Si Ton fait dans (7) ^ = -4, on aura (n*. 84)i
2sinAcosA cos^A — sin^A 2 cos' A
sin2A'=: — . — ■ , cos2A^=^' 5 = 5: R... (9X
Ces formules serviront à calculer le sinus et le cosinus d'un arc double ,
lorsqu'on connaîtra le sinus et le cosinus de l^arc simple.
Si Ion fait dans (7) iB = 2.4, qu'on substitue ensuite k sin 2A tXk
cos 2 A les valeurs de ( 9 ) y et qu'on simplifie encore les résultats au moyen
de ( 1 ) , on aura :
Àsin^A ^ . Àcos^A sin3A=:3sinA — — y eos 3-4=— ScosA'i — • • (10).
Et si l'on faisait dans (7) jff=:3il, jff = 4i4, etc., on poiurait obtenir les valeurs de sin ÀA^ cos àA, sin ôA^ cos 6-4, etc. ; toutes exprimées au moyen de sin A , de cos -4 , et de leurs puissances. . '
•90. Maintenant, après avoir tiré de (O cettç équation:
lcos^lA+lsin^\A:=^iR\
Si l'on met lA k\^ place db A dans la seconde formule ( 9^) sous sa première forme, qu'on multiplie par i?, qu'on divise par 2, et qu'on prenne le. second membre pour le premier , on aura :
AUX LI6NES TRiaONOMÉTRlQUES. 61
retranchant d*abord cette équation de la précédente , puis les ajoutant ensuite , et ext rayant les racines , on obtiendra :
sinlA=\/lR^ — lRcosA, coslA=:x/iIi^ + iR cosA ... (H) ; ce qui servira à calculer le sinus et le cosinus de la moitié, d'un arc , par le cosinus de cet arc. On pourrait aussi trouver des formules où ces valeurs seraient exprimées au moyen de sin A. .
Si dans les valeurs des sinus et cosinus dç 3 A, de -4 -4 , de 5 -4 , etc. , on met successivement k la place de -4, j-4, ^A^ ^A, etc., on obtiendra des équations propres à donner les sinus et cosinus du tiers, du quart, de la cinquième partie , etc , de tel ou tel arc connu ; mais elles seront de degrés plus ou moins élevés.
91. Du reste les formuîes (7) et (8) en peuvent donner beaucoup d'autres , plus ou moins importantes ; nous allons voir celles que Ton emploie le plus fréquemment.
Ajoutez Jaboçd la valeur de sin (A'—^B) à celle de sin (A+B)^ ensuite retranchez la première de la seconde ; et faites la même chose pour éos (A — B) et ûos CA + B), vous aurez, après les réductions : sinAcosB=:lItsin(A + B) + lIlsin(A — B), sinBcos A=ziRsin{A + B^ — {RsiniA — B), eos A cos B=IR cos ( A — B)+IR cas(A + B), sinAsinB = lRcos(A — By — iRcos(A^B).
92. Supposant A + B=z P^ A — Bs=Q, ajoutant ensemble ces deux équations , puis retranchant la seconde de la première , on aura :
A=^IÇP+Q), B=i(P^Q), outre A + B^P, A-^B = Q; substituant ces valeurs dans ( 12 ) , on en tirera facilement :.
2siniCP + Q:)cosi(P — Q:)
sin P + sin Q
sin P — sin Q =
__ 2sinl(P'-Qycosl(.P-^Qy
D i ^ 2cos\(,P'\'Çl')cos\iP—(D I eos P + cos (2 = =-^ -"^^-^ ^-^ ^^ ,
cos Q — cas P
2 sin I (P^Q)sin U^ — Q)
93. Divisant ces formules les unes par les autres, et observant que, d'après (2),
FORMULES KBLATITEI
sin 4ang R
on obtiendra:
sut P-^sinQ .
