TRIGONOMÉTRIE RECTILIGNE

il faudrait donc, ayant les angles C et ^, pouvoir déterminer la grandeur de leurs âinus. Ce calcul préliminaire des sinus, dans chaque cas particulier , pourrait être fort long et fort embarrassant ; on a donc senti qu'il serait nécessaire de calculer d'avance les sinus de tous les angles possibles ; en supposant les angles de. tous les triangles quelconques mesurés au moyen d*un même cercle, comme dans les figures 16, 17, 18, et l'on en a constrait des tables. Entrons dans quelques détails à cet égai*d.

Et d'abord^ il est facile de voir, par la figure 19, que si l'angle CAB se ferme' tout-à-fait et devient nul , son sinus MP devient aussi nul. Si au contraire cet angle augmente, et devient CAB ^ -CAB^ etc*, son sinus augmente graduellement, et devient M'F^ M'F\ etc. Quand l'angle C'AB est devenu droit, le sinus M" A se trouve égal au rayon. Enfin quand l'angle C'AB est devenu obtus, son^ sinus rediminue graduellement, à mesure que l'angle augmente, pour se retrouver nul quand l'angle est tout- à -fait ouvert et en quelque sorte égal à deux droits. Mais toujours le sinus de l'angle obtus G'^AB est égal au sinus de l'angle aigu CAE^ avec lequel il fait deux angles droits. Ou , en général , le sinus dun angle obtus est égal au sinus de son angle de suite. Le plus grand de tous les sinus , est donc le sinus de l'angle droit; on l'appelle à cause de cela le sinus total y ou simplement le rayon.

Pour construire les tables de sinus, où a supposé le rayon ou* le sinu^ total divisé en un certain nombre de parties égales , comme 100000, 10000000, suivant les tables, et Ton a calculé combien chaque sinus, depuis l'angle zéro jusqu'à l'angle droit , contenait de ces parties. On a fait alors une table à deux colonnes verticales , dans la première on a éc^nt les degrés , minutes, dans leur ordre de grandeur, et dans l'autre les sinus, qui se suivent aussi dans leur ordre de grandeur. Ainsi quand on connaît un arc. ou un angle , par le nombre de ses degrés , minutes , etc. , il est facile de trouver dans la table son sinus ; et rédproquement , si l'on connaît le sinus d'un angle , la table vous indique le nombre des degrés de l'angle. Dans les^ tab'es modernes, on ne trouve point les sinus mêmes, mais les logarithmes de ces nombres ; alors les multiplications et les divisions sont changées ea addition^i et soustractions»

Il faut observer 1*. que l'on n'a mis dans les tables que les^ arcs plus petits que le quart de cercle , parce que , comme nous l'avons vu , le sinus d'un angle obtu& est le même que celui de son angle de suite. Il faut ob**

RÉSOLUTION P£S TBIANGLES. 45

«enrer 2*. que la grandem- absolue du rayon est indifférente ; s'il est plus grand «es parties seront plus grandes et réciproquement ; mais le sinus d'un angle donné en contiendra toujours le même nombre ; car il est facile de voir que les diiférens^ sinus , que l'on aurait pour un même angle , en prenant différens rayons, seriùent toujours entr'eux comme ces rayons (voyez n^ 67 ). Il en sera de même pour les antres lignes trigonométriquesque nous considérerons par la suite.

Connaissant donc un côté dun triangle avec ses angles, on trouvera dans les tables les sinus de ces mêmes angles , et il sera facile de calculer les deux côtés inconnus , par le principe du n^. 73.

Si les trois côtés étaient inconnus , on n'en pourrait déterminer aucun (n^ 72); mais on pourrait du moins, par le principe cité, trouver les rapports de ces côtés , puisqu'ils sont ^entr'eux comme les sinué connus de» angles qui sont supposés donnés. ^ Cela peut avoir son utilité»

A^^. J'invite les commençans , quand ils seront parvenus ici , à faire queU ques suppositions différentes pour les angles ^ et ^ et pom* le côté c de la figure 15, et de calculer, au moyen des tables, les longueurs de a et de b dans ces suppositions-là. Ils feront la même chose pour les cas suivant

Second cccs de la résolution des triangles. Difiniiîon et usages des tangentes»

" 76. On connaît deux côtés et un angle ; mais cet angle peut être opposé à l'im des côtés connus, ou compris entre ces mêmes côtés.

