On connaît les trois côtés » il faut trouver les angles

Si les trois côtés étaient égaux , les trois angles le seraient aussi , et ç|ia* cun d eux vaudrait le tiers de deux droits.

Si deux côtés a et 6 étaient égaux , on pourrait ramener ce cas à celui où l'on connaît un angle et deux côtés ; il suffirait pour cela de supposer le triangle ABC y fîg. 30 , partagé en deux triangles rectangles , par une • perpendiculaire abaissée du sonunet de l'angle (7 sur la base AB ou c; car cette perpendiculaire diviserait Tangle du sommet et la base, chacun en deux parties égales; et puisqu'on connaît AB ou c, on connaîtrait aussi

\AB ovilc. Faisant alors , dans \m des triangles partiels égaux ,

R\a\:sin\C:\Cy on trouverait la valeur de sin | C , et les tables donneraient | C; enfin on conclurait de là ^^ et par conséquent ^ , puisque ces angles sont' égaux.

Si les^ trois côtés étaient inégaux , en supposant encore une perpendiculaire CD abaissée d'un des angles C sur le côté opposé AB , pris pour base, fig. 31, ou sur le prolongement de ce côté, fig. 32, on pourrait encore résoudre le triangle proposé ABC en résolvant les triangles rectangles A CD y BCD ; et pour- résoudre ceux-ci, il suffirait de trouver la valeur des lignes AD , BD , que Ton appelle les segmens. On remarquera que ces segmens ne sont pas toujours des parties de la base ; mais qu'ils sont, dans tous les cas, les distances de chaque sommet des angles sur la base au pied de la perpendiculaire. Or on connaît AB^ qui, dans la fig. 3i,* est la somme des segmens , et , dans la fig. 32 , leur ^ diflërence ; il suffirait donc, pour avoir chacun d'eux en particulier, de déterminer, dans le premier cas, leur différence, et, dans le second, leur somme (Algèb. n^ 711 avec la note). Recherchons s'il n'y aurait point quelque proportion entre la somme et la différence des segmens de la base , et entre la somme et la différence des deux autres côtés du triangle.

Pour ajouter le plus petit côté CA au plus grand côté CB, et pour l'en retrancher , il faut 4éçriie , avec CA pour rayon , et du point C pris pour centre, une circonférence, et prolonger jSC jusqu'à la ciiconférence en E. Mais alors AB et BE^ fig. 31, seront deux sécantes géométriques, qui

6t) TRIGONOMÉTRIE RICTILI6NE;

donneront (Géom. Liv. V. Th. XXL Coroll. III) AB.BEwBF.BO, ou, ce qui revient au même :