SA DES LIGNES TRIOONOME TRIQUES

de l'autre, comme yiE' et AC. Alors si Tangle s'ouvre toot-à*fait, la sécante devient encore le rayon, et la.cosécante est inSnie.

Sans garder tous ces résultats dans la mémoire , on pourra les retrouver au besoin au moyen d'une figure très-facile à construire. Et Ion pourrait même suivre ainsi les sinus, cosinus, tangentes, cotangentes, sécantes, cosécantes , dans des arcs plus grands que le demi - cercle , et qui comprendraient même une , deux , ou plusieurs circonférences , avec des fractions de circonférences ; cela ne peut souffrir aucune difficulté.

83. M^ Lacroix, en suivant un plan dfférent du nôtre, s'est servi d'un procédé très-ingénieux pour amener la considération des lignes trîgonométriques, et poui* les faire naitre en quelque sorte; nous allons transcrire ici ce morceau, qui nous paraît fort intéressant.

« Ceux qui ont entrepris les premiers de développer, par une suite d'opérations numériques , ou par des formules algébriques , les relations qu'ont entr'elles les différentes parties d un triangle , ont dû se trouver arrêtés par la difficulté de faire entrer dans le calcul la grandeur des angles , qui , mesurés par des arcs de cercle, ne peuvent être comparés avec les lignes droites ( * ). Mais ils ont bientôt reconnu que s'ils pouvaient , par un moyen quelconque , calculer une suite de triangles dont les angles eussent toutes les valeurs possibles, cette suite en renfermerait nécessairement un qui serait semblable au triangle que l'on aurait à déterminer, quel qu'il fût, ^ et qu'alors de simples proportions suffiraient pour déduire les parties du second de celles du premier. L'exemple suivant éclaircira ce que ces notions peuvent avoir d'abstrait. „

** Supposons que dans le triangle ^-ffC, fig. 16, on connaisse l'angle jél , l'angle -ff , et le côté c , on cherchera dans la suite des triangles calcules , celui qui a deux angles A' et 5' respectivement égaux aux angles A ^t B ; il sera nécessadrement semblable au triangle proposé ABC; et puisque toutes ses parties a% 6' , c' sont connues , on aura les proportions :

c' i € :: a! : a^ c* : c :: b' : bj dans chacune desquelles les trois premiers termes sont donnés. On trouvera , par conséquent :

ea! cb'

(*) N'est-ce pas trop dire?

EN GRNEHAL. 65

et coinmc on a d'mlleurs C= C'y toutes les parties du triangle ABC seront

déterminéek. »

" Maintenant qu'on voit le parti qu'on peut tirer d une suite de triangles faits sur tous les angles possibles , et dont les côtés seraient calculés , il est naturel de chercher les moyens de former une pareille suite. ,, (Ici nousj quittons M^ Lacroix, pour le reprendre dans un moment). Or tout triaur g\e ABCj figures 16, et 17, peut être ramené au triangle rectangle; cat ayant pris un côté AB pour base , si du sommet C on abaisse sur [cettq base une perpendiculaire CD , dès qu'on aura déterminé les triangles rec!, tangles ACD^ BCD^ le triangle ^^Csera aussi déterminé. Cela posé, tous les triangles que nous avons à calculer sont rectangles-. " Il est facile dé voir qu'on les pourra construire tous dans un quart de cercle , en abaîs«I sant de chacun des points de l'arc , fig. 19, des perpendiculaires Af/^ , M'P''^ M"P'\ etc., sur la ligne AB , et tirant les rayons AM^ AM' , AM' ^ etc; les triangles AMP^ AM¥\ AM'P\ etc., formés ainsi, seront rectangles en P, F, P", etc., et les angles VAM^ PAAf, PAM", etc., auront successivement toutes les valeurs possibles: enfin les angles AMP^ AM'P ^