sin P — sin Q sin P + smQ
cos P + cos Q sin P + sinQ
cot
cot
sml(P + Q)eosliP—Q) tang
coslCP + Q)sini[P—Q) sJnjCP + Q) tangi(P
coslCP-hQy coslCP — Q)
tangi^P^Qy
sinl(P-Q )
cosliP — Q) cos l (P+Q )
sittlCP-hQ)
cosl(P + Q)cosi(P—Jl)
sini(.P-{-il)sinl{P-^Q\
cotiCP-^Q)
cot I (P4-$)
COS Q — cos P .sin P '-^sinQ
cos P + cosQ sin P — sinQ
-cosQ — cos P cos p + cos Q
cos il— cos P ^ ^m|(P-fjg)^iw|(P— j^)~<angr|iP— jg)
94. Si dan8 le8 deux premières de ( 12 ) on fait B^=^A^ on retroirrera
une des formules ( 9 ) ; mais si on fait la même supposition dans les deux
dernières de C 12 ) , on aura :
co^A=^lS^ + \Rcos2Ay «n*^=|/ï» — lRcos2A... iiS).
Ces résultats se tireraient aussi de ( 9 )•
Si dans les deux premières de (13) on fait j^^^o» *on obtiendra:
2sîniPcos\P
sinP
Si on fait la m&me supposition dans
vera :
2co^lP R+cosPz=z^ *
cosP
R ' - " - ji
Si dans la secottde ou la quatrième de (14), on fait encore P=o, et de même dans la troisième ou la cinquième , il en résultera :
SinP tanglP __ R sinP cotiP R . .
R-^cosP~' R ~~cotiP* R—cosP'^ R ^ tanglP'"^ ^' £n faisant la même supposition dans la sixième , on trourera :
R + cosP coi^iP B*
R^cosP iP tan^\P
La première ne donnerait que 1 =;? 1.
AUX LIGNES TlIGONOMiTRIQUES. 65
95. Prenant dans (2) la valeur de la tangente de ^ + ^ , substituant dans
cette Taleor celles de sût (A + B) et de cas (A + B)y tiiées de (7), et
obsenrant que Ton a aussi, d après (2),
^ cas A tang A . cas B tang B sm A z= -^ , sm B:=i ^ ,
substituant encore ces valeurs , et divisant tout par cas A cas B » on aura :
#/.«^ ^AJ^n^^ ^(^tangA^tan g B)
jBP — tang A tang B
€n trouverait de même : ).r. (20).
^ ( tang A — tang B)
tana (A-^ B) =: ^^ ^ 2 — i
*^ ^ IP + tangAtangB
Si dans la première on fait B=:Aj il en résultera :
2 B^ tang A '^,^
tang 2 A =:^'^ ^r-r*** (21>
^ JP^tang^A ^
£n fsusant B'=i2A^ on auridt :
^ ^ iî* (^tang A + tang 2 A) tang3A:=——
iî* — tang A tang 2 A
d'où Ton pourrait tirer, au moyen de ( 21 ) , J . , . (22)»
^ ^ S R^ tang A — tang^ A tang & A =z — ^ ^
JP — 3 tang^ A
Et ainsi de suite.
Four avoir tang | i4 , on pourra écrire la valeur de B sin l A sur celle de cas | A , prises dans (11), multiplier ensuite haut et bas par la valeur de sinl Aj mettre sin^ il à la place de ^ — cos^ A , extraire la racine indiquée et réduire ; on obtiendra :
JP — RcosA
tangiA=z .^. (23 >.
sm A
Au moyen des valeurs do sinl^ A j cas ^Aj sin {A^ cas l A , etc. (n*. 90 )^
^n pourrait avoir celles de tang f A , tang | A , etc.
