TRIGONOMÉTRIE RECTILIGNE

Notions préliminaires.

66. X B0I9 points non en ligne droite , situés à la surface de la terre ou dans l'espace , peuvent toujours être considérés comme les sommets des trois angles d'un triangle , dont les côtés ne sont autre chose que les distances respectives de ces mêmes points. Or un triangle , sauf une ou deux exceptions , est déterminé par trois de seîs parties , sur les six dont il est composé ; c'est- à -dire que les trois angles et les trois côtés d'un triangle dépendent tellement les uns des autres qu'en général la grandeur de trois de ces choses étant fixée celle des autres ne peut plus varier ( Géom. Liv. IL Th. IV et SchoL I. IL IIL ). Si l'on peut donc mesurer immédiatement trois parties d'un triangle , comme cela arrive souvent dans la pratique , on doit pouvoir en conclure la grandeur des autres parties, sans mesurer celles-ci; sauf, comme nous l'avons dit , un cas ou deux dans lesquels le triangle n'est pas déterminé.

Pour faire voir comment on peut mesurer tel ou tel angle, et tel ou tel côté d'un triangle , nous allons parler d'abord de la division de la circonfé* rence en degrés , minutes et secondes , et donner la description de quelques instrumens les plus simples , qui servent à ces mesures.

67. ^ Jusqu'à ces derniers temps les géomètres s'étaient accordés à diviser la circonférence en 360 parties égales appelées degrés , le degré en 60 minutes y la minute en 60 secondes , etc. Ce mode présentait quelques facilités dans la pratique , à cause du grand nombre de diviseurs de 60 et de 360 ;

TBIGONOHÉTBIE UCTIUGNE ; NOTIONS PKÉLIMINAIREf. 37

mais il était réellement sujet à rinconvénient des nombres complexes, et il nuisait souvent à la rapidité^ du calcul. „

" Les savans à qui on doit l'invention du nouveau système des poids et jnesm^es ont pensé qu'il y aurait un grand avantage à intioduire la division décimale dans la mesure des angles. £n conséquence ils ont regardé comme unité principale le quart de circonférence ou le quadrant , mesure de l'angle droit, et ils ont divisé cette unité en 100 parties égales appelées degrés^ le degré en 100 minutes^ tt la minute en 100 secondes. »

* Nous n'emploîrons désormais que la nouvelle division ou la 'division décimale de la circonférence. C'est celle qui convient le mieux à la nature de notre arithmétique , et qui est la plus propre à abréger les calculs.^,

^ Les degrés , minutes et secondes se désignent respectivement par les caractères ^, ', ", : ainsi l'expression it^6f1b" représente un arc ou un angle de 16 degrés 6 minutes 76 secondes. Si on rapportait ce même arc au quadrant, pris pour unité, il s'exprimerait par 0.160675. On voit, en même temps, que l'angle mesuré par cet arc est à l'angle droit comme 160675 est à 1000000, rapport qu'on ne déduirait pas aussi facilement des expressions données par l'ancienne division de la circonférence. »

* Les arcs et les angles sont exprimés indistinctement, dans le calcul, far des nombres de degrés , minutes et secondes. Ainsi nous désignerons l'angle droit ou le quadrant par 100^ , deux angles droits ou la demi-circonférence par 200^ , quatre anglea droits ou la circonférence entière par AOO^; ainsi de suite. ^ (Legendre).

Il faut observer à cet égard une chose assez importante , c'est que si un angle ne change point, les arcs décrits entre ses côtés et depuis son sommet pour centre , avec des rayons inégaux, seront toujours des portions semblables des circonférences entières; et contiendront par conséquent le même nombre de degrés , minutes , etc. : car on sait ( Géom. Liv. Y. Th. XXIL Sch. n. ) , que dans deux circonférences les arcs qui répondent à des angles au centre égaux sont entr'eux comme les circonférences. £n nommant les circonfères c et d ^ et les arcs a et a% on di a'.a'::c:d ; mais a est une portion de c et a' une portion de c^ , on peut donc écrire :

d'où Ton ûre ec^n = c&m et n=:m.

Il devient donc indifférent que le rayon soit plus grand ou plus petit ; s'îf

38 TRIGONOMÉTRIE RECTILIONE;

est plus grand les degrés seront plus grands , puisqu'ils sont entr*eux comme les circonférences , et par conséquent comme les rayons ; mais leur nombre sei'a toujours le même. Ainsi pour comparer les angles nous pourrons comparer le nombre 'des degrés des arcs décrite entre leurs côtés avec des rayons quelconques égaux ou inégaux.