AM'P' y etc., qui, avec les précédens, forment un angle droit, seront aussi tels que l'exige la nature des triangles rectangles ; et il ne saurait existeç de triangle rectangle qui ne soit paa équiangle avec quelqu'un de ceux que; fournit la construction présente. Il est à propos de remarquer que ces derniers ont tous une même hypothénuse , égale au rayon de lare. »

^ On pourrait encore former une suite de triangles rectangles, ayant tous un des côtés del'angle droit égal au rayon du cercle ; il suffit pour cela d'élever la tangente indéfinie JG, fig. 28, à l'extrémité du rayon y^r, et de mener par le centre A et par les points il/, A/', M" , etc., les sécantes AG, AG\ AG\ etc. Il est évident que les triangles ATG^ ATG\ ATG" \ etc. , auront successivement toutes les combinaisons d'angles qui peuvent exister dans un triangle rectangle ; et parmi ces triangles , il s'en trouvera nécessairement un semblable à tel triangle rectangle qu'on voudra. „

Viennent ici les dénominations des lignes AfP, Af/*', etc., fig. 19, et des lignes A/Ç, ^'^^ etc., ou AF ^ AF , etc., qui sont les sinus et cosinus des ai*cs correspondans ; celles des lignes TG, TC y etc., fig. 28, et de^ lignes 4 G, AG\ etc., qui sont les tangentes et sécantes des arcs correspondans. Enfin la définition des cotangentes et cosécantes. ^

IPORMULES AELATITIS

Formules relatives aux lignes trigonométriques,

84. Dans les analogies précédentes, destinées à la résolution des triangles, nous avons nécessairement dû faire entrer les côtés de ces figures (n^ 72); maintenant nous allons, en quelq^ie sorte, prendre chaque angle à part, et chercher des formules relatives aux lignes trigonomé triques de ces angles , sans considérer en aucune manière les côtés des triangles.

La première chose à observer ici, c'est qu'il est très- facile de calculer le cosinus d'un angle quand on connaît son sinus , et réciproquement ; car la seule inspection de la fig. 36 prouve que Ton a :

sir?' + cos'^ = J?* , d*où Ton tire :

C(7^ = Hh V'A* — sih? ^=^'±:^^ iR-^- sin) ÇR — sin)^

sin = ±^\/R^ — cos^=^±i\/iR-{-cos)iR — cos).

On a donc aussi;

sirî^ A + cosl^ A = sin} B + cos"^ B ,

sw? A — siifT? B = CQS'^ B — cos'^ A ,

(jsiin A'^'SinB^ {sin A — sin B) = {cos B + cos A) (cos B

sinA + sinB: cos B + cos A : : cos B — cos AisinA-^

"COsA)^ sinB.

Avec un même sinus , on a donc deux cosinus égaux , l'un en plus , l'autre en moins ; ce sont évidemment les cosinus de deux angles , l'un aigu , l'autre obtus, supplémens l'un de l'autre; cosinus que nous savons être égaux et dirigés en sens contraire (n^ 82). Mais avec un même cosinus, dh'igé dans un seul sens , on voit par la formule qu^on a aussi deux sinus .égaux et de signes differens. Ces sinus appartiennent à deux» angles égaux séparés par le diamètre HB sur lequel on a abaissé les sinus , qui se trouvent ainsi dirigés en sens contraire. D'où Ton voit que les sinus sont en plus au-dessus du diamètre HB^ qu'ils sont en moins au-dessous; et que les cosinus sont en plus à di*oite du diamètre DG^ et en moins à gauche de ce même diamètre. ^

85. On peut observer ensuite que lorsqu'on connaît le sinus et le cosinus d'un angle, on peut facilement calculer sa tangente , sa sécante, sa cotan<» gente, et sa cosécante: les triangles AMP et ABE^ AMQçtACDy fig. 36^ donnent :

, cos:

AUX LIGNES TBIGONOMiTBIi^VES.

