CHAPITRE PREMIER

Des princes relatifs à cette partie.

108. X ouTES les lignes possibles sont ou droites ou courbes; mais il ny a qu'une seule et même espèce de lignes droites', et il 7 a une infinité de aourbes difierentes.

Dans toute ligne on trouve une succession non interrompue de points , tt la position respective de ces points caractérise la ligne et la distingue de toute autre.

On peut fidre les mêmes observations relativement aux surfaces ; et quant aux solides , on voit bien qu'ils sont déterminés par leurs surfaces , qui les enveloppent en quelque sorte , et les circonscrivent de toutes parts.

109. Il est évident qu'il ne serait pas possible de trouver la position abso-* lue d'un point dans l'espace; mais aussi résulte-t-il de ce que nous venons de dire y que ce n'est que sa situation à l'égard de tel ou tel autre point , de telle ou telle ligne , de telle ou telle surface^ qui peut nous intéresser* C'est pourquoi on se représente dans l'espace trois plan» indéfinis, s'entrecoupant enti;*eux sous des angles donnés , et la position d'un point se trouve déteiminée quand on connaît la longueur des trois droites menées depuis ce point jusqu'à la rencontre des trois pUins, parallèlement à leurs intersections comnmnes.

En cherchant à détennîner ainsi la position d'une suite de points for* matit une ligne ou une surface, il faudra, pour commencer par ce qu'il y a. de plus simple, ne considérer d*abord que les lignes, et parmi celles-ci prendre en premier lieu la ligne droite et les courbes planer ^ c'est- à -dire

?HIKC1P£5 mitAtm AVX ifiUATIOKS WDÈtEXmvtEn, 77

les courbes que l'on peut tracer sur un plan ; (le cercle, par exemple, est dn nombre de ces dernières); tandis que si l'on courbait un plan sur lequel on aurait tracé d'abord une courbe» celle-ci cesserait d*étre plane, et appartiendrait dès lors à la classe des courbes à double courbure.

110. Cela posé, nous nous réprésenterons sur un plan, deux droites in« définies XX ^ YT ^ fig. 39, s'entrecoupant entr'elles sous un angle donné, et la position d*un point A/, pris dans ce plan, se trouvera déterminée quand on connaîtra la longueur des droites AfP, MQ^^ menées depuis ce point jusqu'à la jencontre des lignes XX! , YT , et parallèlement à ces lignes (♦}.'

Si le point M s'écarte ou se l'approche des deux lignes XT, YT ^ les longueurs MP , i/Q augmenteront ou diminueront , et si le mouvement de ce point ne se fait pas par sauis , mais qu'il soit continu , il tracera sur le plan une ligne droite ou une courbe plane* Alors on pourra se représenter lea longueurs MP , MCI comme deux quantités dont chacune passe par différens états de grandeur, en répondant successivement aux divei-s points de la ligne décrite. Or les quantités qui, dans une même figure, changent ainsi de grandeur, s'appellent des variables ^ et se désignent ordinairement par les demières lettres de l'alphabet, x^ y^ z^ etc., comme les inconnues dana l'algèbre ordinaire ; tandis que les quantités qui ne changent point , dans une même figure , sont des constantes , et se rqprésentent par d'autres lettres que les dernières , comme les connues dans l'algèbre. Dans un cercle donné , par exemple , le rayon , le lUamètre , la circonférence , les arcs d'un certain nombre de degrés, sont des constantes, pendant que la perpendiculaire abaissée d'un point de la circonférence sur le diamètre , et les portions cor« respondantes de celui-ci, sont dea variables.

111. On voit évidemment dana la fig. 39, qu'on peut à la place de PM^ QM ^ prendre j4Q^ AP; mais pour ne. pas abandonner, en quelque sorte, le point il/, ne faisons qu'une de ces substitutions, et prenons QMet AQj eu PM et AP. En nous arrêtant à cette dernière manière , nous appelleroits toutes les longueurs QM^ rapportées en AP sur la ligne XX' ^ des coupées ou des abscisses^ que nous désignerons par x ^ et toutes les Ion»

( • ) Si l'on connaît AfP, MQ, et l'angle des axes , égal à MQY^ égal à MPX^ on dcterminera facilement la grandeur des perpendiculaires abaissées du point M sur les axts.

78 >BlN6lPES KELATIPS

gueurs PM^ que nous ne rapporterons point en AQ^ quoique nous pu8« sions le fdre , des appliquées ou des Ordonnées , que nous désignerons par y. Alors la ligne XJC s'appellera F axe des abscisses ou des a?, 'et la ligne YY' s'appellera Ta^re des ordonnées ou des y ; en même temps le point A s'appellera Torigine des abscisses. L'abscisse et l'ordonnée correspondante sont souvent comprises aussi sous la dénomination générale de coordonnées. 112. Si le point que l'on considère, au lieu d'être en Af, est en M' , l'abs. cîsse AP sera toujours x , mais Tordonnée PAf sera dirigée en sens contraire de PM et deviendra — y. Si le point est M" les coordonnées seront donc AP' = — X et P'Af' = y. Enfin si le point est il/'" les coordonnées

seron — x et — y*

11 3., Appliquons quelques-uns de ces principes, par forme d'exemple, à la courbe circulaire , que nous connaissons si bien.

