sin m sinm y =5 : X — « = -^ X
-jt-. sin n smn
Si la droite , en continuant son mouvement , vient se placer encore sur l'axe des x , on aura de nouveau sin m =» o et ^ = o.
y. Si elle va plus loin , m devenant plus grand que 200^ son sinus sera en —, tout comme celui de n; mais x tiy seront aussi en —; ce qui donnera :
—^sinm sin m
X — a:, ouy=-: x.
— SOI n stn n
La droite se couchant encore sur Taxe des y^ on aura, pour la seconde fois , wn n = o et ar =r o.
Â^. Enfin la droite passant dans le dernier angle formé par les axes , l'an*^ gle m, plus grand que 200^, et plus petit que 400^ y aura toujours son sinus en — ; mais l'angle n , ayant passé les 200^ depuis qu'il est en moins , son sinus sera ^--^ "— sin n z=z + sin n ; ce qui donnera :
— sin m sin m
— y = - — : 07, ou y =-: x.
'i^sinn smn
84 Dl I.ALIGNB fiBOITl: i^VAtlOJXBf
: £nsorte que l'équation conyient à toutes les positions de la droite lon^ que celle-ci passe par l'origine des abscisses.
12 i. Si. les axes sont perpendiculaires l'un à l'autre , on a Wn n =a cof m, et l'équation devient , pour ce cas particulier :
sin m long m
cos m R
Et si Ton suppose le rayon des tables R égal à 1 , on a :
y = tang m x oc; nuds il ne faut pas perdre de rue qu'alors le rayon est \ .
sin m
122. Dans tous les cas, si l'on représente --: par la lettre a, on aura:
sm n
y = €uv;
et cette formule sera encore l'équation de la droite qui passe par l'origine
des abscisses ; bien entendu que a , qui vaut -: , prend le signe — dana
sm n
le second angle des axes et dans le quatrième.
123. Supposons maintenant que la droite ne passe point par l'origine des abscisses, et considérons-la d'abord dans la position BN^ fig. 43, c'est-à-dire comme rencontrant les deux axes. Nous pourrons lui mener par Torigine une
parallèle AM, dont l'équation sera MP:=aX,AP; ce qui donne
AP:=zaXAP + MN=:aX^AP + AB : faisant iV^P=z^ , A P=:x , et AB=Jf ^ pai'ce que AB est constante pour la même droite , on obtierKJlra :
yz=zax+ b; c'est l'équation de cette droite.
124. On peut observer que si BN se meut parallèlement à elle-même , soit dans un sens , soit dans l'autre , les angles m et n , une fois fixés , ne changeront point , ensorte que a restera le même ; mais alors la ligne AB OU b deviendra plus grande ou plus petite. En revanche , si la droite tourne sur ^ , 6 ne changera pas , mais a changera , parce que les angles m et n n'auront plus la même valeur* Voyons donc quelles seraient les données nécessaires pour déterminer la position de BN.
1^ Pour que le point B soit fixé , il faut non-seulement que la grandeur de AB ou de b le soit, mais il faut encore que l'angle des coordonnées soit donné , ce qui est évident
2^ Four que l'angle m soit fixé, et par conséquent aussi l'angle n , il faut^
CONSTRUCTION DIS tQVATlOnn^ CtC. 85
•i Tun ou l'autre ne «ont pas donnés îmmédiatenient, qu'en supposant j41M parallèle à BN le rapport de MP k AP soit donné en nombres ; et c'est ce rapport , qui du reste est le même que celui de sin m à sin n , que nous
avons désigne par a. Si par exemple on avait a , ou , ou , égal à * ,
<^ — sin n AP ° *'
on en tirerait MP =i\ AP. Quelle que fût donc la longueur de -4P, il faudrait que celle de MP en fût la moitié.
Mais si a , au lieu d être donné en nombres , était représenté par une droite, il faudrait encore, pour qu'il ne restât rien d'arbitraire dans la posi^
MP
tion de BNy que l'unité de ligne / fût aussi fixée ; car alors de = a ,
on tirerait l: a\: AP : MP ; ce qui ferait trouver MP , quand on aurait pris AP à volonté.
Dans l'équation y=^ax^ iKsuflSt de fixer a, avec l'unité de ligne , et Tan* gle des coordonnées, pour que la ligne soit déterminée (n*^. H9); mai« c'est qu'alors on a déjà la condition que cette ligne passe par l'origine.
125. Si la droite, au lieu d'être placée comme BN^ Tétait comme DO /A est facile de voir qu'on aurait y=iax — b; mais il n'est pas besoin de changer pour cela 1 équation, il suflîra de prendre b en moins lorsque cela sera nécessaire.