R, sut cas : sin : : i? : tang î=:

cos : R:: R : sic

cas R^

cas

ain : cos ::R: cotang

siri: R::R: cQse'c

R.ûos

Il résulte de ces formules : l^ Que toutes les fois que le sinus et le ci^imis^, seront de même signe la tangente et la cQtajtxgente seront en plus ; ce qui aura lieu dans le premier quart de cercle D^B e^ dans le trpisièjp^ >K/^. Alors la tangente et la cotangente sont dirigées comme BE et Dp. 2*. Que toutes les fois que le sinus et le cosinus seront de signe contraire, la tangente et la cotangente seront en moins ; ce qui aura lieu dans le second quart de cercle DAH et dans le quatiième GAB, Alors ces . lignes seront dirigées comme BE et DC 3^. Que quand le sinus et le cosinus seront ea plus, la sécante et la cosécante seront en plus; cela aura lieu dans le premier quadrant* Alors ces lignes se superposeront et marcheront depuis le

centre en sens direct de la seconde extrémité de l'arc. 4^. Que quand le sinu8*"et le cosinus seront en moins, la sécante et la cosécante seroijt en moins; cela aura lieu dans le troisième quadrant. Alors ces lignes se superposeront encore et marcheront depuis . le centre en sens mverse de Ja seconde extrémité de l'arc, puisqu'elles reviendront dans le premier qua- ' drant. 5^ Que quand le sinus sei'a en plus et le cosinus en moins , la sécante sera en moins et la cosécante en plus ; cela aura lieu dans le second qua- . drant. Alors ces lignes seront prplprtgement Tune de l'autre, la sécante marchant en senfe inverse de la seconde extrémité de l'arc et la cosécante en sens direct. 6*. Que quand le sinus sera en moins et le cosious en plus, la sécante sera en plus et la cosécante en moins ; cela aura lieu dans le quatrième quadrant. Alors ces lignes se mettront encore bout à bout , 1* sécante marchant directement vers la seconde extrémité de l'arc et la cosécante se dirigeant en sens inverse.

86. Du reste les formules (1) et (2), soit qu'on les prenne isolément^ soit qu'on les combine enti-'elles , peuvent donner plusieurs expressions différentes de chaque ligne trigonométrique , et certaines analogies plus ou

58 FORMULES BELATITES

moins remarquables. Mais il vaudra mieux les rechercher lorsque nous serons dans le cas d'en faire qi^elqu'application ; nous nous bornerons ici à eit indiquer quelques-unes.

Far exemple, on tire tout-de-suite de (2):

iang. cot=:Jl^. tangr=: , cot = -: ... C3).

^ ' . co« tang ^ ^

On a donc aussi :

cotA cot B tang A tang B

d'où il résulte également :

tang A : tang B : : cot B : cot A. . . (4).

Les formules ( 2 ) donnent aussi :

tang : cot :: sin* : cos^ j séc\coséc::sin:cos... (5). Parmi les résultats qu'on pourrait obtenir de la combinaison de C O ^H^ (2>) il en est qui résultent plus simplement de l'inspection des figures, et qu'on retrouve ainsi plus facilement au besoin ; en voici deux exemples. lia fig. 36 donne :

5éfc» — tang^ = ^, cosé<^ — cot^ = ^* ; d*où Ton peut conclure :

séc^ — tengr* =^ casée* — coP' j séc* — coséc* = tang* — cot* , J . . . (6> séc + tang : coséc + cot : : cosec — cot : séc — tang^ séc + coséc : tang -\- cot :: tang — cot : séc — coséc. S7. Tout revient donc, dans le calcul des lignes trigonométriques , à la détermination dts sinus (n^. 84, 85); reste à voir comment on peut trouver ceux-ci. Nous en obtiendrons du moins assez facilement quelques* uns..

1*. On sait que le «nus de Fangle droit est le rayon , et que son cosinus est nul ; fiMsant le rayon égal à 1 ^ ou prenant pour unité le rayon quel qu'il soit (n^*. 67, 76), on aura:

sin 100^= 1 , cos 100^ = 0.

