Quant à la seconde valeur de a;, on peut l'écrire ainsi

Abstraction faite du signe , il faut donc à.y'a* -f- J a* ou à AC ajouter la.

3f APPLICATION DEI PilNCIPII

OH CBy OU Ciy^ ce qui donne ^ZX, ligne formée en prolongeant -r^C jusqu'à la rencontre de la circonférence en ly. Mai» que signifie le signe — de cette ligne ? Par le n^ 36 de l'Algèbre , il faut retourner à l'équation a:* = a* — ox , et récrire ainsi x^ = a^ -{^ ax ou a?* = a ( a + ^ ) , d'où l'on tire la proportion a:x::x: a + x; ce qui nous apprend que x, qui est ici -^ZX, est moyenne proportionnelle entre AB et AB-^ Alf.

Nous avons donc, pour les deux valeurs de x, qui sont j^D et ^ZX, ces deux proportions :

AB.AD\\AD\AB'^AD, AB\ AU r.AU.ABr^Ajy.

£t par conséquent la première valeur ou AD répond à notre première ques. tion , que l'on peut du reste énoncer de cette manière :

Trouver une ligne moyenne proportionnelle entre une cadre ligne donnée et la différence des deux.

La seconde valeur de x ou Aiy répond à cette autre question :

Trouver une ligne moyenne proportionnelle entre une autre ligne donnée et la somme des deux ( * )•

57. On peut observer ici que notre construction géométrique , considérée d*ane manière abstraite et théorique , a donné exactement ies valeurs de x ; tandis que le calcul ne les aurait données <^e par approxUnation (n*. 64).' Mais dans la pratique l'erreur qui résulterait nécessairement , soit de l'imperfection des instrumens , soit de l'inexactitude de l'opération , serait plua grande que celle du calcul ; car celle-ci pourrait être a.tténuée à volonté em poussant l'approximation aussi loin qu'on le voudrait.

£8. Deux droites 9Leth étant données , en trouver une troisième x , telle que la seconde soit moyenne pr(^H^tionnelle entre cette troisième et la somme de cdle^ et de la première.

On a tout de suite x:b::b\x + a» ce qui conduit à l'équation # . • . . a?* + aa? == A* ; laquelle étant résolue don ne ;

Or il est évident que ee$ valeurs de x se construiront comme dans la question précédente, et qu'elles «erout AD et AD^^ si, pour ne pâ3 changer de figure, on suppose BCzs^la et ABrszb.

Mais pour savoir à quelle question répond la seconde valeur ^iX, qui est

(*) Francœur a considéré cette seconde valeur de x comme insisnifiante , mais on voit qu'elle ne Test pas«

X DBS fiUX8TI0VS!'pABTICULliB£S. Si

affectée du digne — , nous retournerons à Téquation a?* + ûfa? s> 6* , et nou récrirons ainsi a:* — aa? = fr*; ensorte que la proportion d'où provient Téquation deviendra sc:b::b:x — a; ce qui fait voir que la seconde valeur de X ou jiiy répond à cette question :

' Deux droites a rf b étant données , en trouver une troisième x , telle que la seconde soit moyenne proportionnelle entre cette troisième et la diffé^ rence de celle-ci et de la première.

Les deux valeurs de x étant jàD et Aiy, AB étant b et BC étant | a, la première proportion peut s'écrire ainsi : AD : AB : : AB : AD+2BCy ou , ce qui revient au même , AD : AB : : AB : AD + DD^y ou encore :

AD:AB::AB: AD'; et la seconde peut s'écrire de cette manière : AD' : AB : : AB : ADf^^^DDf

ou y en réduisant :

Aiy.ABr.AB^AD.

C'est-à-dire que les deux valeurs de x forment dans les deux cas les deux extrêmes d'une seule et même proportion (Faites as=:12, ô = 8.)-

59. Partager une droite donnée a en deux parties entre lesquelles une autre droite donnée b soit moyenne proportionnelle.