On pourrait aussi trouver des formules pour exprimer ces tangentes,
en mettant dans (21), (22), etc., lA^lAy etc., à la place de A^
Notions sur le calcul des tables de sinus , tangentes , ete^
96. Nous avons vu (n®. 87) que tout revenait , dans le calcul des lignes trigonométriques , à la détermination des sinus. Or j en prenant le rayon
ffA , CALCUL DES TABLES
pour unité , tous les autres sinus seront des fractions , que Ton représaitara par des décimales; et puisque les fractions de cette espèce ne sont pas toujours finies, il faudra se détei-miner à donner dans les tables, un certain nombre de figures décimales à chaque sinus, suivant le degré d'ajiproximation que Ton voudra obtenir; supposons, par exemple, sept décimales. D'ailleurs comme ces nombres doivent souvent être muAtipUé» ©t divisés les uns par les autres , pour le calcul des lignes trigonométriques , il faudra leur donner d'abord cipq ou six décimales de plus que celles qu'on veut leur laisser dans les tables. Ainsi, pour calculer le sinus de 6X)^, égal à î 1/2 (n^ 87), il faudra extraire la racine de 2, puis en prendre la moitié , ensorte que la fi-action ait au moins jusqu'à douze décimales. Il faudra faire la même chose pour le siniis de 20^ , qui vaut J (^b — 1 ) (n^ 87). Etc.
Cela posé , si l'on part des sinus et cosinus connus du n®. 87 , on en pourra trouver d'autres par les formufes (7), (8), (9), (10), (11), et ceux-ci en feront trouver d'autres encore par les mêmes formules. Il est facile de comprendre qu'on les trouvera tous de cette manière. Ainsi le sinus et le cosinus de 50*' feront trouver par (11) ceux de 2£P y de 12^50', de 6^25', etc. Ceux de 20® donneront par (9) ceux de 40^ et 80® , par(10> ceux de 60®, par ( 11) ceux dç 10®, de 5^, de 2® 50\ de 1® 25% etc. Le» sinus et cosinus de 50® et de" 20® donneront par (7) ceux de 70^, et par (8) ceux de 30®.
£t ainsi de suite.
97, Il faut remarquer que les arcs très-petits diffèrent fort peu de leurs sinus ; d'où il résulte que lorsqu'on sera arrivé à ces arcs , par les procédés que nous venons de déci'ire, si on calcule lem's longueurs en parties du rayon 1 , on trouvera qu'elles sont représentées par les même fractions que leurs sinus, au moins Jusqu'à un certain nombre de figures décimales. Alors, à plus forte raison, les arcs plus petits encore seront -Us égaux à leurs sinus, cnsortc que pour avoir ceux-ci, il suffira de calculer ceux-là» Si on trouvait , par exemple , que pour le nombre de figures décimales que Ton veut, douze, par exemple, le sinus d'une minute fiit égal à son arc , et qu'on voulût avoir les sinus des cent premières secondes , on calculerait la longueur de l'arc dune seconde, que l'on multiplierait par 2 , 3, 4; 5, etc., pour avoir les longueurs des arcs dç 2", ^3'% 4", 5", etc.^ et ces
longueurs
0E SZNU8, TANGENT£5| etC • 65
longueurs seraient aussi celles des sinus de ces arcs. Or rien n*est plus facile que de calculer la longueur d'un arc donné.
Le diamètre étant 1 , on sait que la circo^nférence vaut ^ ( Géom. Lir. V«
Th. XXIIL Schol. UI),
ainsi , le diamètre étant 2 ou le rayon 1 , la circonférence vaut
et par conséquent le quadrant égale
1. 670796326795 •..; Donc le degré , qui est la centième partie^ du quadrant » vaut .
La minute, qui est la centième partie du degré » égale
La seconde, qui est la centième partie de la minute, vaut
Cette valeur est aussi celle du sinus d'une seconde, et en la doublant, triplant , etc. , on aura les sinus de deui secondes , trois secondes , etc. , jusqu'à une minute.
98. £n partant de cette donnée , qu*avec douze décimales, pour en garder sept dans les tables , la longueur de l'arc d une minute doit être prise pour le sinus même de cet arc , on peut trouver un procédé qui permette do «'élever de minute en minute , ou de seconde en seconde , jusqu'à cent degrés , pour calculer successivement tous les sinus du quadrant. Ajoutons la première formule ( 7 ) avec la première formule ( 8 ) , nous aurons :
sin {A + JS) =z2sin Jl cos B ^^ sin {A — B^.