68. Pour mesurer les angles sur le terrain, on emploie des instrument , qui sont toujours ou des cercles ou des portions de cercles divisés en degrés.' Le graphomètre sufBt dans bien des cas.

^ C'est un demi-cercle de cuivre, fig. 13, divisé en 200*, et sur lequel on marque même les demi-degrés , selon la grandeur de son diamètre. La demi-circonférence DHB , sur laquelle les divisions sont marquées , n'est pas une simple ligne ; c'est une couronne demi - circulaire , à laquelle l'ouvrier donne plus ou moins de largeur; et cette couronne est ce qu'on appelle le limbe de lïnstruraent Le diamètre DB fèiit corps arec l'instrument ; mais le diamètre EG^ qu'on nomme alidade y n'y est assujetti que par le centre j4^ autour duquel il peut tourner, et parcourir par son extrémité C toutes les divisions de l'instrument. Chacun de ces deux diamètres est garni à ses deux extrémités de pinnules ( * ) , à travers lesquelles on regarde les objets. Quel* quefois, au lieu de pinnules, chacun de ces deux diamètres porte une lunette. Celle qui répond au diamètre BD est parallèle à ce diamètre; l'autre, fixée à l'alidade JEC, peut se mouvoir avec elle, et s'incliner un peu sur elle, afin de n'être pas obligé de déranger le plan de l'instrument pour aperce* voir les objets qui ^seraient un peu élevés ou abaissés à l'égard de ce plan. L'instrument est porté sur un pied , et peut , sans rien changer à la position du pied , être incliné dans tous les sens , selon le besoin. ,3

* Pour rendre le graphomètre propre à mesurer les angles avec plus de* précision, à indiquer les parties de degré, on fait, le plus souvent, sur la largeur et à Textrémité du- diamètre mobile des divisions qui , selon' la manière dont elles correspondent à celles du limbe , servent à connaître les parties de degré de 10 en 10 minutes, ou de 6 en 5 minutes, ou etc. »

« Pour mesurer un angle avec cet instrument, par exemple, pour mesurer

(*) Ce sont des lames métalliques plaeées à équerre sur les diamètres et fendues de haut en bas dans le milieu de leur largeur , comme cm le voit dans la ^ure. On viséà Tobjet à travers ces ouvertures , afin qu'il se trouve sur une droite qui soit le prolongement du diamètre.

NOTIONS PRÉtlMIN AIBES, 39

Fanglc que formeraient au point A les lignes qu'on imaginerait tirées de ce point aux deux objets G ti F^ on place le centre du graphomètre en -^, et on dispose Tinstrument de OMinière qu'en regardant à travers les pinnules du diamètre fixe BD on aperçoive un de ces objets F^ et qu'en même temps I autre objet G se trouve dans le prolongement du plan de l'instrument; co qu'on fait en inclinant plus ou moins le graphomètre : alors on fa^t mouvoir l'alidade EC jusqu'à-ée qu'on puisse apercevoir l'objet G à travers les pinnules £ et C; l'arc BC^ compris entre les deux diamètres, est la mesure de l'angle GAF. „

" Lorsqu'on veut employer le graphomètre à mesurer des angles dans un plan vertical , c'est - à - dii^e des angles foimés dans un plan qui passe par ce qu'on fqf)peUe une ligne à-plomb , on donne au plan de l'instrument la position verticale, à l'aide d'un poids suspendu par un fil, dont on attache une extrémité au centre du graphomètre : lorsque le fil rase ie bord de l'kistrument, le graphomètre a la disposition convenable. ^ (Bézout).

69. Pour mesurer une ligne droite sur le terrain, on se sert, dans les opérations ordinaires, de la chaîne d arpenteur j c'est une mesure composée de plusieurs pièces de gros ^ de fer , qui ont chacime un décimètre ou un double décimètre de longueur, en y comprenant les anneaux qui les joignent ensemble. On peut lui donner en tout dix mètres ou un décamètre, et chaque mètre est distingué par un plus grand anneau. Ceux des deux extrémités de la chaîne sont assez gr^ds pour qu'on puisse y passer la main. Deux hommes portent cette chaîne par les- deux bouts , et l'appliqueînt bien tendue sur le terrain , toujours dans la même direction. Pour marquer chaque fois le point où l'extrémité de la chaîne tendue arrive , le premier porte - chaîne plante une Jiche , c'est-à-dire une baguette de fer de trois à quatre décimètres de longueur , pointue par un bout , et ajant un anneau à l'autre bout. Le second porte-chakie ramasse ces fiches à mesure qu'il les rencontre , et autant il en a ramassé autant la longueur qu'U s'agissait de mesurer contient de chaînes. Les fractions s'estinxent par les fractions de la chaîne.