Soit Tune des parties x , l'autre sera a-— jp , et l'on aura xib:\bi a^-^x; ce qui donnera l'équation : jp* — «x =— ^, d' où Ton tirera :

D'après le n^. 48 » pour construire la partie radicale de a; , il faut ici , sur une ligue AC^ fig. 10, égale à \ AB ou égale à | a , et prise pour diamètre , décrire xm cercle, porter ensuite en AE la ligne b , comm e corde de ce cercle, puis joindre CE; cette dernière ligne sera ^|a^ ~ À^ £t comme en doit , pour avoir lea deux valeurs de x , ajouter ce radical à | a et l'en retrancher, on fera tourner CE sur le point C, comme sur un centre, afin que cette ligne se place d'abord en CD sur le prolongement de AC^ et ensuite en ffy sur AC même ; il est clair que les deux valeurs de x , toutes deux en plus , puisque y'i^*"—^* < s ^ > seront AD et AD'. On aura donc :

AD:AE:.AE:DB, AD':AE:.AE:D'B. v

Mais DB=CB — CD=CA — CD'zzzAD'; et puisque le deraier terme de la première proportion égale le premier de la seconde , et que les moyens sont les mêmes , il faut bien que les deux autres extrêmes soient égaux. Ainsi Ton peut écrire :

ADiAEiiAEiAD', AD':AE::AE:AD,

3!^ APPLICATION DES PRINClPltS

ce qui ne fait, comme on voit, qu'une scfule et même proportion ; les deux parties de k ligne AB étant toujours AD et -^i>% et la lettre x ne devant pas plus représenter Tune que l'autre.

60. Du reste, voici, pour ce cas, une construction un peu diâ^rente, et -^ qui offre quelques avantages. Ayant pris une ligne GG^ fig. H , égale à &, puis ayant mené une droite indéfinie perpendiculaire à l'extrémité C de GC

si depuis le point G , pris pour centre , et avec un rayon égal à | a , on décrit une circonférence, elle coupera en général la droite indéfinie en deux points D et Zy, et les triangles GCI>\ GCD', donneront CD ou CD', égale à . .

V^ I a* — A* ; faisant alors C/1 == -| a , on aura :

AD^la + ^la" — iS AD^ — la — y^ja» — 6*.

61. Il est clair que si ^a était égal à 6, le radical s'annullerait • et la

foiTOule deviendrait x = | a ; ce qui donn^ait la proportion •

\a:\a::la:\a. Dans ce cas , la droite ilC de la fig. 11, au lieu d'être sécante du cercle décrit avec \a om b pour rayon , en deviendrait tangente au point C, et les points /) et Z^ se confondraient avec le point C; d'où résulterait AD — AD^=zACz=\a.

Mais si l'on donnait la ligne b plus grande que la ligne |a, on aurait . . . 6* > Ja*, et les deux valeurs de x seraient imaginaires ou le problème serait impossible. Dans ce cas , le cercle de la fig. 11, décrit avec un rayon 1 a plus petit que b ou que CG, n'atteindrcùt pas la droite ilC, et les lignes AD y AD'^ n'auraient aucune existence.

62. Nous avons à faire ici une observation assez importante : si on demandait de construire l'équation générale du second degré x*±/?x2h:Ç^ = o> on pourrait d'abord l'écrire ainsi (n^ 4f ): a;*+/?xH::<7/=o; puis, en procé* dant comme au n*^. 51 , on la ramènerait à cette" forme : a*it:;^a;±:^*= o. Cela posé il est évident que dans les n^^ 58 et 59 nous avons examiné tous les cas de l'équation du second degré , sauf celui-ci :

a:*+/ix = — <*. ^

Mais en résolvant cette équation , on trouve :

a: = — lP±:VïP^ — '*»

or comme V'ip*— ^f* est plus petit que ^p^ il en résulte qu'ici les deux valeurs de x sont en moins. Il faut donc , par le n*, 35 de l'Algèbre , écrire ainsi l'équation proposée :

alo*