demandéi ainsi les points M, m, où cette droite de jmiction coupe la courbe, sont les points de contact des deux tangentes qui doivent passer par le point N.
Comme le résultat a;' = — a correspondant ky'—o ne dépend pas de l'ordonnée 6 du point N, il s'ensuit que, si l'on prend un autre j/oint qaetcnnque N' sur une droite UL' pai-allèle à l'axe des j, menée par le point N, et que l'on tire les deux tangentes N' M', N 'm', \9 ligne de jonction des nouveaux points de contact M', m' doit passer par le même point P de l'axe AX.
Cette droite LL' pouvant ôlre considérée comme située à volonté sur le plan de la courbe, on en conclut, comme pour ¥eltij/se eiV hyperbole (212 et 224), la propositiott suivante, dont la réciproque {wo/es le n" 213) est également vraie :
Une droite étant tracée arbitrairement dans le plan d^une parabole, si, de chacun de ses points, on mène deux tangentes à la courbe, et que l'on /oigne les deux points de contact par une droite, ces droites de jonction, appelées liGNES DE CONTACT, doivent toutes passer par un même point, Irquel se trouve placé sur l'axe conjugué de celui qui est parallèle à la droite ilonnée.
Le point do concours P est le pôle de la droite LL', qui est dite polaire.
n faut observer toutefois que, si la droite donnée était une parallèle LL' {^g. laS) à l'axe principal, c'est-à-dire un diamètre, les lignes de Jonction des points .de contact M et m. M' et m',. . . ne concourraient plus en un même point, mais elles servent toutes parallèles entre elles; c'està-dire qu'alors elles se rencontreraient toutes à \'infni sur Vaxe conjugué de ce diamètre.
En elïet, supposons pour un inslant la courbe rapportée à ce diamètre et à son axe conjugué ÂY ; comme , pour un point K de la ligne IL', on
3bb DE i.\
a " quelconque, mais ê égal à o, il s'ensuit que les résultats
obtenus ci-dessus et correspondant respectivement à se réduisent à
d'où l'on voit quo la ligne de jonction des deux points de contact M et m va rencontrer l'axe des y h, l'infini.
On arriverait à la même conclusion en remarquant que la ligne de jonclion dont i'équation est, généralement, de la forme
se réduit, dans l'hypotliÈse de ê = o, à
dwr.niire ;/(" + «') = «;
ce qui est l'équation d'une droite parallèle à l'axe des j'.
lON.NtËS rOLAlBES.