126. L'examen que nous avons fait de l'équation yrrrzax^ pour les quatre angles des axes , peut nous éviter la peine d en faire un semblable de Téqua^ tion y = aa? + 6 ; cependant il faut faire attention à ceci : que les deux droites BN^ DO^ accompagnant en quelque sorte la ligne AM^ qui ^st placée dans le premier angle et dans le troisième , on a , pour ce cas , a en + (n*. 122); mais que si le système des trois droites , tournant sur le point A se plaçait de manière que AM fût dans le second angle et le quatrième on aurait alors a en — (n^ 122); b ayant toujours le signe + pour la ligne d'en haut et le signe — pour la ligne d'en bas.
127. Si dans ce mouvement AM ^t plaçait sur Taxe des x; les droites BN, DO, se U-ouveraient alors parallèles à cet axe ; en même tems l'angle m serait devenu nul , ainsi que son sinus ; et la longueur de b aurait plus ou moins changé. Mettant donc zéro à la place de sinm^tiV k la place de b \
dans I équation y = -: a? ± 6 , elle deviendrait y = + 6^ C'est l'équa^
tion dune droite parallèle à l'axe de» or. Je di> , , i , y == ;+; 6'.
86 DB iÀ tfONV DIOXTB: tQXlAriOVSf
Si A M se plaç£ut sur Taxe des y , les lignes BN^ DO , se tro^reraient
parallèles à cet axe ; en même tems Tangle n serait devenu nul , de même
que son sinus » et 6 , après avoir été 26 , 36 , 46 , etc. , aurait enfin acquis
b sût m . b
la longueur « . L'équation devenant ainsi y ^= —^ :r + - , on en tirerait ^ o ^ o o
b a? = -+- -r ; OU , en désignant cette valeur par 6', et remettant le signe
sm m
+ en haut y a; = + 6'. Cest Téquation d'une droite parallèle à l'axe des y. Je dis a: ^= ± 6'.
Ainsi dans la parallèle à Taxe des x^ l'ordonnée devient constante , tandis que Tabscisse varie et prend toutes les grandeurs possibles ; et c'est le con* traire dans la parallèle à Taxe des y.
128. Après avoir vu comment de la ligne droite on allait à Téquation de cette ligne , essayons de retourner de l'équation à la ligne » ou , comme on dit 9 cherchons le lieu de cette équation :
y^szox + bj comme si nous ne savions pas à quelle ligne elle appartient.
Nous pourrons d'abord l'écrire ainsi y — b^=ax; ov y — b est une va* riable , puisque y l'est y mettons donc z à la place de y^r-b^ et nous aurons :
z=zax^ ou - = a; et si nous trouvons la valeur de z. nous aurons aussi
celle de y en ajoutant à z la constante b , puisque ^ — 6 = z donne. . . .
z Cela posé , l'équation - = a ^ nous dit que le rapport de l'ordonnée à
l'abscisse est constant ; d'où il résulte :
z : X :: zf : a/ :: zf' : a/' : : etc.
Si nous supposons donc arbitrairement que XX y fig. 44» étant l'axe des Xy tt A l'origine, les points M y M'y M" y etc. , appartiennent à la ligne que nous cherchons , il est clair qu'en menant jusqu'à la rencontre de XX , et sous un angle quelconque , les parallèles MF y MP ^ M" F' y etc. , qui seront les ordonnées Zyz! yZ^'y etc. , on aura :
MP : AP::MP::AP ::M"P' : j4P' :: etc.
Ainsi joignant j^M , AM , AM" , etc. , les triangles AMP , AMP' , AM"P' y etc. auront un angle égal en PyPyP\ etc., compris entre côtés
GON8TBU0TION DBS iQUATlONS, CtC. 87
proportionnels , et seront par conséquent semblables. Donc les angles MAP^ AfjiP' , M"AI^' , etc. , seront égaux , et les droites AM^ AM\ AM" ^ etc. , qui parainsent distinctes dans la figure , n'auront quWe seule et même direction. C'est-à-dire que tous les points M^ 3/% M" ^ etc. , de la ligne que nou$ cherchons seront avec Torigine A sur une seule et même ligne droite,
Supposons que cette ligne soit AAi^ fig. 43 , son ordonnée sera MP=:Zy et si Ton mène à ^Af une parallèle quelconque -ffiV, chaque ordonnée MP ou z sera augmentée d'une quantité constante MN=z AB , <iu'on pourra supposer égale à 6; on aura alors iVP=.ÀfP + 4-ff=» + * = y; et la droite B'N sera le lieu de Téquation y5çsaa?4**»
Du reste puisque - = -— -zsa , et que Ton a MP ; AP :;smA:sinJMi