Les extrémités de ces lignes droites qu'on veut évaluer, et quelquefois les points intermédiaires , se marquent par des jalons; ce sont des bâtons droits plus ou moins longs , garnis par un de leurs bouts d'un fer pointu , qui permet de les enfoncer dans la terre , et poitant à l'autre bout un papier blanc qui les fait distinguer avec plus de facilité depuis une certaine distance»

70, Cela posé 9 soient ^, B^ C, fig. 15; trois points situés à la surface

4t TRiooNOuirniz rbctilighe;

de la terre, supposons que Ton ait mesuré l'angle ^, l'angle ^, et le côté c, on en peut d abord conclure l'angle C, puisque les trois angles d'un triangle valent deux droits; maài on doit pouvoir en conclure encore la grandeur des côtés a et 6 , puisque le triangle est déterminé par les données actuelles (*).

Or il est clair que lorsqu'on saura trouver les parties inconnues d'un triangle au moyen des parties connues, on p>ourra calculer les distances inacces* sibles , et déterminer la position relative de tant de points visibles qu'on voudra , situés^ à la surface de la terre ou dans l'espace.

Cette grandeur de a et de 6, avec les données actuelles, peut se trouver par la simple géométrie, en partant de la propriété des triangles équiaiigles enu-'eux d'avoir leurs côtés homologues proportionnels. Mais il faut alors uvt nouvel instrument qui permette de faire sur le papier des angles égaux à ceux qu'on a mesurés sur le terrain. Cet instrument, fig. 14, qu'on appelle rap^ porteur^ sert aussi à mesurer sur le papier les angles déjà faits.

" C'est un demi-cercle de cuivre ou de corne , divisé en 200^ Le centre de cet instrument est marqué par une petite échancrure C Quand on veut mesurer un angle , tel que ECD , on applique le centre sur le sonunet C de l'angle qu'on veut mesurer , et le rayon CB du même instrument sur l'un des côtés CD de cet angle; alors le côté CjE, prolongé s'il est nécessaire ^ fait connaître , par celle des divisions de l'instrument par laquelle il passe , de combien de degrés est l'arc du rapporteur compris entre les côtés de Tangle - ECD , et par conséquent de combien de degrés est cet angle, n

* Pour faire , avec le même instrument , un angle d'un nombre déterminé de degrés , on applique le rayon CB de l'instrument sur la ligne qui doit servir de côté à l'angle qu'on veut former , |et de manière que le centre C soit sur le point où cet angle doit avoir son sommet; puis cherchant, sur les divisions de l'instrument , le nombre de degrés en question , on marque sur le papier un point en cet endroit ; par ce point , et par le sommet , on tiie une ligne droite CE , qui fait alors , avec la première , l'angle (demandé. » (Bézout).

Il faut de plus avoir une échelle ^ c'est, comme nous l'avons dit (n*. 7 note)^

une

(*) Nous désignerons ordinairement les angles des triangles par de grandes lettres, et leurs cotés opposés paries petites lettres correspondantes (n*. 6).

K0TI0N8 PRÉLIMINAIRES* ^ ^ Ai

tue longueur arbitraire mais proportionnée au papier sur lequel on opère^ et qui doit être divisée en parties égales.

On trace alors sur le papier une droite A'ffy fig. 16, à laquelle on donne autanl de paities de l'échelle, qu'il y a de mètres dans la base AB, et l'on fait avec le rapporteur en A' et -fl' , des angles égaux aux angles mesurés A et B; en prolongeant les lignes -^'C, -5'(7 ^ jusqu'à-ce qu'elles se rencontrent en C Les deux triangles ABC y A'ffC sont équiangles entr'eux, et autant on trouve de parties de l'échelle dans jfC et B'C autant il y a de mètres dans AC et £C. •

On pourrait aussi, sans graphomètre et sans rapporteur, faire sur le papier un triangle semblable au triangle ABC^ et cela au moyen de la plancheltCj instiumeot très -simple et très «commode dans bien des cas; mais nous n'entrerons pas dans ce détail.