Supposons que les axes des coordonnées se rencontrent à angles droits au centre du cercle de" la fig. 40, les perpendiculaires MP ^ A/'P', etc., abaissées de la circonférence sur le diamètre AB^ seront les ordonnées y, y', etc., et les lignes CP, C/^, etc., seront les abscisses x^ x\ et c. ; en menant do nc les droit es CM^ CM' , etc. , on aura y = ^cif; — a;* ,

7/ = V^cî^* — ^'* > etc. ; mais puisque dans le cercle tous les points de la courbe sont à une même distance du centre , ou que tons les ra yons sont égaux, on a Ci1/= tA/' = etc. = r. Donc y — y^r» — a% j/' = y"'"* — a/», etc. ; ou , ce qui revient au même ,

y* =: r* — a:*, j/* = r* — a?'*, etc.

De là il résulte :

0^r^'-x^::^{r+x){r'-x)^{CB^CP)iCB'--CP)=zAPX,BP

On trouverait de même r*— rr'* = fr + a?') (r— a?')=^^X^i^- Cela posé, pour énoncer plus facilement les égalités et les rapports que nous venons de trouver , quand nous considérerons une ordonnée quelconque , nous appellerons segmens correspondans les distances du pied de cette

(*) On prend ici AC^oxa CE, parce que ce sont des rayons égaux et qu'il ne s'agit nullement de leur . direction ; il s'agit seulement d'avoir une ligiie égale i CB + CP, comme qu'elle soit placée, fut elle, si Ton veut; hors du cercle.

AUX ioUATIONS INDÉTERMINÉES. 79

ordonnée aux deux pointe où la courbe rencontre l'axe des abscisses. Nous . dirons donc que dans le cercle le carré de chaque ordonnée est égal au rectangle des segmens correspondons^ et que les carrés des différentes ordonnées sont entr'eux comme les rectangles des segmens correspondans. Sur quoi on doit observer que dans telle ou telle courbe les carrés de» ordonnées pourraient être entr'cux comme les rectangles des" segmens correspondans, sans que le carré d'une ordonnée quelconque fut égal au rectangle des segmens. La première partie du théorème ne peut avoir lieu sans la seconde ; mais la seconde pourrait avoir lieu sans la première.

114. On pourrait donner aux deux proportions précédentes cette foiroe, qui les généraliserait beaucoup ( Algèbre , n**. 335. D ) :

f\y):/(y')::F(x):F(x')i et nous avertirons , dès à px'ésent , que c'est là le caractère d'une ligne régulière, savoir que certaines fonctions semblables des ordonnées soient entr'elles comme certaines fonctions semblables des abscisses^ correspondantes.

115. Enfin, si Ton veut que les seuls caractères yttx désignent toutes, les ordonnées AfP, A/'P', etc., et leurs abscisses correspondantes CP^ CP', etc. , qui ne sont qu'une seule ordonnée et une seule abscisse , l'une et l'autre variables et passant par tous les degrés de grandeur que comporte la courbe, on n'aura besoin que de la seule équation y = \/r^ -*^ x^ , pour caractériser le cercle ; c'est pourquoi , soit qu'on la laisse sous cette forme , soit qu'on récrive ainsi t/* = r* — a?*, ou ainsi y^={r^xj (r — a?), ou etc. , on l'appelle r équation du cercle.

Il est à remarquer que sous cette dernière forme , elle exprime , d'une . manière très - explicite , que le carré de chaque ordonnée est égal au rectangle' des segmens correspondans ; propriété qui du reste n'est pas différente de celle qu'on énonce dans les élémçns de géométrie , en disant ; la perpendiculaire abaissée d un point de la circonférence sur le diamètre est moyenne proportionnelle entre les deux segmens de cette ligne. Et pour rendre bien sensible l'identilé de ces deux théorèmes , il suffit de tirer de la dernière équation cette proportion : r-^xiyiiyir — x.

116. Mous venons de voir que de l'égalité des rajons résulte la propriété de la perpendiculaire ; l'on sent bien d'avance que cela est réciproque , et qu'en aftumant de la courbe la seconde propriété il en résulte la première : ensorte qu'on doit avoir la même équation en tiaduisant Tune ou l'autre en

go PBINCtPSS RELATIFS

algèbre. Il en serftit de même si l'on partait de quelqu*autre propriété caractéristique du cercle ; et en général toute propriété particulière à une ligne régulière et qui n'appartient qu'à elle , peut servir à la caractériser , à la dis* tinguer de telle ou telle autre ligne ; et cette propriété i^enferme implicite^ ment toutes les autres. Elle peut donc fournir une définition de la ligne et conduire à son équation, laquelle sera toujours la même lorsqu'on ne changera ni rinclinaison des axes l'un sur l'autre ni l'origine des abscisses. Et nous Terrons que de l'équation on peut retourner à la ligne, que l'on appelle alors le lieu géométrique de l'équation: on peut la décrire, reconnaître sa forme et sa nature, et découvi'ir toutes ses propriétés.

Mais si Ton change l'angle des^axes, ou l'origine des abscisses, ou bien l'une et l'autre de ces choses, alors l'équation pour l'ordinaire change aussi; et une même ligne se trouve avoir par là plusieui*s équations. Cependant on peut trouver pour chaque ligne une équation la plus générale possible , et dont les autres ne sont alors que des cas particuliers. On peut même sou«^ vent comprendre dans une seule équation plusieurs courbes de genres dif* férens.

Quant aux lignes vraiment irrégulières , il est évident qu'elles, n'ont point d^équation , puisque les rapports des fonctions de leurs coordonnées changent continuellement.