Supposons maintenant que A vaille m fois B^ ou que l'on ait ^ i= m j?^ et substituons cette valeur , nous trouverons : '
sin (m4- 1) B =: 2 sin m B cos B -'^ sin (m^-^ i) B . . . (2i); d'où Ion tire, en faisant successivement mssl,2,3»4, 5, etc.,
sîn2 B=:2 sinB, cos B^ sinS B=z2 sin2 B cos B ^^sinB, sinÀB =:2sin3 B cos B — sin2 BA^^^ C26\ sin 6 B=: 2 sin À B cos B — sin SB, sin6B:=:2smB B cos B-'^sinÀB,
etc.
Connaissant donc le sinus et le cosinus d'une minute» on pourra calculer,
66 BitOtUTION DSS TftlÂKGLÏf
par ces fornmtes, te smnft de deux minutes, puis celui de trois minutes, puk celui de quatre minutes, etc., etc.
•Sioii voulait calculer en même temps les cosinus, en ajoutant la seconde formule ( 7 ) avec la seconde formule ( 8 ) , et faisant les suppositions que nous venons déjà de faire, on arriverait à ces résultats :
cos2 B=:2 cos^ B — 1 ,
cos 3 B = 2 cos2 B cas B — cas 5,
cas 4 B= 2 cos 3 B cos B — cos 2 B^ l ^ ^ (26 ).
ços 5 B=:2 cosÀ B cos B — cos 3 -ff ,
cos 6 B:=z2 cos 5 B cos B — cos À B ,
etc.
Mais si Ton calcule en même temps le sinus et le cosinus de chaque arc, il suffira d'aller jusqu à 50^, puisque les cosinus des 50 premiers degrés sont les sinus des 60 ^derniers, et réciproquement (n^ 87 }r
De la résolution des triangles par d autres principes.
99< £n traitant de la résolution des triangles, nous n'avons pas indiqué tous les procédés qui peuvent conduire à ce but ; nous nous sommes attachés à des principes faciles à saisir et à démontrer, et auxquels on pût immédiatement appliquer le calcul logarithmique. Maintenant que nous sommea plus avancés , nous allons reprendre cette matière , et faire connaître d'air très principes qui y ont rapport , et qui sont utiles et intére^sans.
100. Considér(ms le triangle ABC^ fig. 31, la géométrie nous apprend qu'on doit avoir, (Géom. Liv. lY. Th. X),
a» =r i* + c» — 2e. AD.
D'un autre côté, le principe de trigonométrie du n^. 74 donne, pour 1« triangle rectangle ACD ^^
jR:^::sinACD:ÀD; ou (n*. 82) B :b ::cos A :AD. Nous préférons cette dernière proportion, parce que Tangle A appartient au triangle proposé , et non l'angle ACD. Ainsi
^^ , cos A
Substituant cette valeur dans la première équation , elle devient
cos A <l» = 6>4-tf* — 26c. — 5—... (27 )r
PAR D'AUTKES PRlNClPKif. Ô7
5i l'angle A était obtus, fig- 32, le dernier terme de la première équalîon serait en plus, mais le cosinus de A étant en moins (n^^ 82, 84), le dernier terme de la formule se trouverait toujours en moins.
Si l'iangle A était droit, on jurait cas A =i o ^ et le dernier tenue serait nul
Ainsi la formule est démontrée pour tous les cas; et si on l'applique aux auti^es côtés du triangle, on obtiendra, en extrayant les racines ,
^ a» + ô* — 2ab.
cosC
l\ est clair que ces formules peuvent servir à calculer immédiatement un côté d'un triangle, quand on connaît les deux autres côtés et l'angle compris. On se trouve ensuite, pour détenuîner les deux autres angles, dans le cas où les données sont les trois côtés. Or ces mêmes formules erl donnent d'autres propres à ce cas-là.
101. Traitons cas A^ cos j5, cos C comme les inconnues, carrons les deux membres, transposons, multiplions par /? , et divisons pai' le coéflScient du cosinus , nous trouverons : ,
^ = ^V Wc )' ^^^^ = ^1 ^ )^
'^osC^Ri^ r-T );
2ab
formules qui feront connaître les angles , lorsque les trois côtés seront donnés.