71. Une chose essentielle à remarquer, c'est que toutes ces méthodes graphiques sont très-sujettes à erreur ; car plus on emploie d'instrumens , plus, on est exposé à se tromper. On a donc senti qu'il était nécessaire , pour obtenir un certain degré de précision , d'en revenir au calcul , et de n'employer que (c plus petit nombre d'instrumens possibles.

Or trouver par le calcul la grandeur des parties inconnues d'un triangle, au moyen de celles qui sont connues , c'est ce qu'on appelle résoudre le triangle ; et Ton nomme trigonométrie la science qui nous fait connaître les principes nécessaires à cette résolution. Lorsque les côtés des triangles sont des lignes droites, la trigonométrie est recttUgne on plane; et quand les triangles^ ont pour côtés des arcs de grands cercles tracés sur une sphère, la trigonométrie est sphérigue.

Cette science est sans doute une partie ^e la géométrie ; elle semble même appartenir aux élémcns ; mais à cause de l'importance de son objet , du but spécial qu'elle se propose , et des dé veloppemens qu'elle exige , on en fait une branche à part. Il parait que les principes de la trigonométrie rectiligne n'étaient pas ignorés des Egyptiens , et qu'ils étaient familiers aux Grecs ; mais la naissance de la trigonométrie sphérique a été plus tardive. Ce sont les Arabes qui les ont perfectionnées l'une et l'autre. Nous allons nous occuper de la première.

72. Pour entrer en matière, observons que dans le cas où Ton connaît les trois . angles d'un triangle , sans connaître aucun de ses côtés , le triangle n'est nullement déterminé ( Géom. Liv. IL n^. 22). U faut donc toujours^

42 TRIGONOMÉTRIE RECTiLiGNE;

pour pouvoir résoudre un triangle , qu'il y ait un côté parmi les Iroîs choses connues. Ainsi nous aurons à examiner les cas suivans :

r. Un côté connu, et deux angles connus de grandeur et de poskion;

2^. Deux côtés connus , et un angle connu de grandeur et de position ;

3®. Trois côtés connus. *»

Premier cas de la résolution des triangles.

Définition et usages des sinus.

73. On connaît un côté du triangle et deux angles , on connaît donc aussi le troisième angle ; ainsi on peut supposer que Iq côté connu est adjacent aux deux angles connus ; comme si Ton atltit, dans la figure 15, le côté c et les angles A et B. La question est donc de calculer les côtés a et b.

Trois quantités connues en font trouver une quatrième j quand les quatre forment une proportion. On a donc cherché si les côtés d'un triangle étaient entr'eux comme les angles opposés à ces côtés ; ce que Ton aurait pu soupçonner d'abord, parce que dans un triangle un plus grand angle répond à un plus grand côté , et réciproquement ; mais on a trouvé que cette proportion n'avait point lieu: ce qui est évident par cette seule observation particulière, que l'hypothénuse d'un triangle rectangle n'est pas égale à la somme des deux autres côtés , quoique l'angle droit soit égal à la somme de» deux autres angles.

Les côtés n'étant pas entr'eux comme les angles opposés, ils ne seront pas entr'eux comme les arcs qui mesurent ces angles. Etant donc donné le triangle j4BC , fig. 1 6 , si l'on décrit des points A tX. B comme centres ,

et avec un même rajon à volonté, deux cercles, on n'aura pas

AC : BC: : Fore NS : Varc MR.

On aurait pu penser que les cordes n'étant pas entr'elles comme les arc» qu'elles soutendent (Géom. Liv. V, n*. 20), les côtés des triangles pourraient être entr'eux comme les cordes des m'es qui mesurent les angles opposés; mais on a encore reconnu que cette proportion n'était pas vraie^ Ainsi quand on mènerait les cordes MS et NS, on n'aurait pas .......

AC: BC : : la corde NS : la corde MR.

Enfin, voici le rapport qu'on a trouvé: Abaissons sur AB les perpendiculaires A/P, NQ et CJ>, les triangles semblables ACD^ AMP , donneront s

AC\AMi\CD.MPi

BÊSOLUTION DES TRIAN0LR8. ÀA

et les triangles BCD^ BNQ donneront BC: BN: : CD : NQ, ou, parce que