2*. Si l'angle MAP, fig. 36, est de 50^, langle AMP sera aussi de 50«^, et le sinus Mf sera égal au cosinus AP ^ on pourra donc tirer de ( 1 ) , *^ r 2 5in*60* = i'; d'où

sin 50« = I v^2 , cos 50^ = | \/2:

.(Voyez Géom. Append. Probl. XXV;.

3*. Comme le cô^té de l'hexagone régulier inscrit est égal au rayon du

AUX LIGNES TEIGONOMÉTBIQUES. 59

cerde ( Géom. Append. JProbl. XXIV ) , on a la corde de la sixième partie de la circonférence égale à 1 ; mais la moitié de cette corde est k sinus de la douzième partie de la circonférence, ou du tiers de Fangle droit; calculant donc le cosinus par les formules ( 1 ) , on a :

^rnf (!00<>) =5, c<7x|(100») = I v^3.

4i^ Comme le côté du W Mtsiu»tm régulier inscrit est égal à la plus grande 'èéreu^tm*^ partie du rayon divisé en moyenne et extrême raison (Géom. Append. Probl. XXVI), si Ton fait a = l dans la formule du n*. 64, on trouve pour le côté du décagone, ou pour la corde de 40^, \ (\/5 — 1); donc $vn 20^ = J(v^5 — 1), <?o^20' = i\/10 + 2v^5.

Il faut du reste observer, que le sinus.de chaque arc est le cosinus du complément de cet «rc, et réciproquement que chaque cosinus est un sinus.

88. Voilà donc quelques sinus connus, qui peuvent servir de point de départ. Il faudrait voir maintenant , si connaissant sin A et cos A , sln B et co^ Bj on ne pourrait pas généralement déterminer «n (-^± tf) et . . . cas (-4Ht-ff); car il est évident qu'on n'a pas siniA'±:^B):=isinA'±iSinB.

Supposons que G M soit Tare A^ fîg. 37, et DM Tai-c B, on connaît sin A et cos A^ ou MP et CP, outre sin B et cos B^ ou DE et CE\ et Ton voudrait trouver la valeur de sin (A + B) et de cos {^A + B)^ ou DF et CF. ^

Menant EH parallèle à MP et EK parallèle à CP, les triangles sembla-

blés CJ/P, CEBj donneront:

- . . „ -,-- sinAcosB ^ ^ ^ ^^, cos A cos B R\smAv.cosB:EH=, ^ > B : cos B::cos A : Q/iI=s ;

Les triangles semblables CMP^ DEK^ donneront:

n . D ^ T^^ sinBcosA « . ^ . ^ ^^ sinAsinB RisinB::cosAiDK=z ~ , Ji:sinA::sinB:EX= --. .

Ajoutant la valeur de DX à celle de Eff ou XF, pour avoir DF ou sin (ji + B),' tt retranchant la râleur de EX zss FH de la râleur de CH^ pour aroir CF ou cos C^+JB), on obtiendra:

'' , j , n^ sin A cos B -i-sinB cos A

^ , . „ . cos A eos B-— sin A sin 3 { ^ ^ cos (A + B)== ^ ■ .

60 FORMULES RELATITES:

On a donc aussi , sans consulter aucune figure ,

. . «. . ^ ^n B^ cas B + sinB cos Bf sin(B' + B) =i

cosCB' + B)

R €Os R cos B-^^sîn ff sin B

faisant B! 1=1 A — B^ on aura ff ^ B^=. A^ substituant ces râleurs et

multipliant par R , on trouvera :

R sin A =: COS. B sin (-^ •— i?) + ^wr B cos ( if -— ^) y R cos Az=€os B cos(A — B^ — sin B sin {A — ^);

considérant sin (A — ^B) tt cos (A — B}- comme les inconnues de ces

deux équations, éliminant pour calculer leurs valeurs, et ce souvenant que

sin^ + cos^ = i?* , on trouvera , après les réductions r

sin A cos B — sin B cos A sin (A — B)z=:

cos (A — 5) =

cos A cos B + sin A sïn B