ou

Il est d'ailleurs facile de voir que si le principe actuel n'apprend rien lorsque le triangle proposé a ses trois côtés égaux ^ ou deux côtés égaux avec

lÉSOLUTION DEé TRIANGLES» 51

une base plus petite ou plus grande que chacun d'eux , il s'étend cependant à ces cas-là , et que son énoncé est tout-à-fait général.

81. Ce même principe, combiné avec le premier, peut servir à trouver une distance inaccessible AC^ fîg. 34, sans instrumens.

Choisissez une base AB , et vous plaçant en -^ et en -S , faites planter en C et en C" des piquets dans les alignemens -4 Cet BC; mesurez avec une perche les côtés des triangles ABC ^ ABC" ; les côtés connus du premier vous feront trouver l'angle C'AB ^ les côtés connus du second vousjferont trouver l'angle C"BA , et conraie vous avez mesuré AB vous pourrez calculer AC et BC par le premier principe.

Si , par ce moj'en ou par quelqu autre , vous avez déterminé les distances ACet AD y fig. 36, avec Tangle A, le second principe vous donnera les an- %lcs C et -D, et vous pourrez alors trouver CD.

Des lignes trigonométriques , en général.

82. Nous savons maintenant résoudre un triangle, dans tous les cas où la chose est possible. Nous n'avons eu à considérer pour parvenir à ce but que les principales propriétés des sinus et des tangentes ; mais il existe d'autres lignes trigonométriques fort intéressantes à considérer , et dont nous allons parler actuellement. Les rapports que ces lignes ont entr'elles et avec les côtés des triangles , fournissent des formules que l'on peut combiner de mille manières , et qui sont d'un très-grand usage dans toutes les parties des mathématiques. Quelques-unes servent d'ailleurs à calculer les tables de sinus.

Quand on a décrit l'arc qui doit mesurer l'angle CAB , fig. 36 , et qu'on a abaissé le sinus MP ^ on a, dans le triangle rectangle AMP ^ deux côtés qui sont les sinus des angles opposés, savoir AfP = jin -4 tt AM^=^AD=:zR^ qui est le rayon des tables ou le sinus d'un angle droit quelconque , et par conséquent le sinus de l'angle P. Quant au troisième angle AMP ^ il est égal à MADj dont le sinus est MQ=:AP; ainsi Te troisième côté AP est aussi le sinus de l'angle opposé ^Afi^. On a donné un nom aux deux angles MAP et AMP^ ou MAP et MAD^ qui font ensemble un angle droit, et on a dit qu'ils étaient compléniensVxmAe l'autre. Plus généralement, lorsque d'un angle droit on retranche un angle quelconque , celui qui reste et celui qu'on a retranché sont dits complemens l'un de 4'autre. D'où il résulte que

52 pns LIGNES TRlGONOMÉTRIOtTES ,

si un angle aigu est considéré comme étant en +, son complémelit est aussi en -h, et que si un angle obtus est considéré comme étant en +, son complément est en — Ainsi le complément de CAB^ fig. 19, c'est + C^C"% et le complément de C^AB c'est — C^AC''. On dit la même chose des arcs , qui servent à mesurer ces angles. Un angle ou un arc de 25®40' a donc pour complément 74°60'; un angle ou un arc de' 160^80' a pour complément — #(K)°80'. Généralement un angle ou un arc étant de A^ son complément est 10(P — A^.

Lorsque de deux angles droits ou de 200® on retranche un angle ou un arc quelconque, la quantité qui reste et celle qu'on a retranchée sont dites supplémens l'une de l'autre. Ainsi les angles Cj4B, C^'AEy qu'on appelle en géométrie angles de suite, sont dits ici supplémens l'un de l'autre, et il en est de même de CAB et de CAE^ etc. Généralement un angle ou un arc étant de A^ son supplément est 200®—- ^4^ Dans un triangle, un angle est toujours le supplément de la somme des deux autres et réciproquement ; et dans ce cas ces supplémens sont toujours en + , puisqu'ils sont moindi'es que 200*.

Cela posé , MQ étant le sinus de CA C" ou de AMP , est le sinus du complément de CAB ; pour abréger on dit que MQ ou AP est 4e cosinus de CAB ou de Tare qui mesure cet angle. En général le cosinus n'est autre chose que le sinus du complément ; ou , si l'on veut , c'est la partie du diamètre comprise entre le sommet de l'angle et le pied dû sinus. MP et AP ^ ifP et AP' , M" F' et AF' , sont les sinus et cosinus des angles CAB , CAB, C'AB.

Il est facile de voir, par la figure, que si l'angle est tout-à-faît fermé ou nul , son cosinus est égal au rayon • que ce cosinus diminue ensuite à mesui'e que langle augmente, et qu'il se trouve nul quand l'angle est droit. Si l'an** gle devient obtus le cosinus se rétablit, et augmente en même temps que l'angle, pour se retrouver égal au rayon quand l'angle s'est tout-à-fait ouvert ou qu'il est devenu égal à deux droits. D'ailleurs le cosinus d'un angle obtus est toujours égal ^u cosinus de son supplément aigu ; mais il est dirigé en sens contraire , parce qu'on doit rapporter tous lés angles aigus au premier quart de cercle , et compter la longueur des cosinus depuis le centre jusqu'au pied du sinus.

Tout comme on a considéré les sinus de complément , on a aussi considéré les tangentes de complément , qu'on a nommées cotangentes. Pans la fig. â6,