102. £lletf peuvent aussi s'appliquer au cas où l'on aurait deux côtés et un angle opposé à l'im de ces côtés , et où l'on voudrait calculer immédiatement le troisième côté. Supposons qu'on connaisse les côtés a et A, fig, 31, et l'angle A opposé au côté a, et qu'on veuille calculer le côté c. Prenons C27J^ tout y est connu sauf c , résolvons donc cette équation comme une équatloji du second degré dont l'inconnue soit c, nous aurons :.
bcosA /i/ . b^sin^A ^^ ^ —^ ±y ^* — — H5^ ••• (30).
Discutons un peu cette formule , puisque nous savons que ce cas peut offrir quel(pie chose de douteux (n^ 76).
68 KÉSOtUTION DES TRIANGLES
b^ sm^ A à sin A
D'abord le côté c «era impossible si a* < — — , ou si a < — - — ;
b sin A mais il est facile de voir que cette seconde quantité -^ — ■= — exprune la per-
pendiculaire CD ; car le triangle ACD donne :
a : b : : sin A : CD ;
ainsi le côté c est impossible , et par conséquent le triangle à résoudre , si
ea veut supposer le côté opposé à A plus petit que la perpendiculaire CD.
^ b sin A ^ b sin A Donc a = ou a >
li H
^. bsinA ^ ,. , > M X If X bcosA ^
Si a = — - — , le radical sannulle, et 1 on trouve c = — — . Dans
ce cas A ne peut êtrç droit , car on aurait cos A=:Qy et r = o , parce que a ne pourrait se placer que sur b ou CA. On ne pourrait pas davantage avoir A obtus , car on aurait cos A en moins et c en moins ; ensorte que le triangle ne serait pas fermé du côté de Fangle obtus. En effet la perpendiculaire ne peut jamais tomber dans cet angle. Ainsi dans ce cas A est aigu, et Ton n*a pom* e qu'une valeur en plus, comme dans la fig. 24*
b sin A
Si a > — , la formule donnera deux valeurs poulr r; or toutes le^
fois qu'une de ces valeurs sera complètement en moins , elle devra être rejc* tée, parce qu'en portant cette seconde valeur en sens contraire de la première, sur ime même ligne droite, on fermerait un second triangle, qui ne contiendrait pas l'angle donné, à moins que cet angle ne fût droit Si A est droit , fig. 21 , sinA = R^ cos Az=zo, et la formule donne :
Dans ce cas la seconde valeur de c, égale à la première, pourrait en effet être portée en sens contraire, pour fermer un second triangle égal au premier ; mais ce ne serait que le même triangle dans une antre position.
Si A est obtus, fig. 22, cos A est en moins, et par conséquent aussi la seconde valem* de c, qui devient insignifiante, d'après ce que nous venons de dire.
b cos A
Si A est aigu , le terme — sera en plus , alors si la valeur du radical
est plus grande que ce premier terme, la seconde valeur de c sera en moins.
YA« d'autres principes. 69
et par coméquent insignifiante. Mais elle sera en plus, comme la première, jet ne pourra être rejetée , si Ton a
b^ sinr A b cos A
ou, ce qui revient au même, comme on le voit en mettant pour cos A sa
valeur tirée de ( 1 ) et réduisant, s i Ton a \
6* sin" A \l ,^ b^ sin" A
Or , il est évident que cette condition aura lieu quand on aura celle*ci : a < ^. Les deux valeurs de c en plus seront alors les deux lignes AB de la fig. 25 ; et c'est précisément là le cas douteux.
b siii A ^ A étant toujours aigu et a > -^ — ou plus grand que la perpendiculaire , si on a a = 6, la formule donne, en mettant R* — co^ A kla place
de siri^ A , et réduisant :
b cos A bcosA
c'est-à-dire,
2b cos A
c = 5 ou c = zéro.
C'est le cas de la fig. 20 , ou de la fig. 30. On voit en effet , dans cette dernière , que AB ou c vaut 2 AD ; or le triangle A CD donne R:b:: cos A : AD. La seconde valeur est nulle , parce qu'en portant a sur b , il n'y a plus de. triangle.
Enfin , avec A aigu et a > — , si l'on s^ a > b^ comme dans la
fig. 23 , la seconde valeur de c est en moins , et , d'après tout ce que nous avons dit , elle est insignifiante.