1^, L* angle connu est opposé à Fun des côtés connus. On connaît , par pxemple a et i^, dans le triangle ABC^ fîgureîJ 20, 21, 22, 23, 24, 25, avec rangje A ; il faut trouver les angles B tt C et le troisième côté c Mais si l'on connaissait les angles , on trouverait le troisième côté comme dans le cas précédent ; cherchons donc seulement les angles.

Si Ton avait a = 6 , fig. 20 , on aurait aussi ^ = ^ , et Ton trouverait facilement C.

Supposons donc que a et h sont inégaux, figures 21, 22^ 23, 24, 25, et faisons a ; 6 : : sin A : sin B , nous obtiendrons :

b sin A

Â6 TRXGONOMiTaiE kectiligne;

En multipliant entr'eux les nombres connus et fixes désignés par betsin jé, et en divisant leur produit par le nombre connu désigné par a, on aura un quotient fixe et déterminé , qui sera le sinus de B, Mais chaque sinus , sauf le cas de l'angle droit, appartient à deux arcs ou à deux angles qui sont de suite, Tun aigu, l'autre obtus (n^ 75); ensorte que, généralement parlant^ on ne saura pas si le sinus trouvé -doit être considéré comme appartenant à Pangle aigu auquel il correspond dans les tables , ou à l'angle obtus qui vaut deux droits avec celui-là.

Cette incertitude n'aura pas lieu si A est droit ou obtus, figures 21 , 22, parce qu'alors B et C seront décidément aigus.

£lle n'aura pas lieu non plus , lorsque A étant aigu , on aura à > 6 » fig. 23 ; car alors on aura aussi A^ B ; ensorte que A sera aigu.

£lle n'aura pas lieu non plus , lorsque A étant aigu , et a < 6 , le calcul donnera pour le sinus de B le rayon même des tables , ou le sinus total , car alors B sera droit , fig. 24.

Cette incertitude n'aura donc lieu que dans le cas où A étant aigu et a < 6 on trouvera le sjnus de B plus petit que le rayon ; car alors ce sinus appartiendra ou à l'angle aigu désigné dans les tables, ou à l'angle obtus qui vaut deux droits avec cet angle aigu, fig. 25 (Géom. Liv. II. n®S'22, 23, 24). Il faudra donc alors, pour résoudi*e le triangle, savoir d'avance si l'angle B est aigu ou obtus.

77. 2^ L'angle connu est compris entre les côtés connus ( n^. 76 ). On connaît, par exemple, a et b dans le tiiangle ABC y fig. 26 , avec l'angle C; V il faut trouver les angles A et B tt le troisième côté c.

Mais si Ton connaissait les angles , on trouverait le troisième côté comme précédemment; cherchons donc seulement les angles.

Connaissant l'angle C, on connaît aussi la somme A + B des deux autres ; <i l'on a donc a = è , on en conclura A=^ B ^ et par conséquent chacun de ces angles vaudra l(A-i-B).

Supposons que l'on ait a^ b^ et faisons a : sin A ::b:sinB ; cette proportion, quoique juste, ne nous apprendra rien, parce qu'elle renferme deux termes inconnus. Cependant si nous ne connaissons ni ^ ni ^, nousconnaissons du moins -^ + jff, comme nous lavons déjà dit; si dorïc nous pouvions trouver la valeur de A — B, nous aurions bientôt celle de A et de B (Algèbre n^ 711 avec la note).

BiSOLUTION DES TRIANGLES. 47

• En réfléchissant là-de8«U8, voici ce qu'on a découvert: De la proportion

précédente on tire :

a + bisin^+sinBiiaisiriji^ a^—bisinA — sinBwaisinA ;

d'où il résulte :

a'{'b:a'—'b:: sin A + sin B : sin A — sin B.

Cela posé, supposons dans le cercle des tables, fig. 27, DGE^:=:A et DGF^=^By les lignes EH ci FI ^ perpendiculaires sur le rayon DG^ seront les fcinus de -^ et de 5, et si l'on prolonge jE/T jusqu'à la circonférence en

jf , et que l'on mène FM parallèle à DG, on aura

EH+ FI— EH+ LH^ IIK + LH=^ LK; c'est-à-dire :

sin A + sin B = LK.

