X PE4 QUESTION! ? ARTICULI^IES. 3S

alors et sera le cas du n^ 59 y et les deux valeurs de x , la question étant ainsi, rectifiée, se trouveront toutes deux en plus,

63. Etant donnés déposition une droite indéfinie XY ^ et deux points ji, et B hors de cette droite , de manière cependant que ces points et la droite soient dans un même pleut , on derncmde de décrire un cercle gui passe par ces deux points , et qui soit tangent à la droite.

Puisque le cercle cherché doit passer par les deux points A et 3j la droite jéBy qui joint ces deux points, sera une corde, et si ces points sont à une même distance de l'indéfinie XF la corde y4B sera parallèle à cette indéfinie , *qui doit devenir tangente. Dans ce cas si Ton mène une perpendiculaire sur le milieu de j^B elle passera par le centre , et elle ira marquer sur l'indéfinie le point de contact de cette ligne avec le cercle. Or dans tous les cas le problème se réduit à déterminer ce point de contact , puisqu'on sait faire passer une circonférence par trois points non en ligne droite.

Si les points ^ et i? ne sont pas à une même distance de Tindéfinie , celle-ci sera rencontrée par le prolongement de la corde jàB dans un point comme /> , et il faudra déterminer la distance du point de contact M kce point />. Supposons le problème résolu , nous aurons , par la propriété de la tangente et de là sécante ,

AD:MD:'.MD:BD ou AD.xwx.BD; or AD et BD sont des quantités connues , parce que les points ^ et i? sont donnés de position relativement à l'indéfinie , il faut donc les désigner comme telles par de petites lettres; mais pour avoir la construction la plus élégante , on a trouvé qu'en supposant le point C le milieu de AB^ il fallait prendre CD 4- ilC à la place de AD, et CD — CB ou CD^^AQ à la place de i?/> ;

faisant donc CD^sza et ACz=,b, la proportion précédente devient

a-^h \ X \\x \ a—^ b ; ce qui donne j* = a* — 6* , et par conséquent ,

x-=^':\i^ci? — 6*.

On décrira donc sur CD ou a, prise pour diamètre » une circonférence C ED, on fera tourner CA ou 6 en CE, et Ion joindra DE qui vaudra . • . y'a* — b^ et représentera , par conséquent , la grandeur de x. Mais comme cette quantité doit être prise sur l'indéfinie , on fera encore tourner DE jusqu'en DM, pour avoir le poUit M qu'il fallait trouver.

Voilà donc DM qm est la première valeur de x , mais quelle est la seconde? On voit que sa grandeur est la même, et qu'elle ne diffère de l'autre que par le signe. Or si l'on reprend l'équation x^z=ia^ — b^, la

34 APPLICATION' DES PBINCIPIS

règle du n®. 35 de FAIgèbre ne permet ici aucun changement ; il n'y a donc point d'autre question résolue avec la proposée. Dans tous ies cas de ce genre , on trouvera de deux choses l'une , ou la valeur en — pourra être prise en sens contraire de celle en + j ou elle sera absolument insignifiante. Ici, par exemple, on verra qufe Z>i^^peut se placer sur Tindéfinie où dans un^ens ou dans l'autre, à compter du point D ; et donner ainsi un nouveau point N , par lequel et par les points A et B on peut faire passer un second cercle. Ainsi les deux valeurs de x sont DM et DN; elles sont égales, et les deux signes + et — n'indiquent que des directions opposées ( Voyez , après le Chap. IX de la seconde partie , la digression suf le sens du signe moins dans quelques formules^.

64 Une figure quelconque étant donnée , en construire une semblable , et telle que faire de la première soit à Faire de la seconde dans le rapport de la droite ma la droite n.

Puisque les surfaces des figures semblables sont entr'elles comme les carrés de leurs dimensions homolo^es , il suffira que ces carrés soient entr'eux comme m à n. D*ailleui*s le problème se réduit à trouver une dimension x de la seconde figure , homologue à la dimension a de la première ; ainsi l'on a m : fi : : a* : »* , ce qui donne :

et x=±V— = + <» V— =±-'V

•u , ce qui revient au même :

On prendra donc d'abord une ligne/) moyenne proportionnelle entre m et h, pour avoir p = \/mn , et ensuite une ligne x quatrième proportionnelle à m k actkp; ce sera !a dimension cherchée de la figure demandée.

Quant à la seconde valeur de a:, on voit bien qu'elle est insignifiante; que serait la dimension dont il s'agit prise en sens contraire? Il n'y a rien eu de déterminé sur la positition des figures qui ont fait le sujet de ce problème.

65. Plusieurs figures semblables étant données , en trouver une égale à leur .somme ou à leur différence , et qui leur soit aussi semblable.

Le problème se réduit à trouver une dimension de cette figure homologue à telle ou telle dimension des autres. Soient donc -^ , -^' , ^" ^ etc. , ies aires des figures données , et X celle de la figwe demandée ; soient