103. On peut remarquer que les formules (28) ou (29 j^ renfermant les six parties d'un triangle, pourront toujours en faire trouver trois qui seraient inconnues, lorsque les trois autres seront connues; du moins dans les cas où le triangle est déterminé. Aussi , venons-nous de voir qu'elles s'appliquent aux cas où l'on connaît deux côtés et un angle, ouïes trois côtés (n®*. 100, 101 , 102), Et il n'est pas difficile d'en tirer le principe des sinus proportionnels aux côtés; d'où il résulte qu'en effet elles comprennent tous les cas, et qu'elles reni'crment implicitement toute la tiîgonométrie.
70 RÉSOLUTION X>E8 T1lIAirGT.ES
On sait par ( 1 ) que siv^ -^ = iî* — - co** A ; substituant ia valeur de cos^ A y tirée de (29), réduisant, extrayant la racine, et divisant ensuite par a , on obtient : '
a 2ahc ^
En partant de sin?' B^ et substituant la valeur de cos!^ B^ on aurait:
sin B
b 2abc
£n6n on trouverait aussi :
sin C R \f
= — r- Y 2(a*6» + aV + 6*^') — (a* + à* + c^).
c 2aoc ^
Donc :
sin A sin B sin C
ou , ce qui revient au même ( n*. 73 ) ,
sin A :a : : sin B : b : : sin C : c.
Mais il faut convenir que ce principe , ou du moins un cas particulier de ce principe, nous a servi lui «même à démontrer les formules en question (n^ 100), et qu'il devait donc être connu avant elles. Si Ion y fait attention, on trouvera que toute la trigonométrie dépend du principe des triangles semblables d'avoir -leurs côtés homologues proportionnels; du moins en le combinant avec les propriétés des proportions et la connaissance de la composition du carré d'un binôme ( Voyez Géom. Liv. IV. n^^ 36 , 40 , 49 )•
i04. Du reste les formules (28) et (29) ne sont pas commodes lorsqu'on veut calculer par logarithmes , à cause des additions et soustrations qu'elles renferment. On a donc cherché à les modifier ; et voici ce qu'on a trouvé : Nous commencerons par la première formule (28) qui donne ••••....
cos A
a* = 6* + ^^ "— 2bc. — 2 — > ^*où Ton peut tirer ;
Ji
cas A
a^ = (Ja — 2bc + c*) + 2bc — 2bc
B ' iî»a* = «* (6 — cy + 2be(£^ — B cos A);
mais la formule Cil) donne:
S^ — B cos A=:2 sin" | A^
rAB d'autbks pkimcipss. 71
substituant , on a :
if»a» = R*(b — cy + 4bc sm*lA, ou , en multipliant et divisant le dernier terme par ( & — <? ) * »
n^^u ^^ , Àbc (b '— cy* sin^ l A
Ji»a*=X^(b — c)*H jr- — i— - — i — ,
« . - / «. . ^c sut* xA\
Or le dernier terme , qui ne renferme que des connues , et qui est facile à calculer par logarithmes , dès qu'on a pris f -4 et qu'on a retranché c de 6, peut être considéré comme l'expression du carré de la tangente d'un certain angle , que nous désignerons par ^ , car il y a des tangentes de toutes les grandeurs , depuis zéro jusqu'à Tinfini ; ce qui n'a pas lieu pour les autres lignes trigonométriques. On connaîtra donc tarig* ^ , et par conséquent aussi
2 sbi l A 7T—
tang ^ =z — 7 — = — y oc;
et la dernière formule deviendra :
S^a'=(^b — cy (R^ + tang* « ), ou , au moyen de ( 6 ) ,
JR*a'2=(b — cy séc* (P , Ra = (b — c) sefc ^ ; ou enfin , au moyen de (2),
cas ^ Divisant par R^ pour avoir a, et rapprochant de cette valeur celle d# tarig ^ , on aura :
2sm\A ,, tang = —7 y oc ,
R(^b'^cy ^ a= •
cos (p
Connaissant donc b, c et A^ on aura d'abord tang ^ et les tables donneront ^ ; alors on trouvera a par la seconde formule.
Les autres formules (28) en donneraient d'analogues à celles • ci , pour détei*miner soit b , soit C , quand on connaîtrait les autres cètés et l'angle compris.
106. Voyons aussi les formules (29); prenons •y la valem: de cas A y et
72 KéSOLUTION DES TftlANi^t.KS'
substituons -la dans celle de wn | -4, donnée par (U); non» en tireront après quelques rédactions :
«nM^Jî'V- j^^ ;
mais comme la différence de deux carrés égale la somme des racines multipliée par leur différence, on aura aussi :
sinlA = RM^ j;-^ ' ^
Faisant le périmètre connu du triangle égal à ^ , il en résultera
(a+ b c) =i2p — 2c, (g + g — ^) = ^ — 2 6; d'où l'on conclura :
On trouverait des foiinules analogues pour sinlB^ sin\ C.
On remarquera que comme A < 2Q0^, on a | yl < 100^; ensortc que le sinus trouvé appartiendra toujours à un angle aigu, dont le double sera A. D'ailleurs la valeur en moins du radical doit être rejetée, comme insignifiante.
106. On pourrait aussi avoir les valeurs du cosinus et de la taijgentc
de J ^.
Pour trouver la première , il faut dans la seconde formule ( H ) susbstî-
tuer la valeur de cos A prise dans ( 29 ) . et procédant comme nous venons
de le faii-e pour sinl A^ on trouv era :
COslA=:R y T f • . (33;.
Pour trouver la seconde , ou tang | -4 , il faut multiplier par R la valeur de sin | A , prise dans ( 32 ) , et la diviser par celle de cos l A^ prise dan« ( 33 ) , on obtiendra :
On rejettera- 'les valeurs en moins données par les radicaux , parce que , comme nous venons de le dire , | A sera toujouris aigu.
107. Pendant que nous en sommes à l'usage des logarithmes dans le« calculs trigonoraétriques ,, observons que les côtés a et 6 d'un triangle , lorsqu'on connaît l'angle compris C, sont souvent, dans ces calculs, donné» par leurs logarithmes. Si on veut alors calculer les anglçs par le second
principe
PAB D*AirTRB8 PBIITCXPXS. 7^
principe (n^. 77)» on est dans le cas de chercher d'abord, dans les tables » la valeur de a et de 6 , d*après celles de leurs logarithmes ^ puis de repren* dre les logarithmes de a + 6 et de a — 6 , pour achever le calcul: Or on ft trouvé le moyen dëviter tous ces circuits ^ comme nous allons le voir actuellement Reprenons Tanalogie
nous pourrons , pour rapprocher les a et les b , l'écrire ainsi :
a + b ^ tan0\{A + B^* prenant le premiei; membre à part , pour lui donner une autre forme , qui eonvienne mieux aux logarithmes , nous pourrons (aire d'abord
si Ton suppose ensuite que |. soit la tangente d'un certain angle • , qu'il s*agira de déterminer » et si Ton prend en même temps le rayon dès tables pour l'unité, comme cela est permis pourvu qu'on fasse le même change» ment dans les autres lignes trigonométriques , on aura 1 = tang 60^ > parce que la tangente de 60^ est égale au rayon , comme on peut le voir par une figure, ou par la formule (2), en faisant le sinus égal au cosinus.
Comparant alors le second membre de Téquation précédente avec le second membre de la seconde formule ( 20 ) du n^ 95 , on verra qu'ils sont égaux , puisqu'on peut les écrire tous deux ainsi :
tang » — tang gO^ i 4- tang ^ * Cette quantité vaut donc le premier membre de (20) ou tang ( ^ -^50^) ; c'est-à-dire qu'on a
et, par conséquent,
tang ( ♦ —60*)= — 2^-^-: C.
tdng(9 -'6Q^)'Xtangl(A + B)=iXtangl(A'-3'), i:tang( « -'6(fi)::tangl(A + B):tangl(A-'B)i w , en reprenant un xayon quelconque , qui influera sur toutes les autres lignes trigonométriques ,