On aura aussi EH — FI — EH — LHz=^EL; c'est-à-dire:

sinA^^sinBz=:EL.

La proportion précédente deviendra donc :

a + ^ ' ^ — b : : EK : EL.

Maintenant si l'on joint ME et AfAT, et que l'on mène entre ces lignes une parallèle quelconque NQ à la droite EXj on aura LX: EL ::PQ: NF (Géom. Liv. III. Th. V ) ; et par conséquent :

a + b:a — bi.PQiNP.

Or si du point 3/, pris pour centre, et du rayon MP^ on décrit l'arc OJ?, la ligne NQ sera tangente à cet arc ; et si MP^==^ GDj l'arc OB sera décrit avec le rayon des tables , et nous pourrons appeler la ligne PQ la tangente trigonométrique de l'angle PMQ; alors NP sera celle de l'angle NMP.

On appelle donc tangente d'un arc ou d'un angle, une droite perpendîctdaire à l'extrémité du rayon qui passe par une des extrémités de Tare , et terminée à la rencontre du rayon prolongé qui passe par l'autre extrénrité du même arc {NB. L'arc en question doit êtie décrit avec le rayon des tables ).

Nous disons que PQ est la tangente de PMQ ou de FMK^ elle est donc aussi la tangente de \ FGK, ou de i ( DGK+ DGF) , ou de |( ÙGE + D GF) , ou enfin de 4 ÇA + B).

De même NP, qui est la tangente de NMP ou de EMF^ est aussi celle de \EGF, ou de |(2)G£ — DGF), ou enfin de |C^ — B).

£nsorte que l'on a :

a^b.a — b'.iiangKA+ByitangKA-^JSy.

Cette proportion peut s'énoncer ainsi ;

48 TRIGONOMÉTRIE ftXCl ILIGlT E ;

. Second principe: Dans tout triangle rectUigne, la somme de desa», côtés quelconques est à leur différence^ comme la tangente de la demisomfne des cmgles opposés à ces côtés y est à la tangente de la demi^ différence de ces mêmes angles.

Dans le ca« actuel, on suppose que Ton connaît a, ô, C, et par conséquent A + B; on connaît donô aussi a+b^a — 6, et \(*A'\-B). Or, tout comme on a calculé d'avance les sinus de tous les angles, on a aussi calculé leurs tangentes , et Ton en a fait des tables ; ces tables donneront ici tang l(A + B); et des trois premiers termes connus de la proportion, on conclura le quatrième ou tang l( A — B). Cette tangente, cherchée ensuite dans les tables , fera connaître l(A — B) ; et Ton tirera enfin de cette valeur, combinée avec celle de l^A + B), les grandeurs de A et de B; ainsi que nous l'avons fait observer il y a un moment.

78. On peut remarquer que puisque deux angles d'un triangle valent toujours ensemble moins de deux droits , la moitié de leur sonune sera toujours moindre qu'un droit. On aura donc toujours, dans le principe précédent , l(A + B)<i 1 droit , et à plus forte raison l(A — B)<C 1 droit. Or la fig. 28 fiiit voir que si l'angle CAB devient nul sa tangente TG sera nulle aussi , que cette ligne augmentera progressivement avec l'angle , qu'elle deviendra TG, TG', TG\ quand l'angle sera CAB, CAB, G'AB; et qu'enfin la tangente sera infinie quand l'angle sera droit , parce^que la ligne AC"' se trouvant parallèle à la tangente ne la rencontrera plus.'

79. Du reste si l'angle connu C, compris entre les côtés connus a et6> est droit, fig. 29, il est évident que la tangente 7^6^ de l'angle ^ est parallèle au côté CB ou a; ensorte que les triangles semblables ATG, ACB^ donnent AT: tang A:ib:a om

R : tang Awbia. .

On trouverfiut de même : ,

Ri tang B::a:b.

On a donc ce théorème :

Troisième principe: Dans tout triangle rectangle, le rayon est à la tangente d!un des angles aigus , comjne le côté de F angle droit oii/aceni à cet angle aiçfu est au côté opposé à ce même angle.

Par ce principe on trouvera les angles inconnus plus, facilement que pajr le second principe , quoique celui^à puisse aussi servir dans le cas actuel.

Troisiàne

EÉSOLXfTION DES TRIANGLES. A9

Troisième cas dç la résolution des